نجوم کروی از دیدگاه برداری

[mahdad_haghighi]

سلام بر دوستان آوایی :wink:

غالب ما نجوم کروی را با مثلث معروفش و روابط سینوس ها و کسینوس ها و ... می شناسیم و شاید کمتر با نقش بردارها در نجوم کروی آشنا باشیم .


[/URL][URL="http://www.astroupload.com/uploads/13469457051.png"]http://www.astroupload.com/uploads/13469457051.png (http://www.astroupload.com/uploads/13469457051.png)

بسیاری از مسائل نجوم کروی را می توان با مبحث بردارها راحت تر از تشکیل مثلث کروی و روابط آن حل کرد و درک صحیح تری نیز از سوال پیدا کرد .

لذا در این تاپیک قصد داریم به کمک دیگر دوستان ابتدا مبحث بردارها را از پایه بررسی کنیم سپس توضیحاتی درباره نجوم کروی ارائه داده و در انتها با ترکیب این دو بحث به

مسائل نجوم کروی از دیدگاه برداری بپردازیم .



با ما همراه باشید ...

[mahdad_haghighi]

خب همان طور که گفتم ابتدا می خواهیم مبحث بردارها و آنالیز برداری را به طور کامل بررسی کنیم . :)

کمیت فیزیکی به چیزی گفته می شود که قابل افزایش یا کاهش و می توان مقدار آن را باید یک عدد بیان کرد . یکا مقدار مشخصی از هر کمیت است که به عنوان یکای آن کمیت مشخص می شود .

غالب کمیت های فیزیکی که با آن ها مواجه هستیم به دو دسته مهم تقسیم می شوند : 1. کمیت نرده ای 2. کمیت برداری

1. کمیت نرده ای : این کمیت تنها با بیان مقدار (بزرگی) به همراه یکای آن مشخص می شود . از جمله کمیت های نرده ای می توان به دما ، فشار ، انرژی ، جرم و زمان اشاره کرد که جهت خاصی را در فضا نشان نمی دهند .

2. کمیت برداری : کمیت برداری علاوه بر بیان بزرگی ، جهت را نیز مشخص می کند و می توان آن را با بردار نمایش داد . چند نمونه از کمیت های برداری عبارتند از جابه جایی ، سرعت ، شتاب و شدت میدان الکتریکی .


http://www.astroupload.com/uploads/13469493461.gif

مبحث مورد نیاز برای این تاپیک کمیت های برداری هستند که از قوانین جبر برداری پیروی کرده و مفاهیم دور از ذهن را برای ما ملموس ساخته و تحلیل مباحث را برای ما آسان می سازند .

---------------

منابع مورد استفاده در بخش اول تاپیک :

1. کتاب آشنایی با مکانیک کلاسیک آریا
2. کتاب آشنایی با مکانیک کلپنر
3. فیزیک هالیدی ، جلد اول
4. کتاب مبتکران فیزیک 2

[shariatzadeh]

تساوی بردارها
دو بردار که بزرگی و جهت یکسان دارند مساوی می باشند . در شکل زیر تمام بردارها با بردار A مساوی هستند .

http://up.avastarco.com/images/yzgra6mq9ulv5fzdrtv.png (http://up.avastarco.com/)

ضرب یک کمیت برداری در یک کمیت نرده ای
ضرب یک بردار در یک کمیت نرده ای s منجر به بردار دیگر sA می شود ، که بزرگی آن s برابر بزرگی A ، یعنی s|A| یاsA است .

