صفحه 1 از 9 12345 ... آخرینآخرین
نمایش نتایج: از شماره 1 تا 10 , از مجموع 83

موضوع: مقاطع مخروطی

  1. Top | #1
    کاربر ممتاز
    مدیر تالار

    عنوان کاربر
    كاربر ممتاز آوااستار
    مدال طلای كشوری المپياد نجوم
    تاریخ عضویت
    Jul 2011
    شماره عضویت
    1120
    نوشته ها
    2,424
    تشکر
    12,335
    تشکر شده 28,319 بار در 2,458 ارسال

    Post مقاطع مخروطی

    سلام دوستان

    در مکانیک سماوی و در مساله دو جسم، میدونیم که هر جسمی که تحت اثر گرانش جسمی دیگر قرار داره، در مسیری حرکت میکنه که قسمتی از یک مقطع مخروطیه. در این تاپیک قصد داریم تا ابتدا مقاطع مخروطی مختلف را تعریف کنیم و سپس به بیان روابط ریاضی مورد نیاز برای تحلیل حرکت در مقاطع مخروطی بپردازیم و مثالهایی از کاربرد این روابط بزنیم.

    ممکنه پیش بردن بحث با توجه به نیاز به تصاویر متعدد و مباحث و فرمولهای ریاضی، مقداری کند باشه و طول بکشه ولی گر صبر کنی ز غوره حلوا سازی

    فهرست مطالبی که در این تاپیک مطرح شده است به همراه لینک آنها در ادامه آمده است:

    1- تعریف مقاطع مخروطی

    2- دایره: تعریف دایره ، معادله دایره در دستگاه مختصات دکارتی ، معادله دایره در دستگاه مختصات قطبی ، مثالهایی از حرکت دایره ای در فضا

    3- بیضی: تعریف بیضی ، مشخصات بیضی ، رابطه بین طول قطرها و فاصله کانونهای بیضی ، خروج از مرکز ، رابطه خروج از مرکز و نیم قطرهای بزرگ و کوچک ، اوج و حضیض ، فواصل اوج و حضیض ، معادله بیضی در دستگاه مختصات دکارتی ، معادله بیضی در دستگاه مختصات قطبی ، نمونه ای از کاربرد مدارهای بیضوی در علوم فضایی ،

    4- سهمی: مدارهای باز ، تعریف سهمی ، تعریف دیگر سهمی ، معادله سهمی در دستگاه مختصات کارتزین ، معادله سهمی در دستگاه مختصات قطبی ، کاربرد سهمی: تحلیل حرکت پرتابه ، کاربرد سهمی: آینه های سهموی

    5- هذلولی: تعریف هذلولی، تعریف دیگری از هذلولی، معادله هذلولی در دستگاه مختصات کارتزین، معادله هذلولی در دستگاه مختصات قطبی،

    سخن پایانی

    در نهایت جا داره ذکر کنم که منبع اکثر تصاویر و فرمولها از ویکیپدیا و سایت وُلفرام است!
    ویرایش توسط پیمان اکبرنیا : 03-28-2012 در ساعت 10:55 AM


  2. Top | #2
    کاربر ممتاز
    مدیر تالار

    عنوان کاربر
    كاربر ممتاز آوااستار
    مدال طلای كشوری المپياد نجوم
    تاریخ عضویت
    Jul 2011
    شماره عضویت
    1120
    نوشته ها
    2,424
    تشکر
    12,335
    تشکر شده 28,319 بار در 2,458 ارسال

          تعریف مقطع مخروطی

    مقطع مخروطی چیست؟

    مقطع مخروطی به منحنیهای دو بعدی گفته می شود که در اثر برخورد یک صفحه با مخروطی توخالی به وجود می آید.(معمولا دو مخروط که از راس به هم چسبیده اند و هم محورند به نمایش در می آیند).

