مقاطع مخروطی

[پیمان اکبرنیا]

سلام دوستان

در مکانیک سماوی و در مساله دو جسم، میدونیم که هر جسمی که تحت اثر گرانش جسمی دیگر قرار داره، در مسیری حرکت میکنه که قسمتی از یک مقطع مخروطیه. در این تاپیک قصد داریم تا ابتدا مقاطع مخروطی مختلف را تعریف کنیم و سپس به بیان روابط ریاضی مورد نیاز برای تحلیل حرکت در مقاطع مخروطی بپردازیم و مثالهایی از کاربرد این روابط بزنیم.

ممکنه پیش بردن بحث با توجه به نیاز به تصاویر متعدد و مباحث و فرمولهای ریاضی، مقداری کند باشه و طول بکشه ولی گر صبر کنی ز غوره حلوا سازی

فهرست مطالبی که در این تاپیک مطرح شده است به همراه لینک آنها در ادامه آمده است:

1- تعریف مقاطع مخروطی

2- دایره: تعریف دایره ، معادله دایره در دستگاه مختصات دکارتی ، معادله دایره در دستگاه مختصات قطبی ، مثالهایی از حرکت دایره ای در فضا

3- بیضی: تعریف بیضی ، مشخصات بیضی ، رابطه بین طول قطرها و فاصله کانونهای بیضی ، خروج از مرکز ، رابطه خروج از مرکز و نیم قطرهای بزرگ و کوچک ، اوج و حضیض ، فواصل اوج و حضیض ، معادله بیضی در دستگاه مختصات دکارتی ، معادله بیضی در دستگاه مختصات قطبی ، نمونه ای از کاربرد مدارهای بیضوی در علوم فضایی ،

4- سهمی: مدارهای باز ، تعریف سهمی ، تعریف دیگر سهمی ، معادله سهمی در دستگاه مختصات کارتزین ، معادله سهمی در دستگاه مختصات قطبی ، کاربرد سهمی: تحلیل حرکت پرتابه ، کاربرد سهمی: آینه های سهموی

5- هذلولی: تعریف هذلولی، تعریف دیگری از هذلولی، معادله هذلولی در دستگاه مختصات کارتزین، معادله هذلولی در دستگاه مختصات قطبی،

سخن پایانی

در نهایت جا داره ذکر کنم که منبع اکثر تصاویر و فرمولها از ویکیپدیا و سایت وُلفرام است!

[پیمان اکبرنیا]

سلام

بعد از صحبت درباره دایره، میرسیم به بیضی. این بحثمون درباره بیضی از دایره طولانی تر هست و مطالبش هم برای بسیاری جدیده! پس دقت کنید و سوال بپرسید.

بیضی چیست؟
تعریف اول: همون طور که در پست دوم گفتم، در اثر برخورد یک صفحه مایل با رویه ی یک مخروط، یک منحنی ایجاد میشه که اگر بسته باشه، بیضی نامیده میشه.

اما تعریف دیگری هم وجود داره:

قبل از تعریف بیضی برگردیم به تعریف دایره: مجموعه نقاطی در صفحه، که فاصله آنها از یک نقطه (مرکز) ثابت است. (که به این ثابت میگیم شعاع دایره)

حالا بیضی تعریفش اینه: مجموعه نقاطی که جمع فاصله های آنها از دو نقطه، مقداری ثابت باشد.(به این ثابت میگیم: قطر بزرگ بیضی، که بعدا بهش میرسیم). تعریف اینجوریش یک مقدار سخته. نیاز به یک شکل داره:

برای تمام نقاط آبی (محیط بیضی) داریم: مقداری ثابت= PF'+PF

برای درک بهتر، به شکل زیر نیز بنگرید:

به نقاط P2، P1 و P3 نگاه کنید. مجموع فاصله هر کدام از این سه نقطه، از 2 نقطه F1 و F2 با هم برابره پس اونها روی سطح یک بیضی هستند. (رابطه بالای شکل را ببینید)

چگونه یک بیضی بکشیم؟

کافیه که دو سر یک نخ را به هم را گره بزنیم و یک محیط بسته درست کنیم. حالا به 2 پونز نیاز داریم تا این نخ را دورش بندازیم و یک مداد! (یا اصلا دو سر نخ را به خود پونزها ببندیم و مداد را بندازیم داخلش و بکشیم)

اگر مداد را روی صفحه حرکت دهیم، به گونه ای که نخ همیشه کشیده باشه، یک بیضی خواهیم کشید.

