ریاضی محض!

[Ehsan]

اصولا تقارن در طبیعت زیاد رخ میده!
به همین دلیل تصمیم گرفتم همزاد ِ فیزیک ِ محض رو ایجاد کنم: ریاضی محض!
اگر مبحث ِ ریاضی خاصی دارید که هیچ ربطی به نجوم و فیزیک نداره اون رو اینجا قرار بدید!

[Ehsan]

اشکال ِ خود متشابه در ریاضیات رو حتما همه تون دیدید. اشکالی مثل ِ شکل های پایین:

به این شکل می گند برفدانه ی کُخ.
این شکلها که هر تکه از اونها شبیه ِ شکل ِ کاملتره فراکتال یا اشکال ِ خود متشابه نام دارند. حتی یک خط هم فراکتال محسوب می شه (هر تکه از خط شبیه ِ خط ِ کاملتره!)
شکل های زیر فراکتال های پیچیده تری هستند:
(این شکل به فراکتال ِ مندل بروت معروفه)





این اشکال بسیار در نظریه های آشوب و سیستمهای فیزیکی ِ پیشرفته کاربرد دارند.
یکی دیگه از انواع ِ فراکتال ها مجموعه ی جولیا (ژولیا یا julia set ) هستش که در واقع ِ مناطقی از صفحه ی مختلط هستند که به ازای یک دنباله ی خاص روی اعداد ِ مختلط همگرا هستند و این اشکال ِ زیبا رو به وجود میارند. شکل های زیر مجموعه ی جولیا به ازای یک مقادیر ِ خاص از دنباله هستند (نقاط ِ سیاه رنگ مجموعه ی جولیا هستند نقاط ِ رنگی در واقع ناحیه ی همگرا نیستند ولی بر اساس ِ میزان ِ واگرایی رنگی بهشون نسبت داده شد .قرمز دیر واگرا می شه و آبی زود)





(تمام ِ عکسها از ویکی پدیا هستند)

[1663]

فراکتال ها شکل هایی هستند که از جزییات مشابهی در اندازه های مختلف بر خوردارند. این بدان معناست که وقتی شما به قطعه کوچکی با شکل فراکتال نگاه میکنید، نسخه های کوچکی از همان شکل بزرگ فراکتال را ملاحظه میکنید . انواع بسیار مختلفی از فراکتال ها وجود دارند و در قلب فراکتال ها ریاضیات وجود دارد.

این بدان معنا نیست که انسان باید ریاضیات را برای ایجاد فراکتال ها درک کند . اگر چه هنر فراکتال ها از ریاضیات سر چشمه گرفته ولی در اسارت آن نمی باشد

ما فراکتال‌ها را در زندگی روزمره ی خود به فراوانی مشاهده می کنیم: درخت ها، کوه ها، پراکنده شدن برگ های پاییزی روی زمین. به این تصویرها که در صفحه ی گالری قابل مشاهده است، نگاه کنید و سعی کنید شباهت بین آن ها را درک کنید. حال به این تعریف دقت کنید:
فراکتال شکل هندسی چند جزئی است که می‌توان آن را به قسمت هایی تقسیم کرد، به طوری که هر قسمت یک کپی از " کل " شکل باشد.
حال دوباره به تصویرها نگاه کنید! به سختی می توان باور کرد که چیزی مانند فراکتال‌ها در عین پیچیدگی و کاربرد در عالی ترین سطوح ریاضی، بتواند به شکل یک سرگرمی جالب مورد استفاده قرار گیرد. در واقع هندسه ی فراکتالی، حرکت اشکال در فضا را ثبت می‌کند و ناهمواری دنیا و انرژی و تغییرات دینامیک آن را نشان می‌دهد! اما حقیقت این است که فراکتال موضوع ساده ای است. به سادگی ابرها یا شعله های آتش.
واژه ی فراکتال از ریشه ای یونانی به معنای " تکه تکه شده " و"بخش بخش" آمده است و به نحوی تعریف ریاضی اش را در خود دارد. به زبان ساده ، اشکال فراکتالی دارای 3 خاصیت عمومی هستند:
• تشابه به خود
• تشکیل از راه تکرار
• بعد کسری

