مکانیک مداری

[پیمان اکبرنیا]

سلام دوستان

این تاپیک را ایجاد کردم تا در اون به بررسی معادلات حرکت اجسام در اثر نیروی جاذبه بپردازم. اینجا مکانی است که در اون، سرعت، شتاب، نیرو و روابط و معادلات دینامیکی و سینماتیکی اجسام در مدارهایشان را بررسی خواهیم کرد. این مدارها هم همگی مقاطع مخروطی هستند.

در این تاپیک به بررسی هندسی مدارها نمی پردازیم، هندسه و معادلات هندسی مدارها و مقاطع مخروطی در دستگاههای مختصات را میتونید در تاپیک مقاطع مخروطی از همین تالار دنبال کنید.

برای دنبال کردن مباحث این تاپیک نیاز دارید تا با مبانی مکانیک نیوتونی از جمله مفاهیم سینماتیک و دینامیک یک و دو بعدی، آشنایی داشته باشید. مباحث پیش نیاز، به صورت ساده در فیزیک 2 دبیرستان و به صورت پیشرفته تر در کتابهای فیزیک پایه دانشگاهی مثل فیزیک پایه هالیدی(جلد 1)موجود است!



از دوستان خواهش می کنم قبل از خواندن پست مورد نظر ، پست های قبلی را نیز مرور بفرمایند . چون هر مطلب پیش نیاز مطالب بعدی است .

لیست برخی از مطالب مهم و آموزشی این تاپیک به همراه لینک به مطلب:
مفاهیم پایه حرکت دایره ای ، تعریف سرعت زاویه ای ، روابط سرعت زاویه ای و شتاب و نیروی مرکز گرا ، حرکت تحت نیروی گرانش ، انرژی مدار ، سرعت شعاعی و مماسی ، مداری دایروی ، حرکت تحت نیروی گرانش خطی ، مدار بیضی ، مدار سهمی ، مدار هذلولی ، مدت زمان گذشته از حضیض ، آنومالی خروج از مرکزی ، آنومالی میانگین و معادله زمانی کپلر ، حل مساله از معادله کپلر ، معادله زمانی مدارهای سهمی

[پیمان اکبرنیا]

در یک حرکت دایره ای دلخواه، میشه گفت که شتاب حرکت یک جسم میتونه 2 مولفه داشته باشه، یکی در راستای شعاعی و دیگری در راستای مماسی ( دو راستای عمود بر هم). به شکل زیر دقت کنید:

همون طور که مشخصه، راستای سرعت در جهات مماس بر دایره است ( اندازه اش در حالت کلی میتونه متغییر باشه) ولی راستای شتاب یک راستای دلخواهه. پس شتاب در حرکت دایره ای در حالت کلی دو مولفه داره.

اما بیایید مساله گرانش را در نظر بگیریم، در مساله دو جسم که به هم نیروی گرانش وارد می کنند، نیروی گرانش همواره در راستای خط واصل دو جسم است، میدانیم برای جسم: F=ma ، چون نیرو در راستای خط واصل دو جسمه، پس شتاب هم حتما در راستای دو جسمه. به شکل زیر نگاه کنید:

همون طور که مشخصه، شتاب در راستای مرکز است ( جسم مرکزی که عامل گرانش و شتاب است رسم نشده است.)

پس نتیجه بسیار مهم: در حرکت یک جسم به دور جسمی دیگر در اثر نیروی گرانش، شتاب همواره به سمت مرکز است. دقت کنید که مهم نیست حرکت دایره ای باشه یا بیضوی یا سهمی و هذلولی، به دلیل مرکز گرا بودن نیروی گرانش، شتاب همواره به سمت مرکز گرانش هست.

برگردیم به مساله دایره ای خودمون: به دلیل این که شتاب در جهت مرکز دایره است، اندازه سرعت هیچ وقت عوض نمیشه. پس شتاب که یعنی تغییرات سرعت بر زمان، باعث تغییرات چه چیز بر زمان میشه؟

در حرکت دایره ای یکنواخت، شتاب باعث تغییر راستای سرعت میشه! به شکل زیر نگاه کنید:

بردارهای سرعت V1 و V2 با اندازه مساوی را در نظر بگیرید. شتاب یعنی تغییرات بردار سرعت به زمان یعنی:

چون بردار تغییرات سرعت یعنی V2-V1 = Δv در راستای مرکز دایره هست، پس شتاب هم به سمت مرکز دایره است.