جمع و تفریق برداری
جمع دو بردار از روش متواضی الاضلاع پیروی می کند به این شکل که اگر C حاصل جمع دو بردار A و B باشد ، آنگاه طبق شکل 2-1 بردار A و B را موازی خودشان انتقال می دهیم تا انتهای B به ابتدای A (یا انتهای A به ابتدای B) برخورد کند آنگاه قطر متواضی الاضلاع بردار C است به طوری که ابتدای A ابتدای C و انتهای B انتهای C است .
از توضیح بالا می توان دریافت که A+B = B+A و |C|≠ |A|+ |B|

http://up.avastarco.com/images/bkaufb8z9u4z8ntbg7fv.png (http://up.avastarco.com/)

برای تفریق دو بردار A و B کافی است بردار A را با قرینه بردار B جمع کنیم . یعنی R=A-B=A+(-B)

بردار یکه
اگر بردار A را بر اندازه آن تقسیم کنیم برداری با اندازه واحد درجهت بردار A بدست می آید که آن را با u ̂_A ( اندیس A،u است )نشان می دهیم .

[andromeda-s]

درود دوستان
منم یه جزوه کاربرد بردارها دارم که خوبه البته این قسمت اولشه
http://s3.picofile.com/file/7445331719/%DA%A9%D8%A7%D8%B1%D8%A8%D8%B1%D8%AF_%D8%A8%D8%B1% D8%AF%D8%A7%D8%B1%D9%87%D8%A7.pdf.html

[shariatzadeh]

دستگاه مختصات دکارتی از سه محور عمود بر هم z , y, x تشکیل شده اند که در مبدأ مختصات به هم برخورد می کنند . ما همیشه از دستگاه مختصات راستگرد استفاده می کنیم . به شکل زیر توجه کنید :

http://up.avastarco.com/images/wc1e6rsu6l6jwaw0i95e.png (http://up.avastarco.com/)

در این دستگاه مختصات می توانیم بردار A را برحسب مؤلفه هایش در راستا z , y, x بیان کنیم . در اینصورت داریم :

http://up.avastarco.com/images/9af4g9t6dmzrkqlsily.png (http://up.avastarco.com/)

و با توجه به قضیه ی فیثاغورث اندازه بردار A عبارتست از :

http://up.avastarco.com/images/v2croizax1kbp00e5y8w.png (http://up.avastarco.com/)

با توجه به تعریف بردار یکه و معادله اول و شکل زیر داریم :

http://up.avastarco.com/images/kfz30iloq94d5lnpx1bt.png (http://up.avastarco.com/)

[shariatzadeh]

ضرب داخلی (نقطه ای) – ضرب داخلی دو بردار یک کمیت نرده ای است .

http://up.avastarco.com/images/7d7nexwub1xu56cozzwl.png (http://up.avastarco.com/)

که θ زاویه ی بین دو بردار است زاویه ی بین دو بردار را در حالتی اندازه می گیریم که انتهای آنها کنار هم باشد (شکل زیر) . اگر دو بردار برهم عمود باشند ، آنگاه ضرب داخلی آنها صفر می شود . به این ترتیب برای بردارهای یکه دستگاه مختصات دکارتی که دو به دو بر هم عمودند و اندازه آنها برابر واحد است داریم :

http://up.avastarco.com/images/1wtuvvnp48wfdyju81q6.png (http://up.avastarco.com/)

با استفااده از این نتیجه به راحتی می توان نشان داد که ضرب داخلی دو بردار A و B بر حسب مؤلفه های آنها در دستگاه دکارتی می شود :

http://up.avastarco.com/images/jgumqehlge8rq3bzhdpw.png (http://up.avastarco.com/)

از شکل بالا همچنین مشخص است که برای محاسبه تصویر بردار B در راستای بردار A که آن را با BA نشان می دهیم باید بردار B را در بردار یکه u ̂_A ضرب داخلی کنیم .

