صفحه 3 از 9 نخستنخست 1234567 ... آخرینآخرین
نمایش نتایج: از شماره 21 تا 30 , از مجموع 83

موضوع: مقاطع مخروطی

  1. Top | #1
    کاربر ممتاز
    مدیر تالار

    عنوان کاربر
    كاربر ممتاز آوااستار
    مدال طلای كشوری المپياد نجوم
    تاریخ عضویت
    Jul 2011
    شماره عضویت
    1120
    نوشته ها
    2,424
    تشکر
    12,335
    تشکر شده 28,319 بار در 2,458 ارسال

    Post مقاطع مخروطی

    سلام دوستان

    در مکانیک سماوی و در مساله دو جسم، میدونیم که هر جسمی که تحت اثر گرانش جسمی دیگر قرار داره، در مسیری حرکت میکنه که قسمتی از یک مقطع مخروطیه. در این تاپیک قصد داریم تا ابتدا مقاطع مخروطی مختلف را تعریف کنیم و سپس به بیان روابط ریاضی مورد نیاز برای تحلیل حرکت در مقاطع مخروطی بپردازیم و مثالهایی از کاربرد این روابط بزنیم.

    ممکنه پیش بردن بحث با توجه به نیاز به تصاویر متعدد و مباحث و فرمولهای ریاضی، مقداری کند باشه و طول بکشه ولی گر صبر کنی ز غوره حلوا سازی

    فهرست مطالبی که در این تاپیک مطرح شده است به همراه لینک آنها در ادامه آمده است:

    1- تعریف مقاطع مخروطی

    2- دایره: تعریف دایره ، معادله دایره در دستگاه مختصات دکارتی ، معادله دایره در دستگاه مختصات قطبی ، مثالهایی از حرکت دایره ای در فضا

    3- بیضی: تعریف بیضی ، مشخصات بیضی ، رابطه بین طول قطرها و فاصله کانونهای بیضی ، خروج از مرکز ، رابطه خروج از مرکز و نیم قطرهای بزرگ و کوچک ، اوج و حضیض ، فواصل اوج و حضیض ، معادله بیضی در دستگاه مختصات دکارتی ، معادله بیضی در دستگاه مختصات قطبی ، نمونه ای از کاربرد مدارهای بیضوی در علوم فضایی ،

    4- سهمی: مدارهای باز ، تعریف سهمی ، تعریف دیگر سهمی ، معادله سهمی در دستگاه مختصات کارتزین ، معادله سهمی در دستگاه مختصات قطبی ، کاربرد سهمی: تحلیل حرکت پرتابه ، کاربرد سهمی: آینه های سهموی

    5- هذلولی: تعریف هذلولی، تعریف دیگری از هذلولی، معادله هذلولی در دستگاه مختصات کارتزین، معادله هذلولی در دستگاه مختصات قطبی،

    سخن پایانی

    در نهایت جا داره ذکر کنم که منبع اکثر تصاویر و فرمولها از ویکیپدیا و سایت وُلفرام است!
    ویرایش توسط پیمان اکبرنیا : 03-28-2012 در ساعت 10:55 AM


  2. Top | #21
    کاربر ممتاز
    مدیر تالار

    عنوان کاربر
    كاربر ممتاز آوااستار
    مدال طلای كشوری المپياد نجوم
    تاریخ عضویت
    Jul 2011
    شماره عضویت
    1120
    نوشته ها
    2,424
    تشکر
    12,335
    تشکر شده 28,319 بار در 2,458 ارسال

    نقل قول نوشته اصلی توسط MOON نمایش پست ها
    آقاي اكبرنيا ضمن تشكر مجدد از مطالب آموزشي شما سوال من اينه كه آيا بعد از پرداختن به بيضي به معادلات مربوط به سهمي و هذلولي هم خواهيد پرداخت ؟
    چون من چند سوال از آن قسمتها دارم اما اگر در برنامه آينده تاپيك هست صبر ميكنم تا بعد از توضيحات شما بپرسم
    مرسي
    بله 100 درصد به سهمی و هذلولی هم خواهیم رسید اما فعلا فکر کنم تا مدت حدود دو ماه در مبحث بیضی باقی خواهیم ماند و بعد وارد سهمی می شویم. اگر سوال ضروری داشتید به صورت پیغام برای من ارسال کنید.

  3. 5 کاربر مقابل از پیمان اکبرنیا عزیز به خاطر این پست مفید تشکر کرده اند.