نتیجه گیری: در حرکت دایره ای یکنواخت اندازه سرعت ثابت است و جهت سرعت همواره عوض میشود. جهت سرعت همواره عمود به راستای شعاعی است.

[Amin-Mehraji]

آقای اکبرنیا ... با تشکر بسیار از مطالبی که میگذارید ...

" در مسیر های دایره ای بواسطه ی تغییر اندازه ی بردار سرعت جسم همواره شتابی به نام شتاب مماسی خواهد داشت . این شتاب همواره بر مسیر دایره ای مماس خواهد بود "

3 سوال

1 - این جمله درسته یا نه ؟

2 - تغییر اندازه ی بردار سرعت با تغییر اندازه ی سرعت فرق دارند ؟ ( چون 2 جا اشاره کردید که سرعت ثابته )

3 - شتاب مماسی ؟

[پیمان اکبرنیا]

آقای اکبرنیا ... با تشکر بسیار از مطالبی که میگذارید ...

" در مسیر های دایره ای بواسطه ی تغییر اندازه ی بردار سرعت جسم همواره شتابی به نام شتاب مماسی خواهد داشت . این شتاب همواره بر مسیر دایره ای مماس خواهد بود "

3 سوال

1 - این جمله درسته یا نه ؟

2 - تغییر اندازه ی بردار سرعت با تغییر اندازه ی سرعت فرق دارند ؟ ( چون 2 جا اشاره کردید که سرعت ثابته )

3 - شتاب مماسی ؟

سلام

1- جمله شما برای حالت کلی درسته. یعنی اگر در حرکت دایره ای، اندازه بردار سرعت تغییر کند. علاوه بر شتاب در راستای شعاع (شتاب شعاعی). یک شتاب دیگر خواهیم داشت به نام شتاب مماسی. بگذارید مثالی بزنم. فرض کنید جسمی بر روی مسیر دایره ای در حال حرکته و اندازه سرعتش هست 5 متر بر ثانیه و ثابته. در این حالت جسم فقط شتاب شعاعی داره (به سمت مرکز) و فقط جهت بردار سرعتش عوض میشه. اما اگر اندازه سرعت جسم هم در طول زمان عوض بشه. یعنی مثلا از 5 متر بر ثانیه، برسه به 6 متر در ثانیه. اونوقت شتاب مماسی هم خواهد داشت. شتاب مماسی در حرکت دایره ای اندازه سرعت را عوض میکنه.

2- در حرکت دایره ای هرجا گفتم سرعت ثابته، منظورم اندازه بردار سرعت بوده. وگرنه جهتش تغییر میکنه.

3- شتاب مماسی یعنی شتاب در راستای مماس بر دایره. این شتاب در حرکت دایره ای باعث تغییر اندازه سرعت میشه. در حرکت دایره ای یک جسم به دور یک جسم دیگه که حاصل از نیروی گرانش مرکزی باشه. این شتاب همواره برابر صفر است.

[پیمان اکبرنیا]

در این پست میخواهیم با مفهومی به نام سرعت زاویه ای آشنا بشیم. مفهوم سرعت زاویه ای شبیه به مفهوم سرعت خطی است. در مبحث سرعت خطی میدونستیم که سرعت متوسط عبارت است از جابه جایی بخش بر زمان.


سرعت متوسط را می توانستیم به کمک واحدهای مختلفی همانند: متر بر ثانیه، کیلومتر بر ساعت و ... بیان کنیم.
حال برسیم به مفهوم سرعت زاویه ای. سرعت زاویه ای متوسط یعنی زاویه طی شده بر حسب زمان. به شکل زیر نگاه کنید:

جسمی، زاویه ی Δθ (دلتا تتا) را در مدت زمان Δt طی کرده است. سرعت زاویه ای متوسط این جسم که با حرف یونانی امگا کوچک (ω) نمایش داده می شود، از رابطه زیر به دست می آید:

سرعت زاویه ای هم مانند سرعت خطی میتواند با واحد های مختلفی بیان شود. مثل: درجه بر ثانیه، درجه بر دقیقه، درجه بر ساعت، رادیان بر ثانیه و ... .

