صفحه 2 از 9 نخستنخست 123456 ... آخرینآخرین
نمایش نتایج: از شماره 11 تا 20 , از مجموع 83

موضوع: مقاطع مخروطی

  1. Top | #1
    کاربر ممتاز
    مدیر تالار

    عنوان کاربر
    كاربر ممتاز آوااستار
    مدال طلای كشوری المپياد نجوم
    تاریخ عضویت
    Jul 2011
    شماره عضویت
    1120
    نوشته ها
    2,424
    تشکر
    12,335
    تشکر شده 28,319 بار در 2,458 ارسال

    Post مقاطع مخروطی

    سلام دوستان

    در مکانیک سماوی و در مساله دو جسم، میدونیم که هر جسمی که تحت اثر گرانش جسمی دیگر قرار داره، در مسیری حرکت میکنه که قسمتی از یک مقطع مخروطیه. در این تاپیک قصد داریم تا ابتدا مقاطع مخروطی مختلف را تعریف کنیم و سپس به بیان روابط ریاضی مورد نیاز برای تحلیل حرکت در مقاطع مخروطی بپردازیم و مثالهایی از کاربرد این روابط بزنیم.

    ممکنه پیش بردن بحث با توجه به نیاز به تصاویر متعدد و مباحث و فرمولهای ریاضی، مقداری کند باشه و طول بکشه ولی گر صبر کنی ز غوره حلوا سازی

    فهرست مطالبی که در این تاپیک مطرح شده است به همراه لینک آنها در ادامه آمده است:

    1- تعریف مقاطع مخروطی

    2- دایره: تعریف دایره ، معادله دایره در دستگاه مختصات دکارتی ، معادله دایره در دستگاه مختصات قطبی ، مثالهایی از حرکت دایره ای در فضا

    3- بیضی: تعریف بیضی ، مشخصات بیضی ، رابطه بین طول قطرها و فاصله کانونهای بیضی ، خروج از مرکز ، رابطه خروج از مرکز و نیم قطرهای بزرگ و کوچک ، اوج و حضیض ، فواصل اوج و حضیض ، معادله بیضی در دستگاه مختصات دکارتی ، معادله بیضی در دستگاه مختصات قطبی ، نمونه ای از کاربرد مدارهای بیضوی در علوم فضایی ،

    4- سهمی: مدارهای باز ، تعریف سهمی ، تعریف دیگر سهمی ، معادله سهمی در دستگاه مختصات کارتزین ، معادله سهمی در دستگاه مختصات قطبی ، کاربرد سهمی: تحلیل حرکت پرتابه ، کاربرد سهمی: آینه های سهموی

    5- هذلولی: تعریف هذلولی، تعریف دیگری از هذلولی، معادله هذلولی در دستگاه مختصات کارتزین، معادله هذلولی در دستگاه مختصات قطبی،

    سخن پایانی

    در نهایت جا داره ذکر کنم که منبع اکثر تصاویر و فرمولها از ویکیپدیا و سایت وُلفرام است!
    ویرایش توسط پیمان اکبرنیا : 03-28-2012 در ساعت 10:55 AM


  2. Top | #11
    کاربر ممتاز
    مدیر تالار

    عنوان کاربر
    كاربر ممتاز آوااستار
    مدال طلای كشوری المپياد نجوم
    تاریخ عضویت
    Jul 2011
    شماره عضویت
    1120
    نوشته ها
    2,424
    تشکر
    12,335
    تشکر شده 28,319 بار در 2,458 ارسال

          بیضی چیست؟ مقدمات

    سلام

    بعد از صحبت درباره دایره، میرسیم به بیضی. این بحثمون درباره بیضی از دایره طولانی تر هست و مطالبش هم برای بسیاری جدیده! پس دقت کنید و سوال بپرسید.

    بیضی چیست؟
    تعریف اول: همون طور که در پست دوم گفتم، در اثر برخورد یک صفحه مایل با رویه ی یک مخروط، یک منحنی ایجاد میشه که اگر بسته باشه، بیضی نامیده میشه.