  4. Top | #22
    کاربر ممتاز
    مدیر تالار

    عنوان کاربر
    كاربر ممتاز آوااستار
    مدال طلای كشوری المپياد نجوم
    تاریخ عضویت
    Jul 2011
    شماره عضویت
    1120
    نوشته ها
    2,424
    تشکر
    12,335
    تشکر شده 28,319 بار در 2,458 ارسال

          اوج و حضیض

    در یک مدار بیضی، دو نقطه وجود دارد که در آن نقاط، فاصله جسم تا یکی از کانونها به حداقل و حداکثر خود می رسد.

    در نجوم، به نزدیک ترین فاصله دو جسم از هم در یک مدار بیضوی، حضیض و به دورترین فاصله، اوج می گویند. به شکل زیر نگاه کنید که در آن جسمی در مداری بیضوی به دور زمین میگردد:

    مقاطع مخروطی-apogeeperigee-jpg


    هنگامی که جسم در نزدیکترین فاصله از زمین است، میگوییم که در حضیض مدارش قرار دارد و هنگامی که در دورترین فاصله است، می گوییم که در اوج است.

    جالب است که در زبان انگلیسی، اوج و حضیض بسته به این که مدارها، به دور چه جسمی و متعلق به چه جسمی باشند، اسمهای گوناگونی دارند! به جدول زیر که از ویکیپدیا گرفتم نگاه کنید! اسامی اوج و حضیض اجسام مختلف آسمانی در آن آمده است.

    مقاطع مخروطی-untitled5-jpg



    اگر دقت کنید به طور مشترک، تمام اوجها با Apo و تمام حضیضها با Peri شروع می شوند. واقعا نمیدونم برای چی برای یک مفهوم مشترک این همه کلمه اختراع کردند!

    در پست بعدی روابط ریاضی اوج و حضیض مدارها را به دست خواهم آورد.
    ویرایش توسط پیمان اکبرنیا : 12-01-2011 در ساعت 10:20 PM

  5. 15 کاربر مقابل از پیمان اکبرنیا عزیز به خاطر این پست مفید تشکر کرده اند.


  6. Top | #23
    کاربر ممتاز
    مدیر تالار

    عنوان کاربر
    كاربر ممتاز آوااستار
    مدال طلای كشوری المپياد نجوم
    تاریخ عضویت
    Jul 2011
    شماره عضویت
    1120
    نوشته ها
    2,424
    تشکر
    12,335
    تشکر شده 28,319 بار در 2,458 ارسال

          فواصل اوج و حضیض

    در پست قبل با تعاریف اوج و حضیض آشنا شدیم. حال ببینیم فاصله اوج(max) و حضیض(min) چقدر است؟
    اول با شکل زیر یادآوری میکنم که نصف فاصله بین کانونها برابر است با نیم قطر بزرگ ضرب در خروج از مرکز (a*e):

    مقاطع مخروطی-kp11-gif


    به شکل زیر دقت کنید، میخواهیم مقدار حضیض و اوج را به دست آوریم:

    مقاطع مخروطی-kp6a-gif


    با دقت در شکل میبینید که فاصله حضیض برابر است با اندازه نیم قطر بزرگ(a)، منهای نصف فاصله کانونها(a*e). پس داریم:
    (r(min)= a-ae=a(1-e

    و به همین صورت فاصله اوج برابر است با نیم قطر بزرگ به اضافه نصف فاصله کانونها:
    (r(max)= a+ae=a(1+e

    بعضی وقتها حضیض را با نماد (per) و اوج را با (ap) نمایش می دهند. با این تعاریف داریم:

    مقاطع مخروطی-e5fd6d93684d608bd82650feb4844255-png


    مقاطع مخروطی-af335ebd91e47da86fcb0800cd1ecc54-png


    مثالی خاص از روابط بالا: مثلا یک مدار دایره را فرض کنید. خروج از مرکز آن صفر است(e=0) پس حضیض و اوج با هم برابرند! (خیلی بدیهی است البته!)

    هرچه خروج از مرکز بیشتر شود فاصله اوج بیشتر و فاصله حضیض کمتر می شود. دقت کنید که اگر دو رابطه بالا را با هم جمع کنیم خروج از مرکز حذف میشود و رابطه زیر را داریم:

    مقاطع مخروطی-14c6699590925c8c3b83b5d3d05d5840-png


    یعنی اندازه نیم قطر بزرگ مدار برابر میانگین فاصله اوج و حضیض است که از نظر شهودی هم درست به نظر
    می آید.

