مکانیک مداری

[پیمان اکبرنیا]

سلام دوستان

این تاپیک را ایجاد کردم تا در اون به بررسی معادلات حرکت اجسام در اثر نیروی جاذبه بپردازم. اینجا مکانی است که در اون، سرعت، شتاب، نیرو و روابط و معادلات دینامیکی و سینماتیکی اجسام در مدارهایشان را بررسی خواهیم کرد. این مدارها هم همگی مقاطع مخروطی هستند.

در این تاپیک به بررسی هندسی مدارها نمی پردازیم، هندسه و معادلات هندسی مدارها و مقاطع مخروطی در دستگاههای مختصات را میتونید در تاپیک مقاطع مخروطی از همین تالار دنبال کنید.

برای دنبال کردن مباحث این تاپیک نیاز دارید تا با مبانی مکانیک نیوتونی از جمله مفاهیم سینماتیک و دینامیک یک و دو بعدی، آشنایی داشته باشید. مباحث پیش نیاز، به صورت ساده در فیزیک 2 دبیرستان و به صورت پیشرفته تر در کتابهای فیزیک پایه دانشگاهی مثل فیزیک پایه هالیدی(جلد 1)موجود است!



از دوستان خواهش می کنم قبل از خواندن پست مورد نظر ، پست های قبلی را نیز مرور بفرمایند . چون هر مطلب پیش نیاز مطالب بعدی است .

لیست برخی از مطالب مهم و آموزشی این تاپیک به همراه لینک به مطلب:
مفاهیم پایه حرکت دایره ای ، تعریف سرعت زاویه ای ، روابط سرعت زاویه ای و شتاب و نیروی مرکز گرا ، حرکت تحت نیروی گرانش ، انرژی مدار ، سرعت شعاعی و مماسی ، مداری دایروی ، حرکت تحت نیروی گرانش خطی ، مدار بیضی ، مدار سهمی ، مدار هذلولی ، مدت زمان گذشته از حضیض ، آنومالی خروج از مرکزی ، آنومالی میانگین و معادله زمانی کپلر ، حل مساله از معادله کپلر ، معادله زمانی مدارهای سهمی

[المپیاد نجوم]

سلام یه سوال دیگه داشتم: وقتی می خواهیم تعدیل زمان رو با در نظر گرفتن بیضی بودن مدار به دست بیاریم چه کنیم؟؟ معادله کپلر و... باید بنویسیم؟

[shariatzadeh]

سلام یه سوال دیگه داشتم: وقتی می خواهیم تعدیل زمان رو با در نظر گرفتن بیضی بودن مدار به دست بیاریم چه کنیم؟؟ معادله کپلر و... باید بنویسیم؟

می دانیم خورشید روی صفحه دایره البروج حرکت می کند ، درحالی که این صفحه از صفحه استوای سماوی به اندازه ε=23.5˚انحرافدارد .

تعریف خورشید میانگین : یک خورشید فرضی که با سرعت زاویهای ثابت روی استوای سماوی حرکت می کند . دوره تناوب خورشید میانگین و خورشید واقعیبرابر است .

تعریف تعدیل زمان (Equation of time) : اختلاف بعد خورشید میانگین و خورشید واقعی را تعدیل زمان میگویند و با E نشان می دهند .

می توان نشان داد لحظه اذان ظهر برابر است با 12– E . که البته در نیمه اول سال باید 1 ساعت به آن اضافه کرد .

نحوه محاسبه تعدیل زمان :

ابتدا باید مقدار جابه جایی خورشید از اعتدال بهاری را بهدست آوریم که برابر است با طول سماوی خورشید یا λ . توجه داشته باشید که مدار زمینیک بیضی با خروج از مرکز eاست که حضیض آن با نقطه اعتدال بهاری ω درجه اختلاف زاویه ای دارد . (طول حضیضمدار زمین ω است.)

برای محاسبه λ باید آنومالی واقعی مدار زمین(θ) را به دستآوریم و سپس بنویسیم : λ=θ-ω

خوب برای محاسبه θ ابتدا زمان گذشته از لحظه حضیض را به دستمی آوریم ، سپس از روی آن آنومالی میانگین (M) را محاسبه می کنیم . سپس با استفادهاز معادله کپلر (معادله 5 پست22) آنومالی خروج از مرکزی و سپس با استفاده ازمعادله 5 پست 21 آنومالی واقعی را محاسبه می کنیم .حال طول دایره البروجی خورشیدبه دست آمد .

توجه داشته باشید که بعد خورشید میانگین برابر است با RAMS=M-ω .(چرا؟)

حال با استفاده از λ و ε و رابطه زیر بعد خورشید واقعی رامحاسبه می کنیم .

tan (RA)=cos ε . tan λ

و در نهایت E =RAMS-RA

من نمودار تعدیل زمان در یک سال رو برای مدار زمین بامشخصات

e=0.0167

ω=1.3336 rad

tp=6537180مدت زمان گذشته از حضیض تا لحظه تحویل سال برحسب ثانیه.

رسم کردم که به شکل زیر در میاد :

دوستان اگر خیلی خلاصه توضیح دادم ببخشید ، این مبحث دو جلسه کلاس نیاز داره .