تشابه به خود


گربه‌ها ، قناری‌ها و کانگوروها به نحوی به هم شبیه هستند. اما در هندسه، تشابه معنای خاصی دارد که حتماً آن را در کتاب ریاضی خود دیده اید و می‌دانید که تشابه، یکسانی اشکال در عین متفاوت بودن اندازه هاست. به زبان ساده تر اگر بتوانید با بزرگ یا کوچک کردن دو شکل، آن ها را دقیقاً همانند هم کنید، آن دو شکل متشابه اند. اما شکل های خود متشابه کدام‌ها هستند؟ اشکال زیادی وجود دارند که فراکتالی نیستند اما خود متشابه اند.
به این شکل دقت کنید!
شکل کلی یک ذوزنقه است و خود از ذوزنقه های کوچک تر کنار هم پدید آمده است. این مورد یک مثال از تشابه به خود است.
حال به این مثلث خاص نگاه کنید.


این مثلث بزرگ که مثلث سیرپینسکی نام دارد، از مثلث های مشابه کوچک تر تشکیل شده است که همین طور کوچک تر و کوچک تر هم می‌شوند.

[Ehsan]

این یک قضیه ی بسیار زیبا در ریاضیات است!

می گوید می خواهیم با تنها چهار رنگ کشور ها را روی یک نقشه ی جغرافیا رنگ آمیزی کنیم بدون این که رنگ ِ دو کشور همسایه یکی شود! آیا امکان پذیر است؟


نمونه ای از نقشه ی چهار رنگ



این قضیه در واقع به حدس ِ چهار رنگ مشهور است چون سالها بدون اثبات باقی مانده بود. تنها در سالهای اخیر ریاضی دانان با استفاده از کامپیوتر و حساب کردن حالات مختلفی که می تونه برای یک نقشه پیش بیاد شهودی (آزمایشی) نشون دادند که این قضیه درسته! البته خیلی ها هم این رو اثبات نمی دونند ولی کسی تا حالا اثباتش نکرده.

[اماتور]

این یک قضیه ی بسیار زیبا در ریاضیات است!

می گوید می خواهیم با تنها چهار رنگ کشور ها را روی یک نقشه ی جغرافیا رنگ آمیزی کنیم بدون این که رنگ ِ دو کشور همسایه یکی شود! آیا امکان پذیر است؟


نمونه ای از نقشه ی چهار رنگ



این قضیه در واقع به حدس ِ چهار رنگ مشهور است چون سالها بدون اثبات باقی مانده بود. تنها در سالهای اخیر ریاضی دانان با استفاده از کامپیوتر و حساب کردن حالات مختلفی که می تونه برای یک نقشه پیش بیاد شهودی (آزمایشی) نشون دادند که این قضیه درسته! البته خیلی ها هم این رو اثبات نمی دونند ولی کسی تا حالا اثباتش نکرده.

توی این نگاره که در قسمتیش از امیخته شدن دو رنگ هم نوع جلوگیری نشده. یا طرف حواسش نبوده یا این شکل رو اگر به

عنوان نمونه درست در نظر گرفتن پس اشتباست.

وسط نگاره - سمت چپ مربع قرمز - مثلث ریزی که ابی رنگ شده

[arashgmn]

توی این نگاره که در قسمتیش از امیخته شدن دو رنگ هم نوع جلوگیری نشده. یا طرف حواسش نبوده یا این شکل رو اگر به

عنوان نمونه درست در نظر گرفتن پس اشتباست.

وسط نگاره - سمت چپ مربع قرمز - مثلث ریزی که ابی رنگ شده

---------------------
سبزه !