    مقاطع مخروطی-allconics-jpg


    بر حسب این که برخورد صفحه با مخروط(ها) چگونه باشد اشکال زیر تولید می شود.
    1- دایره(قرمز): صفحه برخوردی عمود بر محور مخروط باشد.
    2-بیضی(زرد): زاویه برخورد صفحه مایل باشد(به گونه ای که مسیری بسته روی یکی از مخروط ها ایجاد شود).
    3- سهمی(آبی): صفحه برخوردی به صورت موازی با یال(سطح جانبی) مخروط باشد. (سهمی مسیری باز است که فقط در یک مخروط ایجاد میشود)
    4-هذلولی(سبز): زاویه برخورد صفحه به گونه ای باشد که دو مسیر باز در دو مخروط ایجاد شود. ( در شکل بالا صفحه هذلولی موازی محور مخروط است ولی لزوما اینطور نیست)

    سعی کردم به گونه ای توضیح دهم که ساده تر باشد و اصطلاحات پیچیده ریاضی نداشته باشد
    ویرایش توسط پیمان اکبرنیا : 10-09-2011 در ساعت 10:58 PM


  3. Top | #3
    کاربر فعال

    عنوان کاربر
    کاربر فعال
    تاریخ عضویت
    Jan 2011
    شماره عضویت
    448
    نوشته ها
    106
    تشکر
    143
    تشکر شده 56 بار در 7 ارسال

    من در بین مقاطع مخروطی هذلولی برام خیلی جالبه و با وجودی که برای اجرام سماوی شکل عجیبی به نظر میاد. اما دنباله دارهایی هستند که مدار هذلولی دارند یعنی یک سهمی را در آسمان طی و در زمانی که به نقطه اوج می رسند. در جهت مخالف همان سهمی را دوباره طی می کنند. برای من که این موضوع خیلی جالبه و سعی می کنم یک مقاله کامل از این موضوع را ارسال کنم اما فکر می کنم اگه کسی اطلاعات کامل تری داشته باشه موضوع جالبی برای بحث باید باشه. راستی این موضوعی که انتخاب کردید موضوع جالبیه. باز هم تشکر.

  4. 11 کاربر مقابل از sara zare عزیز به خاطر این پست مفید تشکر کرده اند.


  5. Top | #4
    کاربر ممتاز
    مدیر تالار

    عنوان کاربر
    كاربر ممتاز آوااستار
    مدال طلای كشوری المپياد نجوم
    تاریخ عضویت
    Jul 2011
    شماره عضویت
    1120
    نوشته ها
    2,424
    تشکر
    12,335
    تشکر شده 28,319 بار در 2,458 ارسال

    نقل قول نوشته اصلی توسط sara zare نمایش پست ها
    من در بین مقاطع مخروطی هذلولی برام خیلی جالبه و با وجودی که برای اجرام سماوی شکل عجیبی به نظر میاد. اما دنباله دارهایی هستند که مدار هذلولی دارند یعنی یک سهمی را در آسمان طی و در زمانی که به نقطه اوج می رسند. در جهت مخالف همان سهمی را دوباره طی می کنند. برای من که این موضوع خیلی جالبه و سعی می کنم یک مقاله کامل از این موضوع را ارسال کنم اما فکر می کنم اگه کسی اطلاعات کامل تری داشته باشه موضوع جالبی برای بحث باید باشه. راستی این موضوعی که انتخاب کردید موضوع جالبیه. باز هم تشکر.
    سلام

    بله دنباله دارها میتوانند در مدارهای سهمی یا هذلولی حرکت کنند که در ادامه بحث به آنها هم خواهیم پرداخت.

  6. 10 کاربر مقابل از پیمان اکبرنیا عزیز به خاطر این پست مفید تشکر کرده اند.


  7. Top | #5
    کاربر ممتاز
    مدیر تالار

    عنوان کاربر
    كاربر ممتاز آوااستار
    مدال طلای كشوری المپياد نجوم
    تاریخ عضویت
    Jul 2011
    شماره عضویت
    1120
    نوشته ها
    2,424
    تشکر
    12,335
    تشکر شده 28,319 بار در 2,458 ارسال

          تعریف دایره

    خب بریم سراغ اولین مقطع مخروطی: دایره

    تعریف دایره: مکان هندسی مجموعه نقاطی در صفحه که فاصلشون از یک نقطه(مرکز دایره) برابر باشه. به فاصله نقاط از مرکز، شعاع دایره گفته می شود.
    مقاطع مخروطی-radius-circle-jpg


    قطر دایره پاره خطی است که از مرکز دایره بگذرد و آن را به دو قسمت مساوی تقسیم کند. اندازه قطر دو برابره شعاعه!