    مقاطع مخروطی-conicas1-jpg


    اما تعریف دیگری هم وجود داره:

    قبل از تعریف بیضی برگردیم به تعریف دایره: مجموعه نقاطی در صفحه، که فاصله آنها از یک نقطه (مرکز) ثابت است. (که به این ثابت میگیم شعاع دایره)

    حالا بیضی تعریفش اینه: مجموعه نقاطی که جمع فاصله های آنها از دو نقطه، مقداری ثابت باشد.(به این ثابت میگیم: قطر بزرگ بیضی، که بعدا بهش میرسیم). تعریف اینجوریش یک مقدار سخته. نیاز به یک شکل داره:

    مقاطع مخروطی-elipse-jpg


    برای تمام نقاط آبی (محیط بیضی) داریم: مقداری ثابت= PF'+PF

    برای درک بهتر، به شکل زیر نیز بنگرید:

    مقاطع مخروطی-img-jpg


    به نقاط P2، P1 و P3 نگاه کنید. مجموع فاصله هر کدام از این سه نقطه، از 2 نقطه F1 و F2 با هم برابره پس اونها روی سطح یک بیضی هستند. (رابطه بالای شکل را ببینید)

    چگونه یک بیضی بکشیم؟

    کافیه که دو سر یک نخ را به هم را گره بزنیم و یک محیط بسته درست کنیم. حالا به 2 پونز نیاز داریم تا این نخ را دورش بندازیم و یک مداد! (یا اصلا دو سر نخ را به خود پونزها ببندیم و مداد را بندازیم داخلش و بکشیم)

    مقاطع مخروطی-step6-png


    اگر مداد را روی صفحه حرکت دهیم، به گونه ای که نخ همیشه کشیده باشه، یک بیضی خواهیم کشید.

    مقاطع مخروطی-draw_ellipse-jpg


    نقش این نخ اینه که طولش همیشه ثابته پس همیشه مجموع فاصله نقطه نوک مداد با دو پونز، مقدار ثابتی می مونه و میشه تعریف بیضی. همین الان مدادهاتون را بردارید و بیضی بکشید. فاصله پونزها و طول نخ را عوض کنید و ببینید بیضی چه تغییری میکنه.

    نبینم کسی بیضی نکشیده ها! سر کلاس که میایید باید مشقاتون را انجام بدید بعد اگر امتحان بگیرم نگید نگفتیدها!

    پس بیضی یک نوع دایره کشیده است که به جای یک مرکز، دو مرکز داره! (تعریف خیلی خودمونی و الکی ).

    دقت کنید هر شکلی که یک دایره ی کشیده به نظر بیاد بیضی نیست! باید حتما تعریف بالا درش صادق باشه.

    به اون نقطه هایی که پونزها رویشان قرار دارند میگویند کانون های بیضی. هر بیضی دو کانون داره. اگر این دو کانون به به هم برسانیم و به هم بچسبانیم، بیضی به دایره تبدیل می شود! پس دایره حالت خاص بیضی است!
    ویرایش توسط پیمان اکبرنیا : 11-06-2011 در ساعت 07:01 PM

  3. 18 کاربر مقابل از پیمان اکبرنیا عزیز به خاطر این پست مفید تشکر کرده اند.


  4. Top | #12
    کاربر ممتاز

    عنوان کاربر
    کاربر ممتاز آوا استار
    مدال طلای كشوری المپياد نجوم
    مدال نقره جهانی المپياد نجوم
    تاریخ عضویت
    Jan 2011
    شماره عضویت
    476
    نوشته ها
    234
    تشکر
    4,516
    تشکر شده 1,198 بار در 220 ارسال

    با سلام خدمت دوستان و همچنین آقای اکبر نیا...

    ببخشید یکم دیر تاپیک رو دیدم.سوالم درباره دایره مونده.عذر می خوام.

    در مسائل نجوم مثل حرکت سیاره ها به دور خورشید (اگه مسیر رو دایره بفرضیم!) دیگه نیازی به رابطه های دوم هم که مرکز رو غیر از مرکز اصلی مختصات فرض کرده هست؟یعنی نمی شه خورشید رو مرکز دستگاه مختصات بگیریم و از همون رابطه های ساده استفاده کنیم؟تا اون جایی که من فهمیدم اون فرمول های طولانی بیشتر تو ریاضی کاربرد دارن.یکم هم درباره کاربرد اون نوع فرمولا تو نجوم یا فیزیک بنویسید ممنون می شم.
    شرمنده بی جا بود.
    امضای ایشان
    آن كه به يافتن آب اطمينان دارد هرگز از تشنگي هلاك نمي شود.امام علي (ع)

  5. 3 کاربر مقابل از celestial boy عزیز به خاطر این پست مفید تشکر کرده اند.