[Sunrise]

یه سوالی که من همیشه داشتم و مثه خیلی آدم های (تنبل) دیگه دنبال جوابش نرفتم این هستش که این نظریه فراکتال ها چه کاربردی داره؟ از وقتی اول دبیرستان بودم این فراکتال های زیبا رو دیدم این سوال رو داشتم تا حالا... ولی خب حالا تصمیم گرفتم بفهمم ماجرا چیه؟!؟

[Ehsan]

یه سوالی که من همیشه داشتم و مثه خیلی آدم های (تنبل) دیگه دنبال جوابش نرفتم این هستش که این نظریه فراکتال ها چه کاربردی داره؟ از وقتی اول دبیرستان بودم این فراکتال های زیبا رو دیدم این سوال رو داشتم تا حالا... ولی خب حالا تصمیم گرفتم بفهمم ماجرا چیه؟!؟

راستش یک چیز هایی به ذهنم رسیده در این باره که می گم:

اصولا بیشتر ِ (تقرببا تمام ِ!) سیستم های فیزیکی-واقعی (مثل ِ اقتصاد) خاصیتی خیلی جالب و البته بدیهی دارند: حالت ِ آینده ی این سیستم ها تابعی از حالت ِ کنونی و ورودی های سیستم هستش یعنی سیستم یک اتفاقی واسش می افته و بعد این اتفاق در سیستم موجب ِ رخ دادن ِ اتفاقات ِ جدید تری میشه این اتفاقات ِ جدید تر موجب ِ اتفاقات ِ جدیدتری ِ دیگری میشه و الخ... پس هر اتفاقی در سیستم می افته تابعی از حالت ِ کنونی ِ سیستم و عوامل ِ خارجی محسوب میشه و این باعث میشه تعقیب ِ رویدادها در گذشته یا آینده تقریبا غیر ِ ممکن بشه. اصولا به چنین سیستم هایی می گویند سیستم های پیچیده. چنین سیستم هایی رو میشه به صورت ِ جبری-ریاضی هم درست کرد مثلا متغییر ِ ایکس رو در نظر بگیرید. من در هر لحظه مقدار ِ ایکس ِ بعدی رو برابر می کنم با مقدار ِ ایکس قبلی ضرب در 3.1 ضرب در یک ِ منهای ِ ایکس ِ قبلی:
x_(i+1)=x_i*3.7*(1-x_i) "i" is index

در این رابطه به وضوح مقدار ِ x در آینده کاملا وابسته به مقدار ِ اولیه ی ِ x هستش. این سیستم ِ دنباله ای کاملا آشوب ناک محسوب میشه با این معنی که رفتاری بسیار پیچیده داره. به ازای ِ ایکس ِ اولیه ی 0.4 مقداریر ِ بعدی ِ ایکس رو براتون نشان دادم:



می بینیم که رفتار ِ دوره ای ِ خاصی نشان نمی ده!

برخی از این سیستم ها هستند که رفتار های دوره ای و قابل ِ پیشبینی دارند بعضی ها رفتار های هم گرا دارند و بعضی ها رفتار ِ واگرا. برای همین مطالعه ی ِ رفتار ِ چنین سیستم هایی بسیار جالب و مفید یعنی سیستم هایی که تابع ِ خودشون هستند.

اگر یادتون باشه رابطه ای شبیه ِ رابطه ای که گفتم در مورد فراکتال ها هم بود یعنی فراکتالهای جولیا و چند فراکتال ِ دیگر حاصل ِ رفتار ِ دنباله ای ِ یک سیستم ِ این چنینی هستش و این یعنی فراکتال ها و سیستم های فیزیکی باید نزدیکی ِ قابل ِ توجه ای به هم داشته باشند به طوری که بسیاری از نتایج ِ تحقیقات راجع به فراکتال ها در بررسی ِ سیستمهای فیزیکیه پیچیده کاربرد داره.
ــــــــــــ
امید وارم حرفهام مفید بوده باشه.

