اول:باید بگم که اون توان 2 فراموش شده و تصحیحش کنید
دوم:اون dl رو بالا تعریف کرده بودم که در واقع یک تعمیمی از dl در دستگاه مختصات کروی معمولی است در واقع ما توی هر فضایی که بررسی کنیم یک بعد اضافی داریم که نیازی بهش نیست مثلا در فضای معمولی هم به dz نیاز نداریم و میتونیم اون رو بر حسب dx و dy بنویسیم و اگر x و y و z رو که در بالا تعریف کردم توی dl بذاریم یک تابعی از سیگما و تتا و فی میشود (در واقع اون جمله ی چهارم توی جملات دیگه حساب شده )
سوم:چون ما اینجا به مولفه 00 تانسور متریک نیازی نداریم که همون زمان هست و اضافه کردنش صرفا بیهوده است و کار رو طو لانی تر میکنه
چهارم : اون g که ضرب شده رو صرفا جهت یک نماد گذاری نوشتم و مطمیِن نیستم که اون جوری باشه فقط یک جایی دیدم که این جوری نوشته بود و فقط خواستم به فرم ماتریسی نوشته باشم
و اون ضریب 2 هم به خاطر پارامتر مجهول w و نحوه تغییرات اون ظاهر شده
پنجم : برای درک کردنش میتونید برای کره ی معمولی مراحل فوق رو تکرار کنید و به رابطه 4/3pi r^3 برسید
ولی در واقع ما برای محاسبه حجم به معادله فریدمن نیاز داریم چون باید اون R0 رو پیدا کنیم که همون طول افق است در ضمن معادلات فریدمن خود ریشه در متریک رابرتسون واکر دارند پس ما به طور غیر مستقیم وقتی از معادلات فریدمن استفاده میکنیم از این متریک هم استفاده کردیم
امید وارم واضح جواب داده باشم اگه مشکلی بود باز هم بپرسید
ممنون