  6. Top | #13
    کاربر ممتاز
    مدیر تالار

    عنوان کاربر
    كاربر ممتاز آوااستار
    مدال طلای كشوری المپياد نجوم
    تاریخ عضویت
    Jul 2011
    شماره عضویت
    1120
    نوشته ها
    2,424
    تشکر
    12,335
    تشکر شده 28,319 بار در 2,458 ارسال

    نقل قول نوشته اصلی توسط celestial boy نمایش پست ها
    با سلام خدمت دوستان و همچنین آقای اکبر نیا...

    ببخشید یکم دیر تاپیک رو دیدم.سوالم درباره دایره مونده.عذر می خوام.

    در مسائل نجوم مثل حرکت سیاره ها به دور خورشید (اگه مسیر رو دایره بفرضیم!) دیگه نیازی به رابطه های دوم هم که مرکز رو غیر از مرکز اصلی مختصات فرض کرده هست؟یعنی نمی شه خورشید رو مرکز دستگاه مختصات بگیریم و از همون رابطه های ساده استفاده کنیم؟تا اون جایی که من فهمیدم اون فرمول های طولانی بیشتر تو ریاضی کاربرد دارن.یکم هم درباره کاربرد اون نوع فرمولا تو نجوم یا فیزیک بنویسید ممنون می شم.
    شرمنده بی جا بود.
    سلام

    خواهش میکنم هر وقت سوال دارید بپرسید مشکلی نیست.

    ببینید کلا برای منظومه شمسی میشه خورشید را در مرکز قرار دارد و فرض کرد که بقیه به دور خورشید می گردند و چون جرم خورشید خیلی زیاده، تمام روابط درست خواهند بود و میشه فرض کرد خورشید هیچ حرکتی نداره و ثابته. اون فرمولهایی که برای دایره های خارج از مرکز مختصات نوشتم فقط یک کار ریاضی بود و کاربرد چندانی در نجوم ندارند.

    فرمولهای هندسی دایره چندان کاربردی در مسائل نجوم ندارند. بیشتر فرمولهای مکانیکی و فیزیک حرکت مهم هستند که در تاپیک مکانیک مداری اونها را بررسی می کنیم.

    فرمولهای اصلی هندسی که خیلی کاربرد دارند مربوط به بیضی و سهمی و هذلولی هستند که در ادامه به اونها میرسیم.

  7. 9 کاربر مقابل از پیمان اکبرنیا عزیز به خاطر این پست مفید تشکر کرده اند.


  8. Top | #14
    کاربر ممتاز
    مدیر تالار

    عنوان کاربر
    كاربر ممتاز آوااستار
    مدال طلای كشوری المپياد نجوم
    تاریخ عضویت
    Jul 2011
    شماره عضویت
    1120
    نوشته ها
    2,424
    تشکر
    12,335
    تشکر شده 28,319 بار در 2,458 ارسال

          مشخصات بیضی

    هر شکل کلی هندسی، را با یک سری مشخصه (پارامتر)، تعریف می کنند. مثلا، مثلثی را که طول اضلاعش مشخص باشد، می توان رسم کرد یا دایره ای که شعاع مشخص داشته باشد، قابل ترسیم است.

    در این پست بررسی می کنیم که برای مشخص کردن بیضی به چه پارامترهایی نیاز داریم.

    هر بیضی دارای 2 محور تقارن است. به شکل زیر نگاه کنید:

    مقاطع مخروطی-images-jpg


    پاره خط 'AA یکی از خطوط تقارن بیضی است که از 2 کانون بیضی میگذرد. به طول 'AA قطر بزرگ بیضی می گویند و به نصف آن، نیم قطر بزرگ بیضی. به طور قرارداری طول نیم قطر بزرگ را a در نظر میگیرند پس طول قطر بزرگ 2a است.

    حال به تعریف بیضی برگردیم: مجموعه نقاطی که فاصله آن ها از دو کانون مقداری ثابتی است. برای نقطه A داریم:
    مقداری ثابت=F1A+F2A
    و از طرفی به دلیل تقارن میدانیم:
    F2A'=F1A
    پس با جایگذاری رابطه دومی در اولی داریم:
    F1A+F2A= F2A'+F2A
    از شکل مشخص است که F2A'+F2A برابر طول قطر بزرگ بیضی است پس:
    F2A'+F2A= 2a
    <=

    F1A+F2A=2a
    و چون برای یک نقطه مجموع فاصله از دو کانون برابر 2a شد پس طبق تعریف بیضی برای تمام نقاط روی سطح بیضی، مجموع دو فاصله از کانون برابر اندازه قطر بزرگ است.