    مساحت دایره و محیط دایره از روابط زیر به دست می آیند:
    مقاطع مخروطی-01fcc4892814dea3c4385c7b9187db0c-png

    مقاطع مخروطی-dd1d3e3ced22cde50e0e0049decd5ab4-png

    که در آنها، C محیط دایره، r شعاع و d قطر دایره هستند.

  8. 15 کاربر مقابل از پیمان اکبرنیا عزیز به خاطر این پست مفید تشکر کرده اند.


  9. Top | #6
    کاربر ممتاز
    مدیر تالار

    عنوان کاربر
    كاربر ممتاز آوااستار
    مدال طلای كشوری المپياد نجوم
    تاریخ عضویت
    Jul 2011
    شماره عضویت
    1120
    نوشته ها
    2,424
    تشکر
    12,335
    تشکر شده 28,319 بار در 2,458 ارسال

          معادلات دایره در دستگاه مختصات کارتزین

    در این پست معادله دایره در دستگاه مختصات دکارتی را بررسی می کنیم.

    دایره ای به شعاع r را در نظر بگیرید که مرکز آن روی مبدا مختصات است:

    مقاطع مخروطی-circle-unit-pythagoras-gif


    نقطه دلخواهی را روی دایره در نظر بگیریم که مختصات x و y دارد. همان طور که از شکل بالا مشخص است، با وصل کردن یک پاره خط از مبدا به این نقطه، یک مثلث قائم الزاویه تشکیل می شود. برای این مثلث قائم الزاویه، رابطه فیثاغورث را می نویسیم:

    مقاطع مخروطی-250a578d869e4ac1918e793c149f9196-png


    این رابطه، همون معادله دایره است! با جایگذاری هر x در رابطه بالا، 2 جواب y به دست می آید که قرینه همدیگر هستند(مقدار مساوی دارند ولی یکی منفی و دیگری مثبت است). زیرا در دایره به ازای هر x ، دو y وجود دارد. (اگر قبول ندارید برای هر x یک خط موازی محور y رسم کنید، مشاهده می کنید که دایره را در دو نقطه قرینه قطع می کند). عکس این قضیه هم صادقه. یعنی برای هر y، دو x به عنوان جواب موجوده.

    اما معادله دایره ای که مرکز آن روی نقطه (a,b) هست چیه؟

    مقاطع مخروطی-graph-circle-gif


    باز در مثلث بالا اگر فیثاغورث بنویسیم داریم:

    مقاطع مخروطی-e9326e126151d2fb2e0573e8b5f57310-png


    این همون معادله کلی دایره در صفحه مختصات دکارتی است. برای هر دایره به مرکز (a,b) و شعاع r میشه چنین معادله ای نوشت. باز مثل حالت قبل، برای هر x، دو y به عنوان جواب پیدا میشه.

    سوالی بود در خدمتیم

    پی نوشت: الان تو این فکرم که وقتی به بیضی و سهمی و هذلولی برسم با چه بدبختی باید معادلاتشون را توضیح بدم خداوندا به من در نوشتن این تاپیک صبر اعطا بفرما
    ویرایش توسط پیمان اکبرنیا : 10-27-2011 در ساعت 10:10 PM

  10. 26 کاربر مقابل از پیمان اکبرنیا عزیز به خاطر این پست مفید تشکر کرده اند.


  11. Top | #7
    کاربر ممتاز
    مدیر تالار

    عنوان کاربر
    كاربر ممتاز آوااستار
    مدال طلای كشوری المپياد نجوم
    تاریخ عضویت
    Jul 2011
    شماره عضویت
    1120
    نوشته ها
    2,424
    تشکر
    12,335
    تشکر شده 28,319 بار در 2,458 ارسال

          معادله دایره در دستگاه مختصات قطبی

    در این پست به بررسی معادله دایره در دستگاه مختصات قطبی می پردازیم. اول ببینیم دستگاه مختصات قطبی در دو بعد(صفحه) چگونه تعریف می شود.