[elahe rafiei]

راستش یک چیز هایی به ذهنم رسیده در این باره که می گم:

اصولا بیشتر ِ (تقرببا تمام ِ!) سیستم های فیزیکی-واقعی (مثل ِ اقتصاد) خاصیتی خیلی جالب و البته بدیهی دارند: حالت ِ آینده ی این سیستم ها تابعی از حالت ِ کنونی و ورودی های سیستم هستش یعنی سیستم یک اتفاقی واسش می افته و بعد این اتفاق در سیستم موجب ِ رخ دادن ِ اتفاقات ِ جدید تری میشه این اتفاقات ِ جدید تر موجب ِ اتفاقات ِ جدیدتری ِ دیگری میشه و الخ... پس هر اتفاقی در سیستم می افته تابعی از حالت ِ کنونی ِ سیستم و عوامل ِ خارجی محسوب میشه و این باعث میشه تعقیب ِ رویدادها در گذشته یا آینده تقریبا غیر ِ ممکن بشه. اصولا به چنین سیستم هایی می گویند سیستم های پیچیده. چنین سیستم هایی رو میشه به صورت ِ جبری-ریاضی هم درست کرد مثلا متغییر ِ ایکس رو در نظر بگیرید. من در هر لحظه مقدار ِ ایکس ِ بعدی رو برابر می کنم با مقدار ِ ایکس قبلی ضرب در 3.1 ضرب در یک ِ منهای ِ ایکس ِ قبلی:
x_(i+1)=x_i*3.7*(1-x_i) "i" is index

در این رابطه به وضوح مقدار ِ x در آینده کاملا وابسته به مقدار ِ اولیه ی ِ x هستش. این سیستم ِ دنباله ای کاملا آشوب ناک محسوب میشه با این معنی که رفتاری بسیار پیچیده داره. به ازای ِ ایکس ِ اولیه ی 0.4 مقداریر ِ بعدی ِ ایکس رو براتون نشان دادم:



می بینیم که رفتار ِ دوره ای ِ خاصی نشان نمی ده!

برخی از این سیستم ها هستند که رفتار های دوره ای و قابل ِ پیشبینی دارند بعضی ها رفتار های هم گرا دارند و بعضی ها رفتار ِ واگرا. برای همین مطالعه ی ِ رفتار ِ چنین سیستم هایی بسیار جالب و مفید یعنی سیستم هایی که تابع ِ خودشون هستند.
اگر یادتون باشه رابطه ای شبیه ِ رابطه ای که گفتم در مورد فراکتال ها هم بود یعنی فراکتالهای جولیا و چند فراکتال ِ دیگر حاصل ِ رفتار ِ دنباله ای ِ یک سیستم ِ این چنینی هستش و این یعنی فراکتال ها و سیستم های فیزیکی باید نزدیکی ِ قابل ِ توجه ای به هم داشته باشند به طوری که بسیاری از نتایج ِ تحقیقات راجع به فراکتال ها در بررسی ِ سیستمهای فیزیکیه پیچیده کاربرد داره.
ــــــــــــ
امید وارم حرفهام مفید بوده باشه.

سپاس فراوان بخاطر موضوع جالبی که ایجاد کرده بودین (حیف که من یک سال دیر رسیدم D: )

" امروزه، هندسه فراکتالی در زمینه های گوناگونی به کار برده می شود. برای مثال، هندسه فراکتالی در علوم مهندسی برای تجسم شکل و بافت سطوح پیچیده به کار می رود. در فیلم و تلویزیون، در تولید منظره های خیالی برای پس زمینه فیلم های علمی تخیلی کاربرد دارد. "

یه فایلی آپلود کردم که توضیحات جالب و کاملی درباره "هندسه فراکتالی" داره... ای جمله هم از همین فایله ...
http://www.astroupload.com/do.php?fi...3418612491.pdf

[solh]

يه سواله چند مدتي ذهن من رو درگير كرده: آيا ميتونيم مجموعه اي رو داشته باشيم كه يكي از عضو هاش خودش باشه ؟