ریاضی محض!

[Ehsan]

اصولا تقارن در طبیعت زیاد رخ میده!
به همین دلیل تصمیم گرفتم همزاد ِ فیزیک ِ محض رو ایجاد کنم: ریاضی محض!
اگر مبحث ِ ریاضی خاصی دارید که هیچ ربطی به نجوم و فیزیک نداره اون رو اینجا قرار بدید!

[Ehsan]

اشکال ِ خود متشابه در ریاضیات رو حتما همه تون دیدید. اشکالی مثل ِ شکل های پایین:

به این شکل می گند برفدانه ی کُخ.
این شکلها که هر تکه از اونها شبیه ِ شکل ِ کاملتره فراکتال یا اشکال ِ خود متشابه نام دارند. حتی یک خط هم فراکتال محسوب می شه (هر تکه از خط شبیه ِ خط ِ کاملتره!)
شکل های زیر فراکتال های پیچیده تری هستند:
(این شکل به فراکتال ِ مندل بروت معروفه)





این اشکال بسیار در نظریه های آشوب و سیستمهای فیزیکی ِ پیشرفته کاربرد دارند.
یکی دیگه از انواع ِ فراکتال ها مجموعه ی جولیا (ژولیا یا julia set ) هستش که در واقع ِ مناطقی از صفحه ی مختلط هستند که به ازای یک دنباله ی خاص روی اعداد ِ مختلط همگرا هستند و این اشکال ِ زیبا رو به وجود میارند. شکل های زیر مجموعه ی جولیا به ازای یک مقادیر ِ خاص از دنباله هستند (نقاط ِ سیاه رنگ مجموعه ی جولیا هستند نقاط ِ رنگی در واقع ناحیه ی همگرا نیستند ولی بر اساس ِ میزان ِ واگرایی رنگی بهشون نسبت داده شد .قرمز دیر واگرا می شه و آبی زود)





(تمام ِ عکسها از ویکی پدیا هستند)

[Ehsan]

این یک قضیه ی بسیار زیبا در ریاضیات است!

می گوید می خواهیم با تنها چهار رنگ کشور ها را روی یک نقشه ی جغرافیا رنگ آمیزی کنیم بدون این که رنگ ِ دو کشور همسایه یکی شود! آیا امکان پذیر است؟


نمونه ای از نقشه ی چهار رنگ



این قضیه در واقع به حدس ِ چهار رنگ مشهور است چون سالها بدون اثبات باقی مانده بود. تنها در سالهای اخیر ریاضی دانان با استفاده از کامپیوتر و حساب کردن حالات مختلفی که می تونه برای یک نقشه پیش بیاد شهودی (آزمایشی) نشون دادند که این قضیه درسته! البته خیلی ها هم این رو اثبات نمی دونند ولی کسی تا حالا اثباتش نکرده.

[Sunrise]

یه سوالی که من همیشه داشتم و مثه خیلی آدم های (تنبل) دیگه دنبال جوابش نرفتم این هستش که این نظریه فراکتال ها چه کاربردی داره؟ از وقتی اول دبیرستان بودم این فراکتال های زیبا رو دیدم این سوال رو داشتم تا حالا... ولی خب حالا تصمیم گرفتم بفهمم ماجرا چیه؟!؟

[solh]

يه سواله چند مدتي ذهن من رو درگير كرده: آيا ميتونيم مجموعه اي رو داشته باشيم كه يكي از عضو هاش خودش باشه ؟

[Ehsan]

يه سواله چند مدتي ذهن من رو درگير كرده: آيا ميتونيم مجموعه اي رو داشته باشيم كه يكي از عضو هاش خودش باشه ؟

اگر به تناقض بر خورد نکنیم میشه! بهتره با گذاره های منطقی ِ نظریه ی مجموعه ها امتحان کنید ببینید به تناقض بر خورد می کنید یا نه! منم یه دستی به قلم می برم ببینم چی میشه!