    برای نشان دادن هر نقطه روی صفحه به دو مختصه نیاز داریم. در دستگاه مختصات دکارتی این دو مختصه x و y هستند. در دستگاه قطبی از یک طول و یک زاویه استفاده می کنیم. به شکل زیر نگاه کنید:

    مقاطع مخروطی-image002-gif


    همان طور که مشخص است. نقطه با مختصات x و y را می توان با دو مختصه دیگر (r , θ) نیز نشان داد.( اون مختصه دوم یک حرف یونانیه که تِتا تلفظ میشه). تتا را همیشه در جهات مثبت مثلثاتی (پادساعتگرد) مثبت نشان می دهند.

    برای اطلاعات بیشتر درباره مختصات قطبی به این تاپیک مراجعه کنید: سیستم های مختصات

    حال ببینیم معادله دایره در مختصات قطبی چیست؟ برای دایره ای که مرکز آن روی مرکز مختصات قرار دارد معادله بسیار ساده است:

    مقاطع مخروطی-300px-circle_r-1-svg-jpg


    معادله عبارت است از:
    مقاطع مخروطی-1883adf1e8c507ae499dc2a7853f47db-png
    در این معادله a شعاع دایره است. معادله به ما میگوید که فاصله تمام نقاط از مرکز دایره(مرکز مختصات) برابر a است و تتا میتواند هر مقداری داشته باشد.
    حال معادله دایره ای که مرکز آن در نقطه (r0, φ) قرار دارد را مینویسیم. ابتدا شکل آن را ببینید:

    مقاطع مخروطی-untitled-jpg


    برای چنین دایره ای، معادله قطبی به صورت زیر است(این معادله از نوشتن رابطه کسیسنوس ها در مثلث OPS به دست آمده):

    مقاطع مخروطی-1b4ec083bdd4c8adee1af02ae04a89e7-png


    در رابطه بالا a شعاع دایره است، نقطه دلخواه P روی دایره مختصات (r , θ) را دارد و مرکز دایره در نقطه (r0, φ)است. از معادله بالا می توان با داشتن r ، تتا را به دست آورد و بر عکس.

    سوالات خود را مطرح کنید

  12. 17 کاربر مقابل از پیمان اکبرنیا عزیز به خاطر این پست مفید تشکر کرده اند.


  13. Top | #8
    کاربر فعال

    عنوان کاربر
    کاربر فعال
    تاریخ عضویت
    Jan 2011
    شماره عضویت
    448
    نوشته ها
    106
    تشکر
    143
    تشکر شده 56 بار در 7 ارسال

    یه سوال ما تو طبیعت خیلی از اشکال و مدارها داریم که شبیه دایره است اما آیا این واقعن تو طبیعت وجود داره. البته ظاهرن که من خودم این رو در جایی ندیدم. راستی یه پیشنهاد در مورد هر کدوم از اشکال یک مثال یا چند مثال از اجرام سماوی اگه میشه بذارید.

  14. 5 کاربر مقابل از sara zare عزیز به خاطر این پست مفید تشکر کرده اند.


  15. Top | #9
    کاربر ممتاز
    مدیر تالار

    عنوان کاربر
    كاربر ممتاز آوااستار
    مدال طلای كشوری المپياد نجوم
    تاریخ عضویت
    Jul 2011
    شماره عضویت
    1120
    نوشته ها
    2,424
    تشکر
    12,335
    تشکر شده 28,319 بار در 2,458 ارسال

    نقل قول نوشته اصلی توسط sara zare نمایش پست ها
    یه سوال ما تو طبیعت خیلی از اشکال و مدارها داریم که شبیه دایره است اما آیا این واقعن تو طبیعت وجود داره. البته ظاهرن که من خودم این رو در جایی ندیدم. راستی یه پیشنهاد در مورد هر کدوم از اشکال یک مثال یا چند مثال از اجرام سماوی اگه میشه بذارید.
    سلام

    بله بسیاری از مدارها در آسمان شبیه دایره هستند. این که میگم شبیه دایره، به خاطر اینه که هیچ وقت نمیشه گفت دقیقا دایره هستند، بستگی داره با چه دقتی بررسی کنیم. ولی برخی مدارها با دقت بسیار خوبی شبیه دایره هستند. در پست بعدی چند مثال از حرکت در مدار دایره ای خواهم زد.

  16. 11 کاربر مقابل از پیمان اکبرنیا عزیز به خاطر این پست مفید تشکر کرده اند.


