4 فایل پیوست
معادلات دایره در دستگاه مختصات کارتزین
در این پست معادله دایره در دستگاه مختصات دکارتی را بررسی می کنیم.
دایره ای به شعاع r را در نظر بگیرید که مرکز آن روی مبدا مختصات است:
فایل پیوست 2670
نقطه دلخواهی را روی دایره در نظر بگیریم که مختصات x و y دارد. همان طور که از شکل بالا مشخص است، با وصل کردن یک پاره خط از مبدا به این نقطه، یک مثلث قائم الزاویه تشکیل می شود. برای این مثلث قائم الزاویه، رابطه فیثاغورث را می نویسیم:
فایل پیوست 2671
این رابطه، همون معادله دایره است! با جایگذاری هر x در رابطه بالا، 2 جواب y به دست می آید که قرینه همدیگر هستند(مقدار مساوی دارند ولی یکی منفی و دیگری مثبت است). زیرا در دایره به ازای هر x ، دو y وجود دارد. (اگر قبول ندارید برای هر x یک خط موازی محور y رسم کنید، مشاهده می کنید که دایره را در دو نقطه قرینه قطع می کند). عکس این قضیه هم صادقه. یعنی برای هر y، دو x به عنوان جواب موجوده.
اما معادله دایره ای که مرکز آن روی نقطه (a,b) هست چیه؟
فایل پیوست 2672
باز در مثلث بالا اگر فیثاغورث بنویسیم داریم:
فایل پیوست 2673
این همون معادله کلی دایره در صفحه مختصات دکارتی است. برای هر دایره به مرکز (a,b) و شعاع r میشه چنین معادله ای نوشت. باز مثل حالت قبل، برای هر x، دو y به عنوان جواب پیدا میشه.
سوالی بود در خدمتیم ;)
پی نوشت: الان تو این فکرم که وقتی به بیضی و سهمی و هذلولی برسم با چه بدبختی باید معادلاتشون را توضیح بدم :pathead:خداوندا به من در نوشتن این تاپیک صبر اعطا بفرما :meditate:
5 فایل پیوست
معادله دایره در دستگاه مختصات قطبی
در این پست به بررسی معادله دایره در دستگاه مختصات قطبی می پردازیم. اول ببینیم دستگاه مختصات قطبی در دو بعد(صفحه) چگونه تعریف می شود.
برای نشان دادن هر نقطه روی صفحه به دو مختصه نیاز داریم. در دستگاه مختصات دکارتی این دو مختصه x و y هستند. در دستگاه قطبی از یک طول و یک زاویه استفاده می کنیم. به شکل زیر نگاه کنید:
فایل پیوست 2677
همان طور که مشخص است. نقطه با مختصات x و y را می توان با دو مختصه دیگر (r , θ) نیز نشان داد.( اون مختصه دوم یک حرف یونانیه که تِتا تلفظ میشه). تتا را همیشه در جهات مثبت مثلثاتی (پادساعتگرد) مثبت نشان می دهند.
برای اطلاعات بیشتر درباره مختصات قطبی به این تاپیک مراجعه کنید: سیستم های مختصات
حال ببینیم معادله دایره در مختصات قطبی چیست؟ برای دایره ای که مرکز آن روی مرکز مختصات قرار دارد معادله بسیار ساده است:
فایل پیوست 2678
معادله عبارت است از:
فایل پیوست 2679
در این معادله a شعاع دایره است. معادله به ما میگوید که فاصله تمام نقاط از مرکز دایره(مرکز مختصات) برابر a است و تتا میتواند هر مقداری داشته باشد.
حال معادله دایره ای که مرکز آن در نقطه (r0, φ) قرار دارد را مینویسیم. ابتدا شکل آن را ببینید:
فایل پیوست 2680
برای چنین دایره ای، معادله قطبی به صورت زیر است(این معادله از نوشتن رابطه کسیسنوس ها در مثلث OPS به دست آمده):
فایل پیوست 2681
در رابطه بالا a شعاع دایره است، نقطه دلخواه P روی دایره مختصات (r , θ) را دارد و مرکز دایره در نقطه (r0, φ)است. از معادله بالا می توان با داشتن r ، تتا را به دست آورد و بر عکس.
سوالات خود را مطرح کنید ;)
3 فایل پیوست
مثالهایی از حرکت دایره ای در فضا
خب بحث را ادامه میدیم با ذکر مثالهایی از حرکت دایره ای در فضا. همون طور که احتمالا قبلا هم مشاهده کردید، بسیاری از مدارهای حرکت اجسام در میدان گرانشی، دایره ای است. اگر بخواهیم به طور کلی حرکت دایره ای دو جسم را که به یکدیگر نیروی گرانش وارد می کنند بررسی کنیم به صورت زیر است:
فایل پیوست 2755
(تصویر بالا را باید بتونید به صورت متحرک ببینید چون فرمت GIF دارد. اگر ثابت میبینید یعنی نرم افزار نمایش GIF را ندارید)
همون طور که از تصویر بالا مشخصه، هر دو جرم در مدارهایی دایره ای شکل به دور مرکز جرم مشترکشان می گردند. مکان مرکز جرم بستگی به نسبت جرم دو جسم دارد.
فایل پیوست 2756
نسبت فاصله جسم 1 از مرکز جرم (r1) به فاصله جسم 2 از مرکز جرم (r2) ، برابر است با نسبت جرم 2 به نسبت جرم 1 (M/m) . این رابطه را در تاپیک مکانیک مداری اثبات خواهم کرد ولی فعلا در همین حد کافیه.
اگر جسم 2 خیلی پرجرمتر از جرم 1 باشه، میشه فرض کرد که مرکز جرم با تقریب خوبی نزدیک مرکز جسم 2 هست و انگار که جسم 2 ثابته و جسم 1 به دورش میچرخه. برای مثال در ماهواره هایی که مسیر دایره ای دارند، میشه فرض کرد ماهواره به دور زمین میچرخه و زمین ثابته.(شکل پایین)
فایل پیوست 2757
مدار دایره یک جورهایی حالت خاص مدار بیضوی است. معمولا برای اجرام آسمانی مثل سیارات و ستاره ها، مدارها بیضی هستند ولی اگر این بیضی خیلی شبیه به دایره باشه، میشه در برخی از محاسبات مدار را دایره ای فرض کرد. مثلا در برخی محاسبات مظومه شمسی، میشه مدارهای سیارات را دایره فرض کرد چون با دقت خوبی مدارشون شبیه دایره است ( به جز عطارد).
برای ماهواره ها(قمرهای مصنوعی) با مدار دایره ای، چون خود ما ماهواره را طراحی کرده و فرستاده ایم، می توان گفت که مدار با دقت بسیار بالایی دایره است.
این که چه زمانی میتونیم یک مدار را دایره فرض کنیم بستگی به دقت مساله مورد نظر و خواسته اون داره. باید تجربه کار با مدارها و مسائلشون را داشته باشید تا بتونید دید خوبی نسبت به اونها پیدا کنید.
خب بالاخره دایره تموم شد! به زودی به بیضی خواهیم رسید.