ریاضی محض!

[Ehsan]

اصولا تقارن در طبیعت زیاد رخ میده!
به همین دلیل تصمیم گرفتم همزاد ِ فیزیک ِ محض رو ایجاد کنم: ریاضی محض!
اگر مبحث ِ ریاضی خاصی دارید که هیچ ربطی به نجوم و فیزیک نداره اون رو اینجا قرار بدید!

[solh]

اگر فرض پیوستگی رو بهش اضافه کنیم فکر کنم دیگه نتونید مثال نقض بیارید ! (یا انکه میتونید تابعی ناپوسته مثال بنزنید که بسط تیلور روی همه ی نقاط به قول شما به خود تابع همگرا بشه)

اگر قابل فهمه بگید توابع مختلط چجوری میشه ما هم بفهمیم !

[estardast]

دنباله فیونانچی هم یکی از دنباله های جذاب و پر راز ورمز تو طبیعت هست
خیلی از معماری های باستانی هم از این دنباله تبعیت کردند...ت وطبیعت هم نمونه های زیادی از این دنباله میبینیم
عدد های اول این دنباله که با:
0و1و1و2و3و5و8و13و21و32و55و..... (غیر از دو عدد اول ، باقی عددها از جمع دو عدد قبلیشون بدست میاند)
اگر هر عدد تو این دنباله رو به عدد قبلی تقسیم کنیم حاصل میشه :1.6 این عدد 1.6 که به عدد طلایی یا جادویی معروف هست ..چون نسبتش خیلی تو طبیعت و معماری های باستانی رعایت شده مثلا:
تو اهرام ثلاثه مصر (هرم ریم پاپیروس اگه اشتباه نکنم) اگه طول یکی از یال هاش رو به نقطه وسط تا نوک تقسیم کنیم حاصل همین عدد جادویی میشه...

تو بدن انسان هم این نسبت وجود داره طول یکی از بند انگشت دست تقسیم بر بند وسطی که میشه باز 1.6 !

مثال های زیادی هم از این دنباله اسرارآمیز تو طبیعت میشه پیدا کنیم

[Ehsan]

اگر فرض پیوستگی رو بهش اضافه کنیم فکر کنم دیگه نتونید مثال نقض بیارید ! (یا انکه میتونید تابعی ناپوسته مثال بنزنید که بسط تیلور روی همه ی نقاط به قول شما به خود تابع همگرا بشه)

اگر قابل فهمه بگید توابع مختلط چجوری میشه ما هم بفهمیم !

فرض ِ پیوستگی به نظر ِ من هم معقول میاد، اما هنوز نکته ای باقیه، فرض ِ پیوستگی چه طوری باید وارد ِ مسئله بشه؟
همین تابع رو در نظر بگیرید:

1\(1+x)

بسطِ تیلورِ این تابع حول ِ x=20 از صفر تا 40 به تابع ِ اصلی همگراست، حتی تا 41 هم همگراست اما از 41 به بعد همگرا نیست، در حالی که در سراسر ِ بازه ی تعریف پیوسته است. پس باید فرض ِ پیوستگی رو به نحو ِ خاصی وارد ِ مسئله کنیم.

در مورد ِ توابع ِ مختلط بحث خیلی شیرینتر هستش، شما برای ِ بسط ِ تیلور در حوزه ی توابعِ مختلط خیلی اثبات ِ شیرین و تمیز و قشنگی دارید، بسطِ تیلور در حوزه ی مختلط برای توابع ِ تحلیلی توصیف میشه، توابع ِ تحلیلی یعنی توابعی که مشتقشون به جهت ِ حرکت در صفحه ی مختلط بستگی نداره، به عبارت ِ دیگه چون توابع ِ مختلط در واقع دو ورودی می گیرند و دو خروجی دارند
u(x,y)+iv(x,y)=f(x+iy) l

بنا بر این ما برای مشتق گیری باید درون ِ صفحه به سمتی حرکت کنیم، برای توابع ِ تحلیلی، حاصل ِ مشتق ربطی به سمت ِ حرکت نداره (تقریبا تعریف ِ تابع تحلیلی هستش). حالا این توابع ِ تحلیلی قضایای بسیار شیرین و قشنگی دارند که از جمله ی این قضایا اینه که توابع ِ تحلیلی در حوزه ای که تحلیلی هستند، می تونند به صورت ِ بسط ِ چند جمله ای بیان بشن(بسط ِ تیلور).