نقش این نخ اینه که طولش همیشه ثابته پس همیشه مجموع فاصله نقطه نوک مداد با دو پونز، مقدار ثابتی می مونه و میشه تعریف بیضی. همین الان مدادهاتون را بردارید و بیضی بکشید. فاصله پونزها و طول نخ را عوض کنید و ببینید بیضی چه تغییری میکنه.

نبینم کسی بیضی نکشیده ها! سر کلاس که میایید باید مشقاتون را انجام بدید بعد اگر امتحان بگیرم نگید نگفتیدها!

پس بیضی یک نوع دایره کشیده است که به جای یک مرکز، دو مرکز داره! (تعریف خیلی خودمونی و الکی ).

دقت کنید هر شکلی که یک دایره ی کشیده به نظر بیاد بیضی نیست! باید حتما تعریف بالا درش صادق باشه.

به اون نقطه هایی که پونزها رویشان قرار دارند میگویند کانون های بیضی. هر بیضی دو کانون داره. اگر این دو کانون به به هم برسانیم و به هم بچسبانیم، بیضی به دایره تبدیل می شود! پس دایره حالت خاص بیضی است!

[celestial boy]

با سلام خدمت دوستان و همچنین آقای اکبر نیا...

ببخشید یکم دیر تاپیک رو دیدم.سوالم درباره دایره مونده.عذر می خوام.

در مسائل نجوم مثل حرکت سیاره ها به دور خورشید (اگه مسیر رو دایره بفرضیم!) دیگه نیازی به رابطه های دوم هم که مرکز رو غیر از مرکز اصلی مختصات فرض کرده هست؟یعنی نمی شه خورشید رو مرکز دستگاه مختصات بگیریم و از همون رابطه های ساده استفاده کنیم؟تا اون جایی که من فهمیدم اون فرمول های طولانی بیشتر تو ریاضی کاربرد دارن.یکم هم درباره کاربرد اون نوع فرمولا تو نجوم یا فیزیک بنویسید ممنون می شم.
شرمنده بی جا بود.

[پیمان اکبرنیا]

با سلام خدمت دوستان و همچنین آقای اکبر نیا...

ببخشید یکم دیر تاپیک رو دیدم.سوالم درباره دایره مونده.عذر می خوام.

در مسائل نجوم مثل حرکت سیاره ها به دور خورشید (اگه مسیر رو دایره بفرضیم!) دیگه نیازی به رابطه های دوم هم که مرکز رو غیر از مرکز اصلی مختصات فرض کرده هست؟یعنی نمی شه خورشید رو مرکز دستگاه مختصات بگیریم و از همون رابطه های ساده استفاده کنیم؟تا اون جایی که من فهمیدم اون فرمول های طولانی بیشتر تو ریاضی کاربرد دارن.یکم هم درباره کاربرد اون نوع فرمولا تو نجوم یا فیزیک بنویسید ممنون می شم.
شرمنده بی جا بود.

سلام

خواهش میکنم هر وقت سوال دارید بپرسید مشکلی نیست.

ببینید کلا برای منظومه شمسی میشه خورشید را در مرکز قرار دارد و فرض کرد که بقیه به دور خورشید می گردند و چون جرم خورشید خیلی زیاده، تمام روابط درست خواهند بود و میشه فرض کرد خورشید هیچ حرکتی نداره و ثابته. اون فرمولهایی که برای دایره های خارج از مرکز مختصات نوشتم فقط یک کار ریاضی بود و کاربرد چندانی در نجوم ندارند.

فرمولهای هندسی دایره چندان کاربردی در مسائل نجوم ندارند. بیشتر فرمولهای مکانیکی و فیزیک حرکت مهم هستند که در تاپیک مکانیک مداری اونها را بررسی می کنیم.

فرمولهای اصلی هندسی که خیلی کاربرد دارند مربوط به بیضی و سهمی و هذلولی هستند که در ادامه به اونها میرسیم.

[پیمان اکبرنیا]

هر شکل کلی هندسی، را با یک سری مشخصه (پارامتر)، تعریف می کنند. مثلا، مثلثی را که طول اضلاعش مشخص باشد، می توان رسم کرد یا دایره ای که شعاع مشخص داشته باشد، قابل ترسیم است.

در این پست بررسی می کنیم که برای مشخص کردن بیضی به چه پارامترهایی نیاز داریم.

هر بیضی دارای 2 محور تقارن است. به شکل زیر نگاه کنید:

پاره خط 'AA یکی از خطوط تقارن بیضی است که از 2 کانون بیضی میگذرد. به طول 'AA قطر بزرگ بیضی می گویند و به نصف آن، نیم قطر بزرگ بیضی. به طور قرارداری طول نیم قطر بزرگ را a در نظر میگیرند پس طول قطر بزرگ 2a است.