    حال برسیم به مشخصه دیگر بیضی یعنی قطر کوچک:

    مقاطع مخروطی-images2-jpg


    پاره خط 'BB دومین محور تقارن بیضی است و آن را قطر کوچک بیضی می نامند و به نصف آن،نیم قطر کوچک بیضی می گویند. اندازه نیم قطر کوچک را برابر b و اندازه قطر کوچک را برابر 2b در نظر میگیرند.

    برای ترسیم هر بیضی، کافی از طول قطر بزرگ و کوچک آن را بدانیم. یعنی به ازای یک اندازه مشخص برای قطر بزرگ و قطر کوچک، فقط و فقط یک بیضی موجود است.

    اما مشخصه دیگری هم در بیضی وجود دارد که به آن فاصله کانونی میگویند:

    مقاطع مخروطی-images1-jpg


    همانطور که میبینید به فاصله بین دو کانون 2c میگویند.( البته در بعضی کتابها 2f میگویند). پس c برابر است با نصف فاصله کانونها.

    در پست بعدی رابطه بین a و b و c را بیان میکنم.

  9. 12 کاربر مقابل از پیمان اکبرنیا عزیز به خاطر این پست مفید تشکر کرده اند.


  10. Top | #15
    کاربر ممتاز
    مدیر تالار

    عنوان کاربر
    كاربر ممتاز آوااستار
    مدال طلای كشوری المپياد نجوم
    تاریخ عضویت
    Jul 2011
    شماره عضویت
    1120
    نوشته ها
    2,424
    تشکر
    12,335
    تشکر شده 28,319 بار در 2,458 ارسال

          رابطه بین طول قطرها و فاصله کانونهای بیضی

    همان طور که در پست قبل گفتم، هر بیضی 3 مشخصه دارد

    نیم قطر بزرگ : a
    نیم قطر کوچک: b
    نصف فاصله کانونها: c

    حال ببینیم که رابطه این 3 پارامتر باهم چگونه است؟ به شکل زیر نگاه کنید:

    مقاطع مخروطی-untitled-6-30-jpg


    اگر از هر کانون خطی به نقطه B1 رسم کنیم، طبق تعریف بیضی داریم که مجموع طول این دو پاره خط برابر با 2a است. پس به دلیل تقارن، هر یک از این پاره خطها، طولی برابر a دارد. حال مثلث OF2B1 را در نظر بگیرید. این یک مثلث قائم الزاویه است زیرا دو قطر بیضی بر هم عمودند.

    در این مثلث قائم الزاویه رابطه فیثاغورث را مینویسیم:
    a^2=b^2+c^2

    این رابطه، همان رابطه بین طول نصف اقطار و نصف فاصله کانونی است. در نجوم معمولا نصف فاصله کانونی(c) را به جای f ، c می نامند. پس رابطه بین آنها به صورت زیر در می آید:

    مقاطع مخروطی-3fb462106d592b2455b1083d79547524-png


    در این رابطه با داشتن a و b مقدار f به دست می آید.

    در پست بعد، خواهم گفت که تعریف خروج از مرکز بیضی چیست و چه کاربردی دارد.

  11. 17 کاربر مقابل از پیمان اکبرنیا عزیز به خاطر این پست مفید تشکر کرده اند.


  12. Top | #16
    کاربر ممتاز
    مدیر تالار

    عنوان کاربر
    كاربر ممتاز آوااستار
    مدال طلای كشوری المپياد نجوم
    تاریخ عضویت
    Jul 2011
    شماره عضویت
    1120
    نوشته ها
    2,424
    تشکر
    12,335
    تشکر شده 28,319 بار در 2,458 ارسال

          خروج از مرکز

    خب دوستان تا الان مشخصات اصلی بیضی را تعریف کردیم. اما در این پست میخواهم یک پارامتر بسیار مهم دیگر را معرفی کنم که کار ما را در معرفی یک بیضی بسیار راحت می کند.