ضرب خارجی – ضرب خارجی دو بردار برداری عمود بر هر دو بردار تولید می کند .

http://up.avastarco.com/images/bbn1gauju1pqt4wyir0.png (http://up.avastarco.com/)

که در آن θ زاویه بین دو بردار A و B است و n ̂_AB بردار یکه عمود بر صفحه ای است که دو بردار Aو B در آن قرار دارند (شکل زیر). برای بدست آوردن بردار حاصلضرب از قانون دست راست استفاده می کنیم .به اینگونه که چهار انگشت دست راست را در راستای بردار اول قرار می دهیم و به سمت بردار دوم جمع می کنیم در اینصورت انگشت شست بردار حاصلضرب را مشخص می کند . با این تعریف برای بردارهای یکه دستگاه مختصات دکارتی داریم :

http://up.avastarco.com/images/fdf5wjl4pf9zvlk836p.png (http://up.avastarco.com/)

از معادله بالا استفاده می کنیم و برای ضرب خارجی دو بردار A و B می توانیم از روش های زیر استفاده کنیم :

http://up.avastarco.com/images/un8gqa00kh5emhrf7h.png (http://up.avastarco.com/)

ضرب خارجی راه حل خوبی برای بدست آوردن بردار عمود بر هر صفحه ای است . کافی است دو بردار از صفحه را داشته باشیم و سپس از ضرب خارجی آنها برداری عمود بر صفحه را بدست آوریم .

http://up.avastarco.com/images/aj0ieq55uxnmm75bg0fv.png (http://up.avastarco.com/)

[shariatzadeh]

جزوه زیر که توسط دوست خوبم آقای سلیمانی فر نوشته شده ، جزوه بسیار زیبایی است درباره کاربرد بردار در نجوم کروی .
بهتون پیشنهاد می کنم بخونیدیش ، اگر سوالی بود در خدمتیم .

[mahdad_haghighi]

جناب شریعت زاده لطف کردن و بخش اول تاپیک یعنی بردارهارو توضیح دادن .

در بخش دوم می خواهیم صرفا به نجوم کروی بپردازیم . برای اینکه با کاربرد بردارها در نجوم کروی آشنا شوید بهتر است ابتدا نجوم کروی و حل مسائل با مثلث کروی را به طور کامل یاد بگیرید .

تعریف نجوم کروی :

نجوم کروی دانشی است که در آن به مطالعه ی چارچوب های مختصات ، جهات و حرکت های ظاهری اجسام سماوی ، تعیین موقعیت از راه مشاهده ، خطاهای نجومی و چیزهایی از این قبیل می پردازیم . در نجوم کروی زاویه بر حسب درجه بیان می شود .

تعریف کره آسمان :

اگر در یک شب پر ستاره به آسمان نگاه کنید، ستارگانی را مشاهده می کنید که‌ به نظر می آید به سقف آسمان چسبیده‌ اند. آن‌چه ما از آسمان می بینیم، سطح یک کره است. احساس می کنیم که ستارگان روی سطح یک کره هستند. البته آن چه ما از این کره می بینیم در واقع یک نیم کره است، زیرا افق محلی نیمی از این کره را می‌ پوشاند و ما در یک زمان خاص ، تنها نیمی از کره آسمان را بالای سر خود مشاهده می کنیم .

تعریف دایره عظیمه :

اگر دایره ای را حول یکی از قطرهایش یک دور کامل ، دوران دهیم شکل حاصل ، یک "کره" خواهد بود . هر صفحه ای که کره را قطع کند و از مرکز کره عبور کند یک دایره ی عظیمه می سازد .

--------------------------------

منابع مورد استفاده در بخش دوم تاپیک :

1. کتاب الفبای المپیاد نجوم و اخترفیزیک
2. کتاب مبانی ستاره شناسی
3. کتاب گنجینه ی المپیاد نجوم
4. آکادمی نجوم آوا استار

نخستین آن چه پیدا شد ملک بود / وز آن پس جوهر گردان فلک بود

وز ایشان آمد این اجرام روشن / بسان گل میان سبز گلشن :)

[mahdad_haghighi]

تعریف مثلث کروی :

به شکل حاصل از تقاطع سه دایره ی عظیمه یک مثلث کروی گوییم به شرطی که آن سه دایره عظیمه ، دو به دو همدیگر را در بیش از دو نقطه قطع نکنند . در واقع با هر سه نقطه بر روی سطح کره می توان یک مثلث کروی ساخت به شرط اینکه آن سه نقطه بر روی یک دایره عظیمه نباشند .


http://www.astroupload.com/uploads/13484111001.jpg

فرمول های مثلث کروی :

در مثلث های کروی روابطی وجود دارد که برخی از اضلاع و زوایا را با یکدیگر مرتبط می کند که به برخی از روابط مثلث های مسطحه شبیه است .