حوزه های ِ بسط ِ تیلور هم همیشه به خاطرِ قضیه ای که اثبات میشه، دوایری حول ِ نقطه ی بسط هستند، علت ِ این که تابع مذکور هم اگر حول ِ صفر بسط داده بشه از یک به بعد همگرا نیست اینه که دایره ی تحلیلی بودن ِ تابع وقتی به مرکز ِ صفر و شعاع ِ یک رسم بشه از اون سمت به نقطه x=-1 میرسه که تابع اونجا تحلیلی نیست و قضایا بی اعتبار میشن.یا اگر حول x=3 دایره ای رسم کنید به شعاع ِ چهار، اون وقت دایره از یک سمت به x=-1 رسیده بنا بر این از سمت ِ دیگه هم (x=7) واگرا میشه.

از جمله قضایای ِ خیلی قشنگ ِ توابع ِ تحلیلی اینه که هر مشتق و انتگرالی از هر مرتبه ای از توابع ِ تحلیلی، تحلیلی هستش. یا همین بسط ِ تیلور و یا این که مولفه های ِ توابع ِ تحلیلی در معادله لاپلاس صدق می کنند و .....

اصلا خیلی قشنگه!
توابع ِ سینوسی و کسینوسی، نمایی، چند جمله ای و معکوس ِ این توابع و هر ترکیبی از این توابع، تحلیلی هستند.
ـــــــــــــ
آها! بحث ِ اصلی این بود که چه طور حوزه ی حقیقی به این حرفها نگاه کنیم! خوب هنوز نظری ندارم!

[solh]

میشه بگین شرط همگرایی به تابع اصلی رو چطوری بدست میارین؟ یعنی از کجا فهمیدین از چه نقطه ای به بعد همگرایی خودش رو از دست میده؟

منظورتون همگرایی به تابع در x>-1 باید باشه ؟ میگم اگر متقارن بودن هم اضافه بشه خوب میشه!!
البته الان با تقلب به ماریون مراجعه کردم توی پیوستش نوشته برای تیلور باید توابع مشتق از هر مرتبه ای پیوسته باشن . توی توماس هم شرطی رو برای اینکه تابع همگرا بشه ارائه کرده ولی این شرط بیشتر برای آزمایش و خطا مناسبه احتمالا . چون در ادامه قضیه وابسته به n اشاره کرده که به اعضای هر مقدار دلخواه باید رابطه برقرار باشه .

یه چیزی دیگه که یادم افتاد اینکه ما الان داریم در مورد ویژگی خاص بسط تیلور صحبت میکنیم دیگه؟ یعنی این موضوع که تابع هایی که ما مثال میزنیم همچنان میتونن بر اساس چند جمله ای های دیگه ای نوشته بشن همچنان وجود داره ؟ ( یاد فضای برداری سابق !)

[smhm]

یک حکایت از کتاب قضاوتهای شگفت انگیز امیرالمؤمنین(ع):

دو نفر با هم به سفر مى رفتند، وقت غذا خوردن فرا رسيد، يكى ازآنان پنج نان و ديگرى سه نان از سفره خود بيرون آوردند، در اين اثناء مردى ازكنارشان عبور كرد، آنان رهگذر را به خوردن غذا دعوت نمودند و هر سه با هم نانها راتمام كردند، رهگذر وقتی خواست برود، هشت درهم عوض غذايى كه خورده بود به ايشان داد.در موقع تقسيم پول نزاعشان درگرفت .
صاحب سه نان به صاحب پنج نان مى گفت : درهمها را باید نصف نصف تقسيم كنيم ، صاحب پنج نان مى گفت : اين تقسيم عادلانه نيست، بلكه من پنج درهم و تو سه درهم مى برى ، به نسبت نانهايى كه گذاشته ايم . ولى طرف نپذيرفت تا اين كه خصومت به نزد حضرت اميرالمومنين عليه السلام بردند. على عليهالسلام به آنان فرمود: برويد و با هم سازش ‍ كنيد و در اين موضوع بى ارزش نزاع و اختلاف مكنيد، گفتند: در هر صورت شما حق را براى ما بيان بفرماييد، پس آن حضرت عليه السلام درهمها را به دست گرفت و هفت درهم به صاحب پنج نان داد و يك درهم به آن كه سه نان داشت.