این لینک رو هم ببینید بد نیست:

http://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%BE%...A7%D8%B3%D9%84

[Ehsan]

یه سوالی که من همیشه داشتم و مثه خیلی آدم های (تنبل) دیگه دنبال جوابش نرفتم این هستش که این نظریه فراکتال ها چه کاربردی داره؟ از وقتی اول دبیرستان بودم این فراکتال های زیبا رو دیدم این سوال رو داشتم تا حالا... ولی خب حالا تصمیم گرفتم بفهمم ماجرا چیه؟!؟

راستش یک چیز هایی به ذهنم رسیده در این باره که می گم:

اصولا بیشتر ِ (تقرببا تمام ِ!) سیستم های فیزیکی-واقعی (مثل ِ اقتصاد) خاصیتی خیلی جالب و البته بدیهی دارند: حالت ِ آینده ی این سیستم ها تابعی از حالت ِ کنونی و ورودی های سیستم هستش یعنی سیستم یک اتفاقی واسش می افته و بعد این اتفاق در سیستم موجب ِ رخ دادن ِ اتفاقات ِ جدید تری میشه این اتفاقات ِ جدید تر موجب ِ اتفاقات ِ جدیدتری ِ دیگری میشه و الخ... پس هر اتفاقی در سیستم می افته تابعی از حالت ِ کنونی ِ سیستم و عوامل ِ خارجی محسوب میشه و این باعث میشه تعقیب ِ رویدادها در گذشته یا آینده تقریبا غیر ِ ممکن بشه. اصولا به چنین سیستم هایی می گویند سیستم های پیچیده. چنین سیستم هایی رو میشه به صورت ِ جبری-ریاضی هم درست کرد مثلا متغییر ِ ایکس رو در نظر بگیرید. من در هر لحظه مقدار ِ ایکس ِ بعدی رو برابر می کنم با مقدار ِ ایکس قبلی ضرب در 3.1 ضرب در یک ِ منهای ِ ایکس ِ قبلی:
x_(i+1)=x_i*3.7*(1-x_i) "i" is index

در این رابطه به وضوح مقدار ِ x در آینده کاملا وابسته به مقدار ِ اولیه ی ِ x هستش. این سیستم ِ دنباله ای کاملا آشوب ناک محسوب میشه با این معنی که رفتاری بسیار پیچیده داره. به ازای ِ ایکس ِ اولیه ی 0.4 مقداریر ِ بعدی ِ ایکس رو براتون نشان دادم:



می بینیم که رفتار ِ دوره ای ِ خاصی نشان نمی ده!

برخی از این سیستم ها هستند که رفتار های دوره ای و قابل ِ پیشبینی دارند بعضی ها رفتار های هم گرا دارند و بعضی ها رفتار ِ واگرا. برای همین مطالعه ی ِ رفتار ِ چنین سیستم هایی بسیار جالب و مفید یعنی سیستم هایی که تابع ِ خودشون هستند.

اگر یادتون باشه رابطه ای شبیه ِ رابطه ای که گفتم در مورد فراکتال ها هم بود یعنی فراکتالهای جولیا و چند فراکتال ِ دیگر حاصل ِ رفتار ِ دنباله ای ِ یک سیستم ِ این چنینی هستش و این یعنی فراکتال ها و سیستم های فیزیکی باید نزدیکی ِ قابل ِ توجه ای به هم داشته باشند به طوری که بسیاری از نتایج ِ تحقیقات راجع به فراکتال ها در بررسی ِ سیستمهای فیزیکیه پیچیده کاربرد داره.
ــــــــــــ
امید وارم حرفهام مفید بوده باشه.

[solh]

اگر به تناقض بر خورد نکنیم میشه! بهتره با گذاره های منطقی ِ نظریه ی مجموعه ها امتحان کنید ببینید به تناقض بر خورد می کنید یا نه! منم یه دستی به قلم می برم ببینم چی میشه!

این لینک رو هم ببینید بد نیست:

http://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%BE%...A7%D8%B3%D9%84

تا اونجايي كه پي گير شدم تنها در صورتي تضاد محسوب ميشه كه در پارادوكس راسل جا بگيره ، ولي عميقا دركش به صورت ذهن انسان تا اندازه اي مشكل به حساب مياد .
يه موضوع ديگه كه در اين لينك هم اشاره شد اينه كه آيا پارادكس راسل اين نتيجه رو به همراه آورد كه اصولا مجموعه ي همه ي مجموعه ها وجود ندارد ؟

[Ehsan]

تا اونجايي كه پي گير شدم تنها در صورتي تضاد محسوب ميشه كه در پارادوكس راسل جا بگيره ، ولي عميقا دركش به صورت ذهن انسان تا اندازه اي مشكل به حساب مياد .
يه موضوع ديگه كه در اين لينك هم اشاره شد اينه كه آيا پارادكس راسل اين نتيجه رو به همراه آورد كه اصولا مجموعه ي همه ي مجموعه ها وجود ندارد ؟

راستش یه دستی بر قلم بردم!!! چیزی نیافتم که مانع ِ تعریف ِ این مجموعه بشه!! نمی دونم یه استاد ریاضیی چیزی پیدا کنید میل بزنید بهش تا جواب بده (ترجیحا استاد باشه تا معلم!!!) نتیجه رو هم خواهشان گزارش بدید جاهل از این دنیا نریم!!!