حال به تعریف بیضی برگردیم: مجموعه نقاطی که فاصله آن ها از دو کانون مقداری ثابتی است. برای نقطه A داریم:

مقداری ثابت=F1A+F2A

و از طرفی به دلیل تقارن میدانیم:

F2A'=F1A

پس با جایگذاری رابطه دومی در اولی داریم:

F1A+F2A= F2A'+F2A

از شکل مشخص است که F2A'+F2A برابر طول قطر بزرگ بیضی است پس:

F2A'+F2A= 2a
<=

F1A+F2A=2a

و چون برای یک نقطه مجموع فاصله از دو کانون برابر 2a شد پس طبق تعریف بیضی برای تمام نقاط روی سطح بیضی، مجموع دو فاصله از کانون برابر اندازه قطر بزرگ است.

حال برسیم به مشخصه دیگر بیضی یعنی قطر کوچک:

پاره خط 'BB دومین محور تقارن بیضی است و آن را قطر کوچک بیضی می نامند و به نصف آن،نیم قطر کوچک بیضی می گویند. اندازه نیم قطر کوچک را برابر b و اندازه قطر کوچک را برابر 2b در نظر میگیرند.

برای ترسیم هر بیضی، کافی از طول قطر بزرگ و کوچک آن را بدانیم. یعنی به ازای یک اندازه مشخص برای قطر بزرگ و قطر کوچک، فقط و فقط یک بیضی موجود است.

اما مشخصه دیگری هم در بیضی وجود دارد که به آن فاصله کانونی میگویند:

همانطور که میبینید به فاصله بین دو کانون 2c میگویند.( البته در بعضی کتابها 2f میگویند). پس c برابر است با نصف فاصله کانونها.

در پست بعدی رابطه بین a و b و c را بیان میکنم.

[پیمان اکبرنیا]

همان طور که در پست قبل گفتم، هر بیضی 3 مشخصه دارد

نیم قطر بزرگ : a
نیم قطر کوچک: b
نصف فاصله کانونها: c

حال ببینیم که رابطه این 3 پارامتر باهم چگونه است؟ به شکل زیر نگاه کنید:

اگر از هر کانون خطی به نقطه B1 رسم کنیم، طبق تعریف بیضی داریم که مجموع طول این دو پاره خط برابر با 2a است. پس به دلیل تقارن، هر یک از این پاره خطها، طولی برابر a دارد. حال مثلث OF2B1 را در نظر بگیرید. این یک مثلث قائم الزاویه است زیرا دو قطر بیضی بر هم عمودند.

در این مثلث قائم الزاویه رابطه فیثاغورث را مینویسیم:

a^2=b^2+c^2

این رابطه، همان رابطه بین طول نصف اقطار و نصف فاصله کانونی است. در نجوم معمولا نصف فاصله کانونی(c) را به جای f ، c می نامند. پس رابطه بین آنها به صورت زیر در می آید:

در این رابطه با داشتن a و b مقدار f به دست می آید.

در پست بعد، خواهم گفت که تعریف خروج از مرکز بیضی چیست و چه کاربردی دارد.

[پیمان اکبرنیا]

خب دوستان تا الان مشخصات اصلی بیضی را تعریف کردیم. اما در این پست میخواهم یک پارامتر بسیار مهم دیگر را معرفی کنم که کار ما را در معرفی یک بیضی بسیار راحت می کند.

این پارامتر خروج از مرکز نام دارد. تعریف آن به این صورت است:

خروج از مرکز یعنی نسبت فاصله کانونها به اندازه قطر بزرگ بیضی. فاصله کانونها را تعریف کردیم 2c و قطر بزرگ را تعریف کردیم 2a پس خروج است مرکز میشه نسبت 2c به 2a یا به صورت ساده شده:



خروج از مرکز را با e (مخفف eccentricity) نشان میدهند. حالا ببینیم اصلا خروج از مرکز نشان دهنده چیست؟ خروج از مرکز به بیان ساده نشان دهنده میزان کشیده بودن یک بیضی است. مثالی بزنم. به شکل زیر نگاه کنید:

شکل بالا نشان دهنده تعدادی بیضی است که داخل یک دایره قرار دارند. اندازه قطر بزرگ تمام این بیضی ها با هم برابر است. هرچه بیضی کشیده تر باشد، خروج از مرکز آن بیشتر است یعنی فاصله کانونهای آن از هم بیشتر است. بیضی آبی از همه بیضی ها کشیده تر است پس بیشترین خروج از مرکز را دارد. خروج از مرکز یک دایره صفر است زیرا در دایره دو کانون فاصله صفر دارند (مرکز دایره). پس دایره یک بیضی خاص است با خروج از مرکز صفر.