به نظر شما این تقسیم عجیب چگونه توجیه پذیر است؟

[elahe rafiei]

8/3=2.67
5-2.67=2.33
3-2.67=0.33
2.33/0.33=7

یک حکایت از کتاب قضاوتهای شگفت انگیز امیرالمؤمنین(ع):

دو نفر با هم به سفر مى رفتند، وقت غذا خوردن فرا رسيد، يكى ازآنان پنج نان و ديگرى سه نان از سفره خود بيرون آوردند، در اين اثناء مردى ازكنارشان عبور كرد، آنان رهگذر را به خوردن غذا دعوت نمودند و هر سه با هم نانها راتمام كردند، رهگذر وقتی خواست برود، هشت درهم عوض غذايى كه خورده بود به ايشان داد.در موقع تقسيم پول نزاعشان درگرفت .
صاحب سه نان به صاحب پنج نان مى گفت : درهمها را باید نصف نصف تقسيم كنيم ، صاحب پنج نان مى گفت : اين تقسيم عادلانه نيست، بلكه من پنج درهم و تو سه درهم مى برى ، به نسبت نانهايى كه گذاشته ايم . ولى طرف نپذيرفت تا اين كه خصومت به نزد حضرت اميرالمومنين عليه السلام بردند. على عليهالسلام به آنان فرمود: برويد و با هم سازش ‍ كنيد و در اين موضوع بى ارزش نزاع و اختلاف مكنيد، گفتند: در هر صورت شما حق را براى ما بيان بفرماييد، پس آن حضرت عليه السلام درهمها را به دست گرفت و هفت درهم به صاحب پنج نان داد و يك درهم به آن كه سه نان داشت.

به نظر شما این تقسیم عجیب چگونه توجیه پذیر است؟

[smhm]

8/3=2.67
5-2.67=2.33
3-2.67=0.33
2.33/0.33=7

بله درسته. به زبان فارسی میتونیم اینطوری بگیم:
در مجموع 8 قرص نان وجود داشته. برای اینکه از اعداد اعشاری استفاده نکنیم می توانیم هر قرص نان را به سه تکه تقسیم کنیم. بنابراین جمعا 24 تکه نان داریم که بین سه نفر توزیع شده. پس سهم هر نفر 8 تکه است.
فردی که 5 قرص نان داشته در واقع از 15 تکه نان خود، 8 تکه سهم خود را خورده و 7 تکه باقی مانده را به میهمان داده است.
فردی که 3 قرص نان داشته در واقع از 9 تکه نان خود، 8 تکه سهم خود را خورده و 1 تکه باقی مانده را به میهمان داده است.
در نتیجه پول باید به نسبت هفت به یک بین آنان تقسیم شود.

[Ehsan]

میشه بگین شرط همگرایی به تابع اصلی رو چطوری بدست میارین؟ یعنی از کجا فهمیدین از چه نقطه ای به بعد همگرایی خودش رو از دست میده؟

منظورتون همگرایی به تابع در x>-1 باید باشه ؟ میگم اگر متقارن بودن هم اضافه بشه خوب میشه!!
البته الان با تقلب به ماریون مراجعه کردم توی پیوستش نوشته برای تیلور باید توابع مشتق از هر مرتبه ای پیوسته باشن . توی توماس هم شرطی رو برای اینکه تابع همگرا بشه ارائه کرده ولی این شرط بیشتر برای آزمایش و خطا مناسبه احتمالا . چون در ادامه قضیه وابسته به n اشاره کرده که به اعضای هر مقدار دلخواه باید رابطه برقرار باشه .

یه چیزی دیگه که یادم افتاد اینکه ما الان داریم در مورد ویژگی خاص بسط تیلور صحبت میکنیم دیگه؟ یعنی این موضوع که تابع هایی که ما مثال میزنیم همچنان میتونن بر اساس چند جمله ای های دیگه ای نوشته بشن همچنان وجود داره ؟ ( یاد فضای برداری سابق !)

همگرایی به تابع ِ اصلی یعنی در نقطه ی همگرایی، بشه به ازای هر اپسیلون ِ مثبت، یک عدد ِ صحیح پیدا کرد که دنباله ی بسط (جمع توان های x ) اختلافش با تابعِ اصلی حتما از اپسیلون کوچکتر باشه (همون تعریف ِ حد)

و البته شرط ِ این که واگرا نباشه یا به یک معنی حتما حد داشته باشه و حدش بی نهایت نباشه.

این که بگیم متقارن باشه، مثل ِ آزمون و خطا می مونه یعنی شرطی نیست که ما از آنالیز به دست بیاریم، فکر کنم این بحث در حالت ِ محض وارد حوزه ی آنالیز ریاضی میشه که من هیچ چیزی راجع بهش نمی دونم.

به هر حال، بحث ِ جالبی بود

[Mehrnoosh]

نرمال دوم (یا نرم دوم) یعنی چی؟
که با دستور Binormal توی Maple مینویسند.

[elahe rafiei]

" تمام اعداد طبیعی رو میشه با سه تا عدد 2 و یک سری عملیات ریاضی تولید کرد..."
مثلا عدد 7 برابره با جزء صحیح 2 به توان 2تا رادیکال 2

البته اثباتش زیاد هم سخت نیستا، ولی به عنوان یه بازی ریاضی جالبه