    و اگر دو رابطه بالا را از هم کم کنیم با حذف a رابطه زیر حاصل می شود:

    مقاطع مخروطی-12c9032b99f05226cb9b1646fafc8c16-png

    یعنی خروج از مرکز عبارت است از اختلاف فاصله اوج و حضیض تقسیم بر مجموع آنها. به صورت زیر نیز میتوان نوشت:

    مقاطع مخروطی-39397344cef2047ee31892daae91905b-png


    مثال: فاصله یک دنباله دار از خورشید در اوج مداری معادل 10 واحد نجومی و فاصله حضیض آن 2 واحد نجومی است، خروج از مرکز مدار آن چقدر است؟ اندازه نیم قطر بزرگ مداری آن چقدر است؟

    جواب : خروج از مرکز یعنی (اوج - حضیض) تقسیم بر (اوج+حضیض) یا 8 تقسیم بر 12 که معادل است با:
    e=0.67

    نیم قطر بزرگ مدار هم برابر است با میانگین فاصله اوج و حضیض که میشود 6 واحد نجومی:
    a=6 Au

    در پست بعدی به معادلات بیضی در دستگاه مختصات کارتزین خواهیم پرداخت.

    سوالی نیست؟
    ویرایش توسط پیمان اکبرنیا : 12-02-2011 در ساعت 12:11 AM

  7. 11 کاربر مقابل از پیمان اکبرنیا عزیز به خاطر این پست مفید تشکر کرده اند.


  8. Top | #24
    کاربر ممتاز
    مدیر تالار

    عنوان کاربر
    كاربر ممتاز آوااستار
    مدال طلای كشوری المپياد نجوم
    تاریخ عضویت
    Jul 2011
    شماره عضویت
    1120
    نوشته ها
    2,424
    تشکر
    12,335
    تشکر شده 28,319 بار در 2,458 ارسال

          معادله بیضی در دستگاه مختصات کارتزین

    سلام به همه

    در پستهای قبل با مشخصات هندسی بیضی به طور مفصل آشنا شدیم. حالا بیاییم و ببینیم معادلات بیضی در دستگاه های مختصات چگونه است؟ از دستگاه دکارتی شروع میکنیم. یک بیضی را در نظر بگیرید که مرکز آن، مرکز مختصات است و قطرهای آن، منطبق بر محورهای مختصات هستند:

    مقاطع مخروطی-conics003-png


    معادله نقاط روی این بیضی به این صورت است:

    مقاطع مخروطی-eqn_ell_cart-gif


    در این معادله اگر اندازه نیم قطر بزرگ(a) و کوچک(b) معلوم باشد، معادله قابل حل است.

    اما اثبات این معادله مقداری طولانی است. البته از همان روابطی که قبلا به دست آوردیم اثبات میشود. اگر به اثباتش علاقه دارید اینجا را ببینید:

    http://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_...ng_the_ellipse

    توجه: در مسائل نجومی معمولا معادلات بیضی در دستگاه دکارتی چندان کاربرد ندارد. معادلات در دستگاه قطبی مهم است که در پست آینده به آن میپردازم.

  9. 8 کاربر مقابل از پیمان اکبرنیا عزیز به خاطر این پست مفید تشکر کرده اند.


  10. Top | #25
    کاربر ممتاز

    عنوان کاربر
    کاربر ممتاز
    تاریخ عضویت
    Dec 2010
    شماره عضویت
    422
    نوشته ها
    113
    تشکر
    117
    تشکر شده 338 بار در 56 ارسال

    جناب آقاي اكبرنيا ما همچنان پيگير و مشتاق مطالب خوب شما در اين تاپيك عالي هستيم .

    يك پيشنهاد دارم ...

    اگر صلاح ميدونيد ، در يك پست همه تعاريف و روابط مهمي كه تا آخر تاپيك مد نظرتون هست رو بذاريد تا ما بتونيم مرور كنيم و اينجا سوالاتمون رو بپرسيم

  11. 4 کاربر مقابل از MOON عزیز به خاطر این پست مفید تشکر کرده اند.


  12. Top | #26
    کاربر ممتاز
    مدیر تالار

    عنوان کاربر
    كاربر ممتاز آوااستار
    مدال طلای كشوری المپياد نجوم
    تاریخ عضویت
    Jul 2011
    شماره عضویت
    1120
    نوشته ها
    2,424
    تشکر
    12,335
    تشکر شده 28,319 بار در 2,458 ارسال

    نقل قول نوشته اصلی توسط MOON نمایش پست ها
    جناب آقاي اكبرنيا ما همچنان پيگير و مشتاق مطالب خوب شما در اين تاپيك عالي هستيم .

    يك پيشنهاد دارم ...