    این پارامتر خروج از مرکز نام دارد. تعریف آن به این صورت است:

    خروج از مرکز یعنی نسبت فاصله کانونها به اندازه قطر بزرگ بیضی. فاصله کانونها را تعریف کردیم 2c و قطر بزرگ را تعریف کردیم 2a پس خروج است مرکز میشه نسبت 2c به 2a یا به صورت ساده شده:

    مقاطع مخروطی-59defb038783312091fac0076635e4f9-png

    خروج از مرکز را با e (مخفف eccentricity) نشان میدهند. حالا ببینیم اصلا خروج از مرکز نشان دهنده چیست؟ خروج از مرکز به بیان ساده نشان دهنده میزان کشیده بودن یک بیضی است. مثالی بزنم. به شکل زیر نگاه کنید:

    مقاطع مخروطی-diff_ellipses-gif


    شکل بالا نشان دهنده تعدادی بیضی است که داخل یک دایره قرار دارند. اندازه قطر بزرگ تمام این بیضی ها با هم برابر است. هرچه بیضی کشیده تر باشد، خروج از مرکز آن بیشتر است یعنی فاصله کانونهای آن از هم بیشتر است. بیضی آبی از همه بیضی ها کشیده تر است پس بیشترین خروج از مرکز را دارد. خروج از مرکز یک دایره صفر است زیرا در دایره دو کانون فاصله صفر دارند (مرکز دایره). پس دایره یک بیضی خاص است با خروج از مرکز صفر.

    حالت خاص دیگر خط است! یک خط یک بیضی است با خروج از مرکز 1. یعنی اگر بیضی خیلی کشیده شود عملا به خط تبدیل می شود. پس همیشه خروج از مرکز بیضیها بین 0 تا 1 است.

    مقاطع مخروطی-90f8d3b647fbccdb92a8427be614b9ec-png

    برای درک بهتر به شکل زیر نگاه کنید:

    مقاطع مخروطی-eccentricities-jpg


    در شکل بالا بیضی هایی با خروج مرکزهای 0 تا 0.96 نشان داده شده اند. میبینید که با زیاد شده خروج از مرکز، کانونها از هم فاصله میگیرند. برای مشخص کردن یک بیضی، کافیه اندازه قطر بزرگ و خروج از مرکزش را بدانیم!

    به همین سادگی! سوالی نیست؟

  13. 15 کاربر مقابل از پیمان اکبرنیا عزیز به خاطر این پست مفید تشکر کرده اند.


  14. Top | #17
    کاربر ممتاز

    عنوان کاربر
    کاربر ممتاز
    تاریخ عضویت
    Dec 2010
    شماره عضویت
    422
    نوشته ها
    113
    تشکر
    117
    تشکر شده 338 بار در 56 ارسال

    واقعآ خيلي ممنون آقاي اكبرنيا

    خوبيه مطالب شما اينه كه خيلي مختصرو مفيده يعني چيزي رو كه بايد در چندفصل يك كتاب يادبگيريم شما خيلي خوب و فشرده راحت ياد ميديد

    ولي يك سوال درباره خروج از مركز دارم البته سوالم بيشتر از اينكه رياضي باشه نجوميه اگر جاش اينجا نيست خوب حذفش كنيد

    ميدانيم مدار دنباله دارها بيضي كشيده و با خروج از مركزي بيش از سياراته ( درست ميگم ؟؟ )

    حالا با چيزي كه شما گفتيد يعني هرچه خروج از مركز بيشتر بشه فاصله مينيمم و ماكزيمم فاصله از خورشيد هم بيشتر ميشه

    ( يا اينكه كانون بيضي كه خورشيد هستش به يك طرف مدار خيلي نرديك ميشه )

    حالا ميخوام بدونم آيا حدي براي ماكزيمم خروج از مركز ممكن براي مدار ها داريم يا نه ؟

    چون احساس ميكنم با اين حساب اگر e مدار يك دنباله دار از يك حدي بيشتر بشه ، تبديل به خورشيد خراش ميشه ... آيا اين حرف درسته ؟؟

    مرسي

  15. 11 کاربر مقابل از MOON عزیز به خاطر این پست مفید تشکر کرده اند.


  16. Top | #18
    کاربر ممتاز
    مدیر تالار

    عنوان کاربر
    كاربر ممتاز آوااستار
    مدال طلای كشوری المپياد نجوم
    تاریخ عضویت
    Jul 2011
    شماره عضویت
    1120
    نوشته ها
    2,424
    تشکر
    12,335
    تشکر شده 28,319 بار در 2,458 ارسال

    سلام به Moon گرامی

    خواهش میکنم لطف دارید. اتفاقا اینجا باید قسمت نجومی قضایای ریاضی هم مطرح بشه.

