قوانين 3 گانه حركت سياره اي كپلر
خوب از سؤال اول شروع ميكنيم:
قانون اول: مسیر حرکت سیارات به دور خورشید در يك صفحه و به شكل بیضی است و خورشید در یکی از دو کانون این بیضی قرار دارد. تعميم قانون اول: تمامي اجرام با تأثيرات گرانشي حول يكديگر در يك صفحه و در مداري به شكل مقاطع مخروطي مي چرخند.
قانون دوم: خط واصل بين سيارات و خورشيد؛ در زمان هاي مساوي مساحت هاي مساوي جاروب مي كند.نتيجه قانون دوم: سيارات در زمان نزديك بودن به خورشيد سريعتر از زمان دور بودن از آن حركت مي كنند.
قانون سوم: نسبت دوره تناوب سيارات متناسب است با توان 1.5 نسبت فاصله آن دو سياره.
برنامه: در پست بعدي به تشريح مختصري درباره اين سه قانون مي پردازيم.
پيشينه تاريخي قوانين كپلر
در اين پست مي خواهيم به پيشينه تاريخي قوانين حركت سياره اي كپلر نظري بيفكنيم:
همانطور كه مي دانيد براي قرن ها بود كه با نظام زمين مركزي و مدل بطلميوسي به جهان نگاه مي شد، و با همين مدل سعي مي شد تا پديده هاي نجومي رايج از قبيل گرفت ها، حركات سيارات و ديگر موارد تحليل شود. براي تحقق اين امر هم تنها از دايره و خط راست به عنوان منحني هاي كامل طبيعت استفاده مي شد.
------------------------------------------------------------------
در نجوم آن زمان مقدسات بيش و پيش از علم قرار داشتند. از اين موارد مي توان به مركزيت زمين و كامل بودن آسمان اشاره كرد. كامل بودن آسمان براي آن مردم بدين معني بود كه تمامي اجرام آسماني در تركيبي از حركات دايره اي استوارند و خود نيز دايره اي و بي نقصان اند.
كپرنيك با برداشتن زمين از مركزيت جهان و قرار دادن خورشيد به جاي آن قدم عظيمي در كنار گذاشتن اين عقائد برداشت. اما وي همچنان براي تحليل مدار سيارات در مدل جديد از دواير استفاده مي كرد. محدودتر از مدل بطلميوس اما پيچيده تر!!! اينجا نبايد از نقش براهه غافل شد، چون براي گذار از مدل بطلميوسي به كپرنيكي او نظريه اي جالب ارائه كرد كه تمامي سيارات حول خورشيد مي گردند و خورشيد با تمامي سيارات خود به دور زمين...!!!
------------------------------------------------------------------
اما چرا مدل كپرنيكي پس از ارائه تا مدت ها توجهي را به خود جلب نكرد؟ به اين دليل كه مدل هاي موجود مي بايست اتفاقات نجومي را پيش بيني مي نمودند تا مورد وثوق و اطمينان قرار گيرند؛ اما در پيش بيني ها موفقيت هميشه با مدل بطلميوسي بود و با دقتي بيشتر عمل پيش بيني را انجام مي داد! دليل اين امر بسيار واضح است و آن هندسه قوي مدل بطليوسي بود كه طي قرن ها تكامل يافته بود و انواع دستكاري ها در مدار سياره شده بود تا جواب صحيح حاصل گردد.
در مدل بطلميوسي از دايره اي روي دايره ديگر استفاده (فلك حامل و تدوير) مي شد كه شعاع و سرعت حركت سياره روي هر كدام از دواير با دقت طي سال ها محاسبه شده بود. در برخي موارد از خروج از مركز دايره نيز استفاده ميشد بدين شكل كه سياره حول دايره اي به مركزي خارج از زمين مي چرخيد!!! يعني زمين درون دايره حركت سياره بود ولي نه در مركز آن... و اين هندسه طي قرن ها به تكاملي رسيده بود كه بهترين جواب ها را مي داد...