    اگر صلاح ميدونيد ، در يك پست همه تعاريف و روابط مهمي كه تا آخر تاپيك مد نظرتون هست رو بذاريد تا ما بتونيم مرور كنيم و اينجا سوالاتمون رو بپرسيم
    بله یک مدت به دلیل مشغله زیاد در سایر تاپیکها، اینجا کم فعالیت شده بود. دوباره فعالیت را از سر خواهیم گرفت.

  13. 7 کاربر مقابل از پیمان اکبرنیا عزیز به خاطر این پست مفید تشکر کرده اند.


  14. Top | #27
    کاربر ممتاز
    مدیر تالار

    عنوان کاربر
    كاربر ممتاز آوااستار
    مدال طلای كشوری المپياد نجوم
    تاریخ عضویت
    Jul 2011
    شماره عضویت
    1120
    نوشته ها
    2,424
    تشکر
    12,335
    تشکر شده 28,319 بار در 2,458 ارسال

          معادله بیضی در دستگاه مختصات قطبی

    بعد از یک وقفه ادامه میدیم:

    بعد از بررسی معادله دکارتی بیضی، برسیم به مهمترین معادله بیضی در نجوم: معادله در دستگاه قطبی

    در این معادله، مرکز دستگاه مختصات روی کانون بیضی قرار داره.(نه مرکز)

    در نجوم، اون کانونی را میگذاریم در مرکز دستگاه مختصات، که جسم اونجا قرار داره. مثلا در حرکت یک دنباله دار به دور خورشید، میدونیم که خورشید در کانون بیضی هست و دنباله دار به دورش میچرخه، پس خورشید میشه مرکز دستگاه مختصات و اون کانون مد نظرمون هست.

    حالا با این فرض شکل زیر را در نظر بگیرید:

    مقاطع مخروطی-ellipsefocus_1000-gif


    در این شکل F کانون بیضی(اون کانون به درد بخور!) هست و C مرکز بیضی. پاره خطی که سمت راست F قرار داره، حضیض بیضی هست. برای هر خط دلخواه دیگر که از نقطه ای روی بیضی به کانون رسم بشه(مثل اون خط مایل بالای حضیض)، معادله ای به شکل زیر وجود داره(بدون اثبات فقط ذکرش میکنم، اثباتش بمونه برای ریاضی دوستان!) :

    مقاطع مخروطی-eqn_ell_polar-gif


    این همون معادله قطبی بسیار به درد بخور هست که بسیار باهاش کار داریم. پارامترها چیا هستند؟

    در سمت راست، r فاصله جسم از کانون (مرکز دستگاه مختصات) هست که در شکل معلومه.
    در سمت چپ:

    تتا(θ): زاویه بین خط واصل جسم تا کانون و خط واصل کانون تا حضیض هست که در شکل معلومه. این زاویه در نقطه حضیض صفر هست و تا رسیدن به اوج به 180 درجه میرسه.

    a: همون نیم قطر بزرگ مداره.

    e: همون خروج از مرکزه.

    برای یک دایره مقدار e مساوی است با صفر و معادله تبدیل میشه به r=a که همون معادله دایره است!

    اما برای بیضی:

    در تتا(θ) مساوی صفر(حضیض): کسینوس تتا میشه چقدر؟ 1. پس مخرج میشه (1+e) صورت هم میشه به صورت مزدوج نوشت a(1+e)(1-e . پس عبارت (1+e) از صورت و مخرج حذف میشه و داریم:
    (r(min)= a(1-e
    این رو قبلا هم از راهی دیگر به دست آورده بودیم.

    برای اوج مقدار تتا، 180 درجه خواهد بود و کسینوس آن 1- میشه و در مخرج عبارت 1 منهای e ایجاد میشه و باز با مزدوج نوشتن صورت و ساده کردن با مخرج میرسیم به این که:
    (r(max)=a(1+e
    که همون فاصله اوجه که قبلا حساب کرده بودیم.

    برای هر زاویه بین اوج و حضیض هم مقدار کسینوس تتا بین 1 تا 1- متغیره و فواصلی که از فرمول به دست میاد، یک چیزی بین فاصله اوج تا حضیض میشه.

    فعلا این از خود رابطه. در پست بعد ازش مثال میزنم.

    تا اینجا سوالی نیست؟
    ویرایش توسط پیمان اکبرنیا : 01-05-2012 در ساعت 11:30 PM

  15. 11 کاربر مقابل از پیمان اکبرنیا عزیز به خاطر این پست مفید تشکر کرده اند.