حالت خاص دیگر خط است! یک خط یک بیضی است با خروج از مرکز 1. یعنی اگر بیضی خیلی کشیده شود عملا به خط تبدیل می شود. پس همیشه خروج از مرکز بیضیها بین 0 تا 1 است.



برای درک بهتر به شکل زیر نگاه کنید:

در شکل بالا بیضی هایی با خروج مرکزهای 0 تا 0.96 نشان داده شده اند. میبینید که با زیاد شده خروج از مرکز، کانونها از هم فاصله میگیرند. برای مشخص کردن یک بیضی، کافیه اندازه قطر بزرگ و خروج از مرکزش را بدانیم!

به همین سادگی! سوالی نیست؟

[MOON]

واقعآ خيلي ممنون آقاي اكبرنيا

خوبيه مطالب شما اينه كه خيلي مختصرو مفيده يعني چيزي رو كه بايد در چندفصل يك كتاب يادبگيريم شما خيلي خوب و فشرده راحت ياد ميديد

ولي يك سوال درباره خروج از مركز دارم البته سوالم بيشتر از اينكه رياضي باشه نجوميه اگر جاش اينجا نيست خوب حذفش كنيد

ميدانيم مدار دنباله دارها بيضي كشيده و با خروج از مركزي بيش از سياراته ( درست ميگم ؟؟ )

حالا با چيزي كه شما گفتيد يعني هرچه خروج از مركز بيشتر بشه فاصله مينيمم و ماكزيمم فاصله از خورشيد هم بيشتر ميشه

( يا اينكه كانون بيضي كه خورشيد هستش به يك طرف مدار خيلي نرديك ميشه )

حالا ميخوام بدونم آيا حدي براي ماكزيمم خروج از مركز ممكن براي مدار ها داريم يا نه ؟

چون احساس ميكنم با اين حساب اگر e مدار يك دنباله دار از يك حدي بيشتر بشه ، تبديل به خورشيد خراش ميشه ... آيا اين حرف درسته ؟؟

مرسي

[پیمان اکبرنیا]

سلام به Moon گرامی

خواهش میکنم لطف دارید. اتفاقا اینجا باید قسمت نجومی قضایای ریاضی هم مطرح بشه.

بله مدار بسیاری از دنباله دارها، بیضی هایی با خروج از مرکز بسیار زیاد (مثلا 0.996 یا 0.984) هست. همان طور که به درستی اشاره کردید اگر فاصله کانونهای بیضی از هم خیلی زیاد بشه، ممکنه فاصله حضیض مداری خیلی نزدیک بشه به شعاع خورشید که در این صورت، دنباله دار به خورشید برخورد خواهد کرد. به این دنباله دارها خورشید خراش یا sungrazer می گویند.

البته معمولا دنباله دارهایی که به خورشید برخورد میکنند مدارهای سهمی یا هذلولی دارند و مدارهای بیضی که به خورشید برخورد داشته باشند کمتر دیده میشه.

در پستهای بعد وقتی معادلات فاصله حضیض و اوج را مطرح کنم، میتونید مسئله را به صورت عددی حل کنید و مقدار خروج از مرکز بحرانی برای برخورد را برای هر بیضی با قطر بزرگ مشخص محاسبه کنید.

[پیمان اکبرنیا]

از روابط قبلی فهمیدیم که نصف فاصله کانونی از رابطه زیر به دست می آید:

طرفین رابطه بالا را بر a تقسیم میکنیم. یک طرف میشود f/a که همان e یا خروج از مرکز است و در سمت دیگر نیز a را به زیر رادیکال می بریم و به رابطه زیر میرسیم:



که رابطه بین a و b و e است. همان طور که میبینید، اگر نسبت b به a کم شود خروج از مرکز زیاد میشود که با تعاریف ما از بیضی هم جور در می آید. (به پست تعریف خروج از مرکز مراجعه کنید).

[MOON]

آقاي اكبرنيا ضمن تشكر مجدد از مطالب آموزشي شما سوال من اينه كه آيا بعد از پرداختن به بيضي به معادلات مربوط به سهمي و هذلولي هم خواهيد پرداخت ؟
چون من چند سوال از آن قسمتها دارم اما اگر در برنامه آينده تاپيك هست صبر ميكنم تا بعد از توضيحات شما بپرسم
مرسي