فرمول کسینوس ها : Cos a = Cos b × Cos c + Sin b × Sin c × Cos A

فرمول سینوس ها : Sin a / Sin A = Sin b / Sin B = Sin c / Sin C

فرمول چهار جزئی : (کتانژانت زاویه دیگر x سینوس زاویه میانی) - (کتانژانت ضلع دیگر x سینوس ضلع میانی) = کسینوس زاویه میانی x کسینوس ضلع میانی


دستگاه های مختصات :

برای یافتن هر نقطه از کره ی آسمان باید روشی داشته باشیم تا نشانی آن را مشخص کنیم . به همین منظور دستگاه های مختصات مختلف به وجود آمده اند .

چو شبنم اوفتاده بدم پیش آفتاب / مهرم به جان رسید و به عیوق برشدم (سعدی) :)

[Amir Shayan Nejati]

دستگاه مختصات جغرافیایی
عرض جغرافیایی(φ): زاویهٔ شمالی یا جنوبی هر نقطه از مدارها نسبت به خط استوااست. با اتصال نقاط هم عرض به یکدیگر، خطوطی موازی خط استوا (مدارها) بدست می‌آید، که در واقع هر کدام یک دایره‌است که شعاع آن از بیشترین دراستواتا کمترین در قطب‌ها متفاوت است.عرض جغرافیایی قطب شمال۹۰ درجه شمالی (n ۹۰°)، استوا صفر و قطب جنوب ۹۰ درجه جنوبی (°۹۰ s) است.برای تهران:35.69973:whoow:
طول جغرافیایی(λ):زاویهٔ شرقی یا غربی هر نقطه از نصف النهارها نسبت به نصف النهارمبدا(گرینویچ) که صفر درجه‌است می‌باشد. این زاویه حداکثر (°۱۸۰) شرقی (e) یا غربی (w) است. نصف النهارها نیم‌دایره‌های از دوایر بزرگ طولی و هم اندازه‌اند که در دو نقطه متقابل در قطب‌ها به هم می‌رسند.برای تهران:51.338049:grin:

4899

می‌توان تمام نقاتی که با دستگاه مختصات طول و عرض جغرافیایی مشخص می‌شوند را با دستگاه مختصات دکارتی مشخص کرد.امادراخترشناسی کروی ودرحل سوال های آن بایدبرحسب زاویه بیان شوند.


4898

http://forum.avastarco.com/forum/images/misc/pencil.png

[Moris75]

روش حل سوالات کروی بااستفاده از بردار و قوانین آن : برای این کار ابتدا باید با مفاهیم ضرب برداری آ شناباشید که جناب شریعت زاده توضیحات را داده اند در این روش طول بردار هارا واحد قرار می دهیم و زاویه ی بینبردار ها را که باطول کمان مقابل برابر می باشد را از ضرب داخلی دو بردار حساب می کنیم و برای بدست آوردن بردار عمود بر صفحه ی دو بردار از ضرب خارجی استفاده می کنیم این روش آموزش خاصی لازم ندارد و با دیدن حل مثال هایی که می اورم و سوالاتی که می گذارم جا می افتد .

[Moris75]

مثال:با داشتن عرض جغرافیایی محل و سمت و ارتفاع ستاره از روش برداری رابطه ای برای میل ستاره بدست آورید .
برای این کار از شکل کمک بگیرید4914

[Moris75]

حالا ی مثال سخت تر البته بهروش برداریمهم چون باید حواستون به انتخاب جای بردار ها باشه:
در عرض جغرافیایی 45 درجه ارتفاع ستاره ای با زاویه ساعتی 2h و میل 15 درجهرا بدست آورید.(به نحوهی قرار دادن دستگاه مختصات دقت کنید.)