    بله مدار بسیاری از دنباله دارها، بیضی هایی با خروج از مرکز بسیار زیاد (مثلا 0.996 یا 0.984) هست. همان طور که به درستی اشاره کردید اگر فاصله کانونهای بیضی از هم خیلی زیاد بشه، ممکنه فاصله حضیض مداری خیلی نزدیک بشه به شعاع خورشید که در این صورت، دنباله دار به خورشید برخورد خواهد کرد. به این دنباله دارها خورشید خراش یا sungrazer می گویند.

    مقاطع مخروطی-sungrazer1_lasco_big-jpg


    البته معمولا دنباله دارهایی که به خورشید برخورد میکنند مدارهای سهمی یا هذلولی دارند و مدارهای بیضی که به خورشید برخورد داشته باشند کمتر دیده میشه.

    در پستهای بعد وقتی معادلات فاصله حضیض و اوج را مطرح کنم، میتونید مسئله را به صورت عددی حل کنید و مقدار خروج از مرکز بحرانی برای برخورد را برای هر بیضی با قطر بزرگ مشخص محاسبه کنید.

  17. 17 کاربر مقابل از پیمان اکبرنیا عزیز به خاطر این پست مفید تشکر کرده اند.


  18. Top | #19
    کاربر ممتاز
    مدیر تالار

    عنوان کاربر
    كاربر ممتاز آوااستار
    مدال طلای كشوری المپياد نجوم
    تاریخ عضویت
    Jul 2011
    شماره عضویت
    1120
    نوشته ها
    2,424
    تشکر
    12,335
    تشکر شده 28,319 بار در 2,458 ارسال

          رابطه خروج از مرکز و نیم قطرهای بزرگ و کوچک

    از روابط قبلی فهمیدیم که نصف فاصله کانونی از رابطه زیر به دست می آید:

    مقاطع مخروطی-3fb462106d592b2455b1083d79547524-png


    طرفین رابطه بالا را بر a تقسیم میکنیم. یک طرف میشود f/a که همان e یا خروج از مرکز است و در سمت دیگر نیز a را به زیر رادیکال می بریم و به رابطه زیر میرسیم:

    مقاطع مخروطی-numberedequation16-gif

    که رابطه بین a و b و e است. همان طور که میبینید، اگر نسبت b به a کم شود خروج از مرکز زیاد میشود که با تعاریف ما از بیضی هم جور در می آید. (به پست تعریف خروج از مرکز مراجعه کنید).

  19. 8 کاربر مقابل از پیمان اکبرنیا عزیز به خاطر این پست مفید تشکر کرده اند.


  20. Top | #20
    کاربر ممتاز

    عنوان کاربر
    کاربر ممتاز
    تاریخ عضویت
    Dec 2010
    شماره عضویت
    422
    نوشته ها
    113
    تشکر
    117
    تشکر شده 338 بار در 56 ارسال

    مقاطع مخروطی         
    آقاي اكبرنيا ضمن تشكر مجدد از مطالب آموزشي شما سوال من اينه كه آيا بعد از پرداختن به بيضي به معادلات مربوط به سهمي و هذلولي هم خواهيد پرداخت ؟
    چون من چند سوال از آن قسمتها دارم اما اگر در برنامه آينده تاپيك هست صبر ميكنم تا بعد از توضيحات شما بپرسم
    مرسي

  21. 2 کاربر مقابل از MOON عزیز به خاطر این پست مفید تشکر کرده اند.


صفحه 2 از 9 نخستنخست 123456 ... آخرینآخرین

اطلاعات موضوع

کاربرانی که در حال مشاهده این موضوع هستند

در حال حاضر 1 کاربر در حال مشاهده این موضوع است. (0 کاربران و 1 مهمان ها)

کلمات کلیدی این موضوع

مجوز های ارسال و ویرایش

  • شما نمیتوانید موضوع جدیدی ارسال کنید
  • شما امکان ارسال پاسخ را ندارید
  • شما نمیتوانید فایل پیوست کنید.
  • شما نمیتوانید پست های خود را ویرایش کنید
  •  
© تمامی حقوق برای آوا استار محفوظ بوده و هرگونه کپی برداري از محتوای انجمن پيگرد قانونی دارد