كپرنيك در ابتداي كار خود قرار داشت و سعي داشت با حفظ دايره اي بودن مدارها خورشيد را در مركز كائنات قرار دهد! او نيز در مواردي از دايره اي روي دايره و همينطور از خروج از مركز دايره استفاده كرد. اما محاسبات پيچيده اي كه بتوان اين موارد را محاسبه كرد بسيار سنگين بود و به سال ها زمان نياز بود تا مشكل رفع گردد!
------------------------------------------------------------------
اينجا بود كه كپلر توانست با استفاده از رصد هاي دقيق تيكو براهه قدمي بزرگ در پيشبرد نجوم خورشيد مركز بردارد. كپلر براي اولين بار از دايره اي بودن مدارها صرف نظر كرد و به بيضي (حالت عام دايره در مقاطع مخروطي) روي آورد. بيضي دو كانون داشت كه خورشيد در يكي از آنها قرار داشت و اينطور مي توانست خروج از مركز اين بيضي ها را استخراج كند. همينطور وي براي سرعت سيارات در مدار خود نيز مي بايست مدلي ارائه مي داد كه اين نيز با قانون دوم محقق گرديد. و در آخر او حتي توانست وضع نسبي مدار سيارات را با قانون سوم بازگو كند.
------------------------------------------------------------------
ارائه شدن مدلي مناسب و خورشيد مركز توسط كپلر و همينطور مشاهدات گاليله كه مهر باطلي بود بر مدل بطلميوسي باعث شد كه مدل زمين مركزي جاي خود را باز كند. هرچند هنوز به تعدادي از سؤالات (مثلا پديده اختلاف منظر) پاسخ داده نشده بود.
------------------------------------------------------------------
برنامه: در پست بعد مي خواهيم ببينيم كپلر چگونه نيم قطر اطول سيارات و خروج از مركز آنها را از مشاهدات تيكو استخراج كرد.
4 فایل پیوست
استخراج نيم قطر اطول و خروج از مركز
در اين پست سعي داريم شيوه استخراج نيم قطر اطول و خروج از مركز مدار سيارات را آنطور كه كپلر انجام داد، انجام دهيم و به صورتي ساده ببينيم كپلر چطور توانست سه قانون خود را ارائه دهد...
--------------------------------------------
در ابتدا به اين محتاجيم كه فاصله زمين خورشيد را استخراج كنيم. با اينكه ميانگين اين فلاصله را برابر واحد فرض كرديم (واحد نجومي .A.U) ولي همانطور كه مي دانيم مدار زمين نيز بيضي است و اگر قرار باشد خروج از مركز مدار زمين در استخراج مدار سيارات ديگر مشكلي ايجاد نكند بايد آن ر ا نيز در نظر گرفت.
براي اين امر با توجه به قطر ظاهري خورشيد در آسمان و روابط موجود قطر ظاهري مسئله را حل ميكنيم. طبق شكل زير جسمي به قطر D كه در فاصله L قرار دارد؛ زاويه اي (θ) ايجاد مي كند كه : tan θ = D/L
اما طبق هم ارزي زواياي كوچك، مي توان تانژانت يك زاويه را با خود ان زاويه در مقياس راديان برابر گرفت پس: θ = D/L حال مي توانيم هميشه L فاصله زمين از خورشيد را بر حسب قطر زاويه اي ظاهري خورشيد بر حسب راديان بيان كرد.
L = D/θ البته ميدانيم كه همواره قطر خورشيدD ثابت است. پس فرمول نهايي كه با آن ميتوان فقط با قرار دادن قطر ظاهري خورشيد برحسب راديان فاصله را به دست آورد مي شود: L = θ◦/θ كه در آن ◦θهمان قطر ظاهري ميانگين خورشيد خواهد بود كه برابر رادياني 32دقيقه قوسي خواهد بود! اگر◦θرا برحسب دقيقه قوسي قرار دهيم ميتونيم θ را نيز برحسب دقيقه قوسي بيان كرد. پس بدين شكل مي توان هر روز از سال اين كار را انجام داد و مدار زمين را استخراج كرد.