[Amir Shayan Nejati]

مثال:با داشتن عرض جغرافیایی محل و سمت و ارتفاع ستاره از روش برداری رابطه ای برای میل ستاره بدست آورید .
برای این کار از شکل کمک بگیرید4914
مرسی ازاین سوال خوب محمدرضا:
بایدتوجه کنیم که درشکل ماصفحه ی افق ناظررومیکشیم پس مختصات هاروبدست میاریم:
p=(cosφ,0,sinφ)
X=(cosacosA,cosαsinA,sina)
p.x=sinδ
sinφsina+cosφcosacosA=sinδ
δ=arcsin(sinφsina+cosφcosacosA)

[mahdad_haghighi]

سلام خدمت دوستان آوا استاری :)

متاسفانه این مدت به علت کمبود وقت فرصت سر زدن به فروم و تکمیل این تاپیک را نداشتم اما ان شاءالله از این پس به کمک دوستان این تاپیک را ادامه می دهیم .

خوشبختانه در این مدت تاپیک نجوم کروی هم ایجاد شد و می توانیم در این تاپیک با گذر از بحث نجوم کروی به بحث اصلی تاپیک یعنی عملیات برداری در نجوم کروی بپردازیم .

فرض کنید یک دستگاه مختصات با بردارهای یکه i و j و k در مرکز کره زمین قرار می دهیم . بردار m را به صورت r/(فلش)m=r تعریف می کنیم و جهت آن را دلخواه در نظر می گیریم . (آر فلش نقطه ای روی زمین را نشان می دهد)


http://www.astroupload.com/uploads/13526436611.png


زاویه بردار با محور z را با تتا و زاویه تصویر بردار با محور x را با فی نشان می دهیم .

پس می توان r و در نتیجه m را به صورت زیر نوشت :


http://www.astroupload.com/uploads/13526436612.png

http://www.astroupload.com/uploads/13526436623.png

منابع مورد استفاده در بخش آخر تاپیک :
1. جزوه کاربرد بردارها در نجوم کروی (بخش 1)
2. جزوه بردار سایت المپیاد نجوم ایران
3. جزوه عملیات برداری مهدی سلیمانی فر
4. تمامی منابع قسمت های قبلی تاپیک

[mahdad_haghighi]

به عنوان اولین تمرین می توانید فرمول کسینوس ها که در پست نه همین تاپیک نیز نوشته شده را به روش برداری اثبات کنید . لازم به ذکر است تمامی اطلاعاتی که برای این اثبات نیاز است در پست های قبل تاپیک داده شده و هیچ مطلب تازه ای وجود ندارد . :)

منتظر اثبات های دوستان هستیم :دی

[celestial boy]

سلام.
من به شدت تازه کارم و الان به یه مشکل اساسی تو تعریفا بر خوردم.زاویه بین اضلاع یه مثلث کروی چی تعریف میشه؟؟؟منظورم به شکل برداریه.خودم گفتم زاویه بین دو صفحه ایه که اضلاع روی اون صفحن.ولی پیدا کردن این زاویه خیلی طولانی شد.مشکل کجاست؟؟
تشکر...

[Hosein Hashemi]

سلام.
من به شدت تازه کارم و الان به یه مشکل اساسی تو تعریفا بر خوردم.زاویه بین اضلاع یه مثلث کروی چی تعریف میشه؟؟؟منظورم به شکل برداریه.خودم گفتم زاویه بین دو صفحه ایه که اضلاع روی اون صفحن.ولی پیدا کردن این زاویه خیلی طولانی شد.مشکل کجاست؟؟
تشکر...
می تونی این جوری هم تعریف کنی که زاویه ی بین خطوط مماس بر دایره های عظیمه در نقطه ی تقاطع اون دایره ها ...
دقیقا متوجه نشدم این زاویه رو بر حسب چی می خوای به دست بیاری ...