[rocky]

سلام دوستان.
چند وقت پیش یه سوال دیدم که میگفت :"سیارات در مسیر حرکتشون به دور خورشید با شهابواره ها برخورد میکنند وبه جرمشون اضضافه میشه .حالا اگر یه ابر شهابواره با جرم و سرعت vوm از بی نهایت به سمت زمین بیاد 1-شرط لازم برای جذب شدن به زمین و2-آهنگ افزایش جرم زمین رو بگید."میخواستم بدونم چطوری حل میشه .مثلا در بخش دوم اگر آهنگ افزایش نیرو نسبت به فاصله از زمین رو محاسبه کنیم درسته؟

[shariatzadeh]

سلام دوستان.
چند وقت پیش یه سوال دیدم که میگفت :"سیارات در مسیر حرکتشون به دور خورشید با شهابواره ها برخورد میکنند وبه جرمشون اضضافه میشه .حالا اگر یه ابر شهابواره با جرم و سرعت vوm از بی نهایت به سمت زمین بیاد 1-شرط لازم برای جذب شدن به زمین و2-آهنگ افزایش جرم زمین رو بگید."میخواستم بدونم چطوری حل میشه .مثلا در بخش دوم اگر آهنگ افزایش نیرو نسبت به فاصله از زمین رو محاسبه کنیم درسته؟

اگر سرعت ذرات ابر که از کنار زمین عبور می کنند کمتر ازسرعت فرار باشد ، ذرات از ابر جدا می شوند . در اینجا شما نباید فقط ذراتی که بهزمین بر خورد می کنند را در نظر بگیرید، بلکه منظور سوال هر گونه ذره ای است که ازابر جدا می شود و به زمین می پیوندد .

حال برای محاسبه نرخ افزایش جرم از شرط استفاده می کنیم .یعنی v<V(r)

که vسرعت ذرات ابر و V(r)سرعت فرار از سطح زمین در فاصله rاز مرکز زمین است . با توجه به معادله 4 پست 18 داریم :

v<sqrt(2GM/r)

r<2GM/v^2

یعنی اگر سرعت هر ذره v باشه فاصله اش از زمین باید کمتر از r باشه تا جذب بشه .

خوب حالا یک استوانه داریم باشعاع r و طول v.Δt . پس جرم داخل استوانه میشه ΔM=π.r^2.v.Δt.m.n

که mجرم هر ذره و n چگالی عددی ذرات هست . کاملا مشخصهست که اگر n زیاد باشد یعنی تعداد شهابواره ها دریک حجم مشخص زیاد است ودر نتیجه نرخ جرمی که توسط زمین جذب میشه (ΔM/Δt) هم افزایش پیدا می کنه . حالا عبارتها رو داخل هم قرار بدید و ساده کنید .

[Astronomy]

سوالی داشتم:

اگر به جای نیروی گرانش نیروی دافعه باشه چه بلایی سر مدار ها میاد؟

برای مثال فرض کنید زمین در حالی که داره به دور خورشید میچرخه یهو نیروی گرانش خورشید تبدیل به نیروی دافعه بشه

اونوقت حرکت زمین چطوری میشه؟

[shariatzadeh]

سوالی داشتم:

اگر به جای نیروی گرانش نیروی دافعه باشه چه بلایی سر مدار ها میاد؟

برای مثال فرض کنید زمین در حالی که داره به دور خورشید میچرخه یهو نیروی گرانش خورشید تبدیل به نیروی دافعه بشه

اونوقت حرکت زمین چطوری میشه؟

سوالتون دقیقا مثل حرکت دوتا پروتون نسبت به همه . نیروی بین دو پروتون که به هر دو بار مثبت دارند ، به شکل F=-ke^2/r^2 هست ، که e واحد بار الکتریکی است .
اما مدار در این حالت فقط می تواند به شکل هذلولی باشد . این مطلب را می توانین با استفاده از معادله 5 پست 12 مشاهده کنید . کافی است کاری که ما برای نیروی جاذبه عکس مجذوری انجام دهیم ، برای نیروی دافعه عکس مجذوری انجام دهید . آنوقت سمت چپ معادله 7 علامت منفی دارد و با حل معادله دیفرانسیل به معادله هذلولی در دستگاه قطبی می رسید .
ذره ای به جرم m و بار الکتریکی q را از نزدیک یک ذره سنگین با بار الکتریکی Q عبور می کند ، اثبات کنید معادله مسیر آن به شکل زیر است :




که در آن l تکانه زاویه ای و E انرژی مکانیکی ذره است .

[Astronomy]

سوالتون دقیقا مثل حرکت دوتا پروتون نسبت به همه . نیروی بین دو پروتون که به هر دو بار مثبت دارند ، به شکل F=-ke^2/r^2 هست ، که e واحد بار الکتریکی است .
اما مدار در این حالت فقط می تواند به شکل هذلولی باشد . این مطلب را می توانین با استفاده از معادله 5 پست 12 مشاهده کنید . کافی است کاری که ما برای نیروی جاذبه عکس مجذوری انجام دهیم ، برای نیروی دافعه عکس مجذوری انجام دهید . آنوقت سمت چپ معادله 7 علامت منفی دارد و با حل معادله دیفرانسیل به معادله هذلولی در دستگاه قطبی می رسید .
ذره ای به جرم m و بار الکتریکی q را از نزدیک یک ذره سنگین با بار الکتریکی Q عبور می