  17. Top | #10
    کاربر ممتاز
    مدیر تالار

    عنوان کاربر
    كاربر ممتاز آوااستار
    مدال طلای كشوری المپياد نجوم
    تاریخ عضویت
    Jul 2011
    شماره عضویت
    1120
    نوشته ها
    2,424
    تشکر
    12,335
    تشکر شده 28,319 بار در 2,458 ارسال

          مثالهایی از حرکت دایره ای در فضا

    مقاطع مخروطی         
    خب بحث را ادامه میدیم با ذکر مثالهایی از حرکت دایره ای در فضا. همون طور که احتمالا قبلا هم مشاهده کردید، بسیاری از مدارهای حرکت اجسام در میدان گرانشی، دایره ای است. اگر بخواهیم به طور کلی حرکت دایره ای دو جسم را که به یکدیگر نیروی گرانش وارد می کنند بررسی کنیم به صورت زیر است:

    مقاطع مخروطی-orbit2-gif


    (تصویر بالا را باید بتونید به صورت متحرک ببینید چون فرمت GIF دارد. اگر ثابت میبینید یعنی نرم افزار نمایش GIF را ندارید)

    همون طور که از تصویر بالا مشخصه، هر دو جرم در مدارهایی دایره ای شکل به دور مرکز جرم مشترکشان می گردند. مکان مرکز جرم بستگی به نسبت جرم دو جسم دارد.

    مقاطع مخروطی-69-png


    نسبت فاصله جسم 1 از مرکز جرم (r1) به فاصله جسم 2 از مرکز جرم (r2) ، برابر است با نسبت جرم 2 به نسبت جرم 1 (M/m) . این رابطه را در تاپیک مکانیک مداری اثبات خواهم کرد ولی فعلا در همین حد کافیه.

    اگر جسم 2 خیلی پرجرمتر از جرم 1 باشه، میشه فرض کرد که مرکز جرم با تقریب خوبی نزدیک مرکز جسم 2 هست و انگار که جسم 2 ثابته و جسم 1 به دورش میچرخه. برای مثال در ماهواره هایی که مسیر دایره ای دارند، میشه فرض کرد ماهواره به دور زمین میچرخه و زمین ثابته.(شکل پایین)

    مقاطع مخروطی-circular-orbit-jpg


    مدار دایره یک جورهایی حالت خاص مدار بیضوی است. معمولا برای اجرام آسمانی مثل سیارات و ستاره ها، مدارها بیضی هستند ولی اگر این بیضی خیلی شبیه به دایره باشه، میشه در برخی از محاسبات مدار را دایره ای فرض کرد. مثلا در برخی محاسبات مظومه شمسی، میشه مدارهای سیارات را دایره فرض کرد چون با دقت خوبی مدارشون شبیه دایره است ( به جز عطارد).

    برای ماهواره ها(قمرهای مصنوعی) با مدار دایره ای، چون خود ما ماهواره را طراحی کرده و فرستاده ایم، می توان گفت که مدار با دقت بسیار بالایی دایره است.

    این که چه زمانی میتونیم یک مدار را دایره فرض کنیم بستگی به دقت مساله مورد نظر و خواسته اون داره. باید تجربه کار با مدارها و مسائلشون را داشته باشید تا بتونید دید خوبی نسبت به اونها پیدا کنید.

    خب بالاخره دایره تموم شد! به زودی به بیضی خواهیم رسید.

  18. 20 کاربر مقابل از پیمان اکبرنیا عزیز به خاطر این پست مفید تشکر کرده اند.


صفحه 1 از 9 12345 ... آخرینآخرین

اطلاعات موضوع

کاربرانی که در حال مشاهده این موضوع هستند

در حال حاضر 1 کاربر در حال مشاهده این موضوع است. (0 کاربران و 1 مهمان ها)

کلمات کلیدی این موضوع

مجوز های ارسال و ویرایش

  • شما نمیتوانید موضوع جدیدی ارسال کنید
  • شما امکان ارسال پاسخ را ندارید
  • شما نمیتوانید فایل پیوست کنید.
  • شما نمیتوانید پست های خود را ویرایش کنید
  •  
© تمامی حقوق برای آوا استار محفوظ بوده و هرگونه کپی برداري از محتوای انجمن پيگرد قانونی دارد