[celestial boy]

سلام.
منم همونو فرض کرده بودم.اما اول می خواستم با بردار های عمود بر دایره های عظیمه زاویه پیدا کنم.یکمی خیلی خیلی سخت شد.بعدش با دوران مختصه ای امتحان کردم به دست اومد.روش دیگه ای هم هست؟؟
یه سوال کوچیک دیگه.بردار مکان ماهواره و ناظر باید نسبت به چه دستگاهی سنجیده بشه؟؟اگه روی زمین ثابت باشه اونوقت دستگاه با زمین می چرخه.اگه روی فضا ثابت باشه سوالم اینه محور ها کجا بگیرم؟؟
تشکر...

[Hosein Hashemi]

سلام.
منم همونو فرض کرده بودم.اما اول می خواستم با بردار های عمود بر دایره های عظیمه زاویه پیدا کنم.یکمی خیلی خیلی سخت شد.بعدش با دوران مختصه ای امتحان کردم به دست اومد.روش دیگه ای هم هست؟؟
یه سوال کوچیک دیگه.بردار مکان ماهواره و ناظر باید نسبت به چه دستگاهی سنجیده بشه؟؟اگه روی زمین ثابت باشه اونوقت دستگاه با زمین می چرخه.اگه روی فضا ثابت باشه سوالم اینه محور ها کجا بگیرم؟؟
تشکر...
گفتم که متوجه نشدم می خوای زاویه ی بین دو دایره عظیمه رو بر حسب چی به دست بیاری ؟!!!!!!!!!!!!
معمولا مطابق نیاز دستگاه تعیین می کنن . ولی واس این جور مسائل (ماهواره و ناظر) معمولا مرکز دستگاه مختصات رو روی مرکز زمین میگیرن و از حرکت انتقالی زمین صرف نظر میشه و یه صفحه از دستگاه مختصات (فرض کن صفحه xy) همون صفحه ی استوا رو تشکیل میده و بنابراین محور عمود بر این صفحه قطب شمال رو نشون میده ... اون دو تا محور دیگه هم چندان اهمیت نداره کدوم جهت رو نشون بده ، مهم اینه که
محاسباتتو آسون تر کنه . دوس داری یه محورو بگیر سمت نصف النهار گرینویچ . اگر هم کسی پرسید چرا این کارو می کنی ، بگو دلم خواست :دی

[Siavash9874]

۶تا ماتریکس در ۲ محور x و z لازمه ، البته محور‌های دیگه هم می‌شه .

اول یه دوران حول x به اندازه یک ضلع ، سپس حول z به اندازه یک زاویه و ضلع دیگه . طرف دیگه معادله هم همینطور .

۳تا ماتریکس دوران رو در هم ضرب می‌کنیم ، باید برابر با ۳ تا دیگه که زاویه ضلع زاویه است باشه . اینطوری همه فرمول‌های مثلثِ کروی به دست میاد :دی

[Siavash9874]

http://www.astroupload.com/uploads/13550865611.png
این ضرب ماتریکس‌ها هستش ، یه مثلث رو روی فضا تصور کنید که زاویه a روی محور z قرار داره ، ضلع c هم روی صفحه xz

[tina]

۶تا ماتریکس در ۲ محور x و z لازمه ، البته محور‌های دیگه هم می‌شه .

اول یه دوران حول x به اندازه یک ضلع ، سپس حول z به اندازه یک زاویه و ضلع دیگه . طرف دیگه معادله هم همینطور .

۳تا ماتریکس دوران رو در هم ضرب می‌کنیم ، باید برابر با ۳ تا دیگه که زاویه ضلع زاویه است باشه . اینطوری همه فرمول‌های مثلثِ کروی به دست میاد :دی
میشه شکلش رو هم بکشین ؟
ممنون