[Ehsan]

دوستی فیزیکی جایی با تعصب ِ کامل گفت که ریاضی ابزار ِ فیزیک محسوب میشه! ولی آیا این گذاره واقعا درسته؟!

من فقط نظر ِ شخصی ِ خودم رو بیان می کنم:

واقعا کم لطفی هستش که ریاضی رو یک ابزار بنامیم. برای این که به دقت بتونیم بررسی کنیم که آیا ریاضی ابزار هستش یا نه بهتره به تعاریف رجوع بکنیم:

ریاضی: (به نقل از ویکی) دانشی است که در آن با استدلال ِ منطقی از اصول و تعریفها به مفاهیم و نتایج ِ دقیق میرسیم.
شاید این تعریف، خیلی شبیه ِ تعریف ِ فلسفه باشه ولی با در واقع با فلسفه فرق داره و فرقش رو هم با فلسفه بولد کردم!

اما تعریف ِ فیزیک (باز به نقل از ویکی :

فیزیک دانش مطالعه ی خواص ِ طبیعت است که علی الاصول باید مقادیری را در طبیعت اندازه گیری کنند و به آنها عدد نسبت بدهند و بعد روابط ِ بین ِ این اعداد (کمیت ها) را پیدا کنند.

بدیهی هستش که چون از روابط ِ بین ِ اعداد صحبت شده مجبوریم که در فیزیک از برخی (و نه از همه ی ) نتایج ِ ریاضیات استفاده کنیم.

چیزی که این وسط واضحه این هستش که ریاضی بسیار بسیار گسترده تر از فیزیک هستش هر چند اصول ِ اولیه ی ریاضی بنا به خواص ِ اولیه ی کیهان بنا گذاری شده ولی ریاضی دانها این قدرت رو داشتند که ساختارهای ِ ریاضی بسازند که هیییییییییچ مشابهی از اون در طبیعت نیست و اصولی که براش در نظر گرفتند کاملا با دنیای ِ فیزیکی متفاوته. و این قدرت رو هم داشتند که اصولی که از فیزیک وام گرفتند رو خیلی دقیق و قوی تر کنند به طوری که فیزیک دانها هم شگفت زده بشوند. پس به معنای ِ واقعی ریاضیات دانشی هستش که فیزیک هم جزئی از اون محسوب میشه یعنی فرق ِ ریاضی و فیزیک در اینه که فیزیک دانها دنبال ِ اصولی هستند که بتواند جهان را با ریاضیات خوب مدل بکند ولی ریاضی دانهای با هر اصول ِ مضوعی (که به تناقض منجر نشه) می توانند ساختاری خلق کنند و راجع به نتایج و ویژگی های این ساختار بحث کنند. پس تنها فرق ِ ریاضی و فیزیک دامنه ی اصولی هستش که قراره انتخاب کنند و نه چیز ِ دیگه!!!!!

(و علی الاصول چون ریاضی دانها می توانند اصول ِ بسیار بسیار بیشتری نسبت به فیزیک دانها انتخاب کنند پس فی الواقع کارشان قوی تر و انرژی بر تر از فیزیک دانهاست!)

با این اوصاف کسی نمی تواند فیزیک را جدا از ریاضی و ریاضی را جدا از فیزیک فرض کند و مفاهیمی مثل ِ «فیزیک بدون ِ ریاضی » را (حتی) مطرح کند!

تبصره برای فیزیک دوستان ِ افراطی(!!!) : اگر دلتون واقعا می خواد که یه جایی پیدا کنید که فیزیک رو از ریاضی جدا بکنه اون یک جا «مشاهده» هستش!!!!! به این معنی که فیزیک دان باید مدل ِ خودش رو با جهان تطبیق بده و مشاهده بکنه ولی ریاضی دان لزومی برای این کار نداره! البته این یک ذره و فقط یک ذره فیزیک رو از ریاضی جدا می کنه ولی در هر صورت اگر مشاهده رو یک فن ِ مهندسی گونه بدونیم و نه جزئی از علم اون موقع همون یک ذره رو هم از فیزیک گرفتیم!!!


دوستان نظر ِخودتون رو هم بگید! مشتاق ِ شنیدنیم!