قطعا گرانش خورشید غالب ترین نیرو در منظومه شمسی است . اما در فاصله های نزدیک به سیارات این نیرو بسیار ضعیف تر از نیروی گرانش سیاره است . برای مثال نیروی گرانش زمین روی سطحش 1600 برابر نیروی گرانش خورشید است . اگر نیروی گرانش یک سیاره در سطحش را با F0 نشان دهیم ، نیروی گرانش در فاصله های بیش از شعاع سیاره (r0) در شکل زیر نشان داده شده است .
در اینجا می خواهیم فاصله ای از مرکز سیاره که در آن می توان از گرانش خورشید صرفه نظر کرد را محاسبه کنیم . برای این کار سیستم سه جرمی زیر متشکل از خورشید با جرم ms ، سیاره با جرم mp و یک سفینه با جرم mv را در نظر بگیرید . فاصله ها و نیروها در شکل زیر نشان داده شده اند :
نیرو های وارد بر جرم ها را به صورت برداری می نویسیم. بردار نیرو گرانش وارد بر سفینه از طرف سیاره و خورشید و همچنین نیروی وارد بر سیاره از طرف خورشید به ترتیب عبارتند از :
(حروف پر رنگ نشانه بردار هستند.)
همانطور که از شکل می بینید :
درکره تحت نفوذ می توانیم با توجه به معادله بالا و این نکته که r از R خیلی کمتر است . Rv و R را برابر فرض کنیم.
حال شتاب وارد بر سفینه را که در اثر نیروی گرانش خورشید و سیاره است می نویسیم :
حال معادله بالا را به شکل زیر می نویسم و از تقریب بالا استفاده می کنیم:
در معادلات بالا As نیروی اصلی وارد بر سفینه توسط خورشید است و Pp نیروی اختلالی است که سیاره در مقابل خورشید به سفینه وارد می کند.
حال معادله حرکت سیاره را در دستگاه لخت می نویسیم:
با کم کردن دو معادله حرکت بالا و طبق روابط برداری و شکل می توانیم معادله حرکت سفینه به دور سیاره را بدست آوریم:
در اینجا نیز داریم :
شتاب ap نیروی اصلی وارد بر سفینه توسط سیاره است و ps نیروی اختلالی وارد بر سفینه است .
در واقع نسبت ps/ap انحراف مدار سفینه از حالت کپلری را نشان می دهد ، به طوری که اگر نیروی اختلالی وجود نداشت این نسبت صفر بود و مدار کاملا کپلری و ایده آل بود .
همچنین Pp/Asکه در قسمت قبل محاسبه کردیم تاثیر سیاره بر مدار سفینه را نسبت به تاثیر خورشید نشان می دهد .
با توضیحات بالا می توانیم نتیجه بگیریم برای اینکه سفینه تحت تاثیر سیاره باشد باید داشته باشیم:
به این ترتیب در داخل کره تحت نفوذ حرکت سفینه تحت تاثیر گرانش سیاره و خارج آن حرکت سفینه تحت تاثیر گرانش خورشید است .
تمرین : شعاع کره تحت نفوذ سیستم زمین- خورشید ، زمین-ماه ، خودتان- زمین!!! را محاسبه کنید .