  16. Top | #28
    کاربر ممتاز

    عنوان کاربر
    کاربر ممتاز
    تاریخ عضویت
    Dec 2010
    شماره عضویت
    422
    نوشته ها
    113
    تشکر
    117
    تشکر شده 338 بار در 56 ارسال

    خيلي ممنون جناب اكبرنيا

    من يك سوال دارم

    در معادلات مكانيك سماوي مثلآ داريم Gm1m2/r^2=mv^2/r ... كه البته مربوط به مدار دايره اي ميشه ...درسته ؟

    حالا در مدار هاي بيضي كه r متغير است ، آيا ميتونيم a ( نيم قطر بزرگ ) رو به جاي r بذاريم و با اين روش سرعت متوسط رو به دست بياريم ؟

    يعني آيا اين معادله براي بيضي به اين شكل درسته ؟ : Gm1m2/a^2=mv^2/a

    ممنون

  17. 6 کاربر مقابل از MOON عزیز به خاطر این پست مفید تشکر کرده اند.


  18. Top | #29
    کاربر فعال

    عنوان کاربر
    کاربر فعال
    تاریخ عضویت
    Jan 2012
    شماره عضویت
    2779
    نوشته ها
    84
    تشکر
    178
    تشکر شده 359 بار در 77 ارسال

    نقل قول نوشته اصلی توسط پیمان اکبرنیا نمایش پست ها
    مقطع مخروطی چیست؟

    مقطع مخروطی به منحنیهای دو بعدی گفته می شود که در اثر برخورد یک صفحه با مخروطی توخالی به وجود می آید.(معمولا دو مخروط که از راس به هم چسبیده اند و هم محورند به نمایش در می آیند).

    فایل پیوست 2471

    بر حسب این که برخورد صفحه با مخروط(ها) چگونه باشد اشکال زیر تولید می شود.
    1- دایره(قرمز): صفحه برخوردی عمود بر محور مخروط باشد.
    2-بیضی(زرد): زاویه برخورد صفحه مایل باشد(به گونه ای که مسیری بسته روی یکی از مخروط ها ایجاد شود).
    3- سهمی(آبی): صفحه برخوردی به صورت موازی با یال(سطح جانبی) مخروط باشد. (سهمی مسیری باز است که فقط در یک مخروط ایجاد میشود)
    4-هذلولی(سبز): زاویه برخورد صفحه به گونه ای باشد که دو مسیر باز در دو مخروط ایجاد شود. ( در شکل بالا صفحه هذلولی موازی محور مخروط است ولی لزوما اینطور نیست)

    سعی کردم به گونه ای توضیح دهم که ساده تر باشد و اصطلاحات پیچیده ریاضی نداشته باشد
    اگر اشتباه نکنم خط و نقطه هم جز مقاطع مخروطی هستن

  19. 4 کاربر مقابل از COLDFIRE عزیز به خاطر این پست مفید تشکر کرده اند.


  20. Top | #30
    کاربر ممتاز
    کاربر فعال

    عنوان کاربر
    کاربر ممتاز
    تاریخ عضویت
    Jun 2011
    شماره عضویت
    902
    نوشته ها
    760
    تشکر
    11,053
    تشکر شده 5,824 بار در 808 ارسال

    مقاطع مخروطی         
    نقل قول نوشته اصلی توسط COLDFIRE نمایش پست ها
    اگر اشتباه نکنم خط و نقطه هم جز مقاطع مخروطی هستن
    درسته ! اشتباه نکردید ، فقط دقت نکردید
    خط و نقطه حالتهای خاصی از سهمی و دایره هستند




    مؤید باشید ...
    ویرایش توسط Amin-Mehraji : 01-17-2012 در ساعت 04:05 PM دلیل: تصحیح اشکال

  21. 7 کاربر مقابل از Amin-Mehraji عزیز به خاطر این پست مفید تشکر کرده اند.


صفحه 3 از 9 نخستنخست 1234567 ... آخرینآخرین

اطلاعات موضوع

کاربرانی که در حال مشاهده این موضوع هستند

در حال حاضر 1 کاربر در حال مشاهده این موضوع است. (0 کاربران و 1 مهمان ها)

کلمات کلیدی این موضوع

مجوز های ارسال و ویرایش

  • شما نمیتوانید موضوع جدیدی ارسال کنید
  • شما امکان ارسال پاسخ را ندارید
  • شما نمیتوانید فایل پیوست کنید.
  • شما نمیتوانید پست های خود را ویرایش کنید
  •  
© تمامی حقوق برای آوا استار محفوظ بوده و هرگونه کپی برداري از محتوای انجمن پيگرد قانونی دارد