فایل پیوست 1903
--------------------------------------------
اما حالا مي خواهيم فاصله سيارات داخلي را از خورشيد محاسبه كنيم. در شكل زير حالت كشيدگي سيارات داخلي را مشاهده مي كنيد. در زمان كشيدگي، سيارات داخلي بيشترين فاصله زاويه اي خود را از خورشيد ميگيرند كه اين مستلزم عمود بودن خط واصل زمين سياره بر سياره خورشيد است. يعني خط VS بر خط EV عمود است. با توجه به روابط مثلثاتي در مثلث قائمه خط VS = ES sin θ كه با دانستن فاصله زمين خورشيد و همينطور رصد زاويه θ مي توان فاصله سياره خورشيد را محاسبه كرد.
در حالي كه اين قضيه فقط در زمان خاص كشيدگي جواب مي دهد اما بايد اين را دانست كه دو نوع كشيدگي در هر دوره هلالي وجود دارد؛ كشيدگي شرقي و كشيدگي غربي! همينطور اين كه دوره هلالي با دوره تناوب مداري سيارات متفاوت است و پس از يك دوره هلالي، كشيدگي بعدي در مكان ديگري از مدار سياره خواهد بود و مي توان فاصله سياره از خورشيد را در ديگر نقاط مداري سياره حساب كرد.
فایل پیوست 1902
منبع تصوير: كتاب Astronomy: Principles and Practice
--------------------------------------------
و در اين بخش شيوه محاسبه فاصله سيارات خارجي از خورشيد. طبق شكل زير سياره در نقطه P در مدار خود قرار دارد و زمين در نقطه E پس از طي يك دوره تناوبي سياره خارجي دوباره سياره خارجي به نقطه P مي رسد در حالي كه اينبار زمين در مدار خود در نقطه E1 قرار دارد. با توجه به مفهوم دوره هلالي ميتوان زاويه ESE1 را محاسبه كرد و از رصد هم زواياي SEP و SE1P را به دست آورد! با داشتن اين زوايا و دانستن فاصله زمين خورشيد در هر دو زمان، مي توان مثلث ESE1 را حل كرد و زواياي EE1P و E1EP را بدست آورد . با داشتن آنها مي توان مثلث PEE1 را حل كرد. و در انتها با در نظر گرفتن يكي از مثلثات SEP يا SE1P خط SP يا فاصله سياره را محاسبه كرد. در حالي كه محاسبات اين قسمت بسيار زياد و سخت و كسل كنندست ولي براي اولين بار كپلر با توجه به آن توانست مدار مريخ را استخراج كند و با تطبيق اون با معادله بيضي دايره اي بودن مدار ها را به صورت كامل رد كند.
فایل پیوست 1905
منبع تصوير: كتاب Astronomy: Principles and Practiceبا اندكي تصرف
--------------------------------------------
در اين بخش به شيوه استخراج خروج از مركز مي پردازيم!
با راه هاي بالا مي توان حداكثر(اوج)و حداقل(حضيض) فاصله سياره را محاسبه كرد. با توجه به شكل زير مي توان گفت كه حداكثر فاصله سياره تا خورشيد برابر a+c يا (a(1+e و حداقل فاصله برابر a-c يا(a(1-e است. و با حل دو معادله و دو مجهول، a و e را محاسبه كرد.
فایل پیوست 1904
منبع تصوير: ويكي پديا(فارسي) با اندكي تصرف
--------------------------------------------
برنامه: در پست بعد به تشريح مفهوم دوره هلالي، دوره تناوب مداري، و شيوه استخراج اون ها مي پردازيم.