یک مثال بزنیم: سرعت زاویه ای متوسط عقربه ی ثانیه شمار ساعت چقدر است؟

جواب: عقربه ثانیه شمار 360 درجه را در 60 ثانیه طی میکند پس سرعت زاویه ای آن 6 درجه بر ثانیه است.
همین جواب را می توان بر حسب واحد دیگری نیز بیان کرد. مثلا اگر بخواهیم بر حسب رادیان بر ثانیه بیان کنیم:
عقربه ثانیه شمار در 60 ثانیه 360 درجه، معادل 2π (دو پی) رادیان را طی میکند. پس سرعت زاویه آن بر حسب رادیان بر ثانیه برابر است با:

ω= 2π /60 = 0.1047 rad/ s

یک مثال دیگر: سرعت زاویه زمین در مدارش به دور خورشید چقدر است؟
جواب: زمین 360 درجه را در 365.25 روز طی میکند پس سرعت زاویه ای آن برابر است با:

ω= 360 /365.25

یا حدودا 0.98 درجه بر روز است.

[پیمان اکبرنیا]

در پست قبلی مفهوم سرعت زاویه ای را مطرح کردم. در این پست یک قدم جلو میرویم و روابط سرعت و شتاب را به دست می آوریم و آن را به نیرو ربط میدهیم.

فرض کنید جسمی روی یک مسیر دایره ای به طور یکنواخت (با سرعت ثابت) حرکت میکند. اگر این جسم یک دور کامل دایره را در زمان T طی کند، سرعت زاویه ای اون چقدر خواهد بود؟ خب ما میدونیم سرعت زاویه ای میشه زاویه طی شده بر حسب زمان، اگر زاویه طی شده را بر حسب رادیان در نظر بگیریم، یک دور کامل معادل 2π رادیان خواهد بود و سرعت زاویه ای از رابطه زیر به دست می آید:



سرعت زاویه در این رابطه بر حسب رادیان بر ثانیه خواهد بود. ( از این به بعد همیشه هر جا حرف از سرعت زاویه ای شد بر حسب رادیان بر ثانیه بیانش میکنیم).حال ببینیم سرعت از چه رابطه ای به دست می آید؟ سرعت بنا به تعریف هست: مسافت طی شده بر واحد زمان. فرض کنید جسمی یک دور کامل را روی دایره طی کند. سرعتش میشه مسافت طی شده یعنی محیط دایره(2πr) تقسیم بر زمان(T) یا:



حال از دو رابطه بالا به رابطه پایین میرسیم:

رابطه بالا بسیار مهمه و بیان میکنه که سرعت خطی برابره با سرعت زاویه ای، ضرب در شعاع دایره.

حال ببینیم شتاب در حرکت دایره ای یکنواخت چگونه به دست می آید؟ شتاب یعنی تغییرات بردار سرعت بر حسب زمان:

بدون این که اثبات کنم (چون اینجا جاش نیست ولی یک محاسبه برداری ساده است که از شکل بالا به دست می آید) میشه به دست آورد که شتاب برابر است با:

اگر اثباتش را متوجه نمی شوید فعلا خیلی مهم نیست. نتیجه را ببینید:



رابطه بالا خیلی مهمه! داره میگه که شتاب برابر است با سرعت به توان دو، تقسیم بر شعاع دایره! (در آینده از این رابطه مثال خواهم زد)

حال میدانیم که نیوتون خدا بیامرز گفت F=ma پس مینویسیم:

از این رابطه، نیروی مرکزگرا بر حسب سرعت، شعاع و جرم به دست می آید.

نیروی مرکزگرا، مانند شتاب، به سمت مرکز دایره و عمود بر سرعت جسم است.

دقت کنید که دلیل تغییر نکردن اندازه سرعت همینه، نیرو به سرعت عموده و فقط میتونه جهتش رو عوض کنه.
رابطه زیر هم با جایگذاری v=r*w در رابطه قبلی به دست می آید:



در پست بعد از این روابط مثال خواهم زد و کاربردشون را بررسی میکنم.

[Scorpius]

يکي از کاربردهاي روابط مکانيک مداري محاسبه ي دوره تناوب اجرامي هستش که تحت تاثير نيروي گرانش هستند.منظور از تناوب ، گردش اونها به دور جرم ثانويه اي هست که جرم بيشتري داره.اجرامي مثل سيارات که به دور ستاره ها مي گردند و يا ستاره ها که حول محور کهکشانشون و یا ماهواره ها که به دور زمين و يا سياره هاي ديگه در حال گردش هستند.

تمامي اين اجرام در فاصله اي از يک مرکز ثقل قرار گرفتند که بر آيند نيرو هاي وارد بر اونها ، حرکتي پايدار(نميگم يکنواخت،البته طبق قانون اول نيوتن بايد بگم يکنواخت)رو باعث ميشه . در هر صورت در بازه هاي دوره هاي تناوبي میشه گفت حرکت يکنواخته.این همون عامليه که باعث ميشه زمين ميلياردها سال حول يک ستاره در حال گردش باشه.طبق قانون اول نيوتن بايد بر آيند نيروهاي وارد بر اين اجرام صفر باشه.ما اين مسله رو در حالي فرض مي کنيم که مدار حرکت، دايره اي هستش چون در حرکت بيضوي هميشه بر آيند نيروها صفر نيست و چون دايره هم حالتي خاص از بيضيه اين رابطه بدست اومده رو در بازه هاي تناوبي ميشه تعميم داد
براي جرمي مثل زمين دو نيروي اصلي وجود داره که بر اون وارده :
يکي نيروي گرانشي که از جانب خورشيد بهش اعمال ميشه
و از رابطه ي معروف گرانش يعني :

بدست مياد.
و نيروي ديگه نيروي گريز از مرکز زمينه که بردار اون بر مدار حرکت انتقالي زمين به جز مواقعی خاص کاملا مماس نيست (اگه همواره مماس بود حرکت انتقالي زمين کاملا دايروي مي شد). البته دقت داریم که نیروی گریز از مرکز یک نیروی مجازی است. یعنی در واقع به صورت درست تر این است که بگوییم نیروی مرکز گرا. جهت نيرو هميشه عمود بر شتاب مرکز گراي زمينه (تو کتاباي دبيرستان در باره ي شتاب مرکز گرا و حرکت دوراني توضيح داده) طبق رابطه ي شتاب مرکز گرا داریم:

پس طبق فرمول نیوتن نیروی مرکزگرا برابر ميشه با:

که عامل ایجاد شتاب مرکز گراست .حالا طبق قانون اول نیوتن بايد نیروی مرکزگرا برابر باشد با نیروی گرانش زیرا در واقع همین نیروی گرانش هست که به جسم، شتاب مرکزگرا وارد میکنه. با مساوي قرار دادن دو رابطه ،نهايتا به یک فرمول مي رسيم:

حالا یک متغییرجدید تعریف می کنیم



پس:

رابطه ی بالا سرعت مداری را به ما ميده و ميگه که در يک ثانيه، جرم چند متر از مدار خودش رو طي ميکنه.

پس کافيه طول مدار جرم رو داشته باشیم تا بتونيم به دوره تناوب اجرام سماوي دست پيدا کنيم
جالبه که دوره تناوب اجرام در اين نوع حرکت به جرم اونا بستگي نداره و تنها تابع فاصله ي مرکز ثقل هر کدوم اونها از همديگست.یعنی فرقی نمیکنه یه زباله ی فضایی دور زمین بگرده یا مثلا ایستگاه فضایی بین المللی.

[Scorpius]

حالا می خواهیم از رابطه ی بدست اومده استفاده کنیم و کاربرد اون رو در واقعیت ببینیم .
می خواهیم دوره تناوب تنها قمر زمین یعنی ماه رو حساب کنیم .برای محاسبه ی این مقدار باید متغیرr یعنی فاصله ی مرکز ماه از مرکز زمین برامون معلوم باشه.
میدونیم ماه در مداری بیضی شکل به دور زمین می گرده و اوج و حضیض داره .ما می تونیم پارامتر ها رو با دقت های دلخواه بدست بیاریم.برای محاسبه ی دقیق باید محیط بیضی ای که ماه اون رو در مدت یک دوره طی میکنه ، دراختیار داشته باشیم .همچنین تابع تغییر سرعت ماه بر حسب فاصله از کانونها رو داشته باشیم.
بنظرم در اینجا بهتره که برای سادگی و درک بهتر تقریب بزنیم و مدار ماه رو دایروی فرض کنیم .این کار دوره تناوب ماه رو با دقت خوبی بهمون میده.فاصله ی میانگین ماه از زمین چیزی در حدود380000 کیلومتره.از اونجایی که فاصله ی مرکز دو جرم برامون ملاکه باید شعای ماه و زمین رو هم به این مقدار اضافه کنیم .شعاع میانگین زمین 6400 کیلومتر و شعاع میانگین ماه 1730 کیلومتره.پس اول r رو حساب می کنیم:

حالا از فرمول کمک می گیریم و سرعت ماه رو بر حسب کیلومتر بر ثانیه محاسبه می کنیم:

یعنی ماه در هر ثانیه 1 کیلومتر در مدارش دور زمین پیش میره.همونطور که گفتم حالا به راحتی میشه دوره ی گرش ماه رو با تقریب خوبی بدست آورد

این مقدار دوره تناوب گردش ماه به دور زمین بر حسب ثانیه است.البته این عدد برای ما زیاد جالب نیست. بهتره که دوره گردش ماه رو بر حسب روز بدست بیاریم.می دونیم هر روز 86400 ثانیست پس کافیه عدد بدست اومده رو بر 86400 تقسیم کنیم.داریم:

عدد بدست اومده دوره تناوب ماه رو عددی در حدود 27 یا 28 روز زمینی نشون میده که با تقریب مناسب با واقعیت سازگاره.می بینیم که روابط تئوری و واقعیت همدیگرو تایید میکنند.البته می تونیم با اعمال جزئیات بیشتر پارامترها مثلا احتساب بیضی بودن مدار ماه دقت محاسباتمون رو تا جایی که می خوایم بالا ببریم.

[mosayeb7141]

سلام
با تشکر از شما
سوالی در مورد نحوه حرکت انتقالی یک سیاره دور یک ستاره یا سیاره دیگر داشتم. مثلا گردش ماه دور زمین.
اگه فرض کنیم ماه دور خودش نمیچرخد(حرکت وضعی نداشته باشد) اونوقت گردشت ماه به دور زمین طبق مکانیک مداری چگونه خواهد بود؟
اگه فرضا" در ابتدای حرکت، یک نقطه از ماه را با حرف a نشان دهیم و این نقطه رو به زمین باشد با فرض بالا آیا نقطه a در تمام مدت گردش ماه دور زمین، رو به زمین است یا حالت دیگری (مثلا شکل شماره 2 ) دارد؟

[mahshid yaali]

سلام
با تشکر از شما
سوالی در مورد نحوه حرکت انتقالی یک سیاره دور یک ستاره یا سیاره دیگر داشتم. مثلا گردش ماه دور زمین.
اگه فرض کنیم ماه دور خودش نمیچرخد(حرکت وضعی نداشته باشد) اونوقت گردشت ماه به دور زمین طبق مکانیک مداری چگونه خواهد بود؟
اگه فرضا" در ابتدای حرکت، یک نقطه از ماه را با حرف a نشان دهیم و این نقطه رو به زمین باشد با فرض بالا آیا نقطه a در تمام مدت گردش ماه دور زمین، رو به زمین است یا حالت دیگری (مثلا شکل شماره 2 ) دارد؟

سلام؛
پاسخ پرسش شما در همین تصاویری که نهاده اید وجود دارد . اگر ماه حرکت وضعی (حول خود ) نداشت قطعاً ناظران زمینی قادر به مشاهده ی بخش عظیمی از سطوح آن بودند . و ثبوت نقطه ای رو به روی زمین (اتفاقی که در واقعیت رخ می دهد ) ، در گرو چرخش ماه حول محور خود ، آن هم با دوره تناوبِ _تقریباً_ برابر با گردش انتقالی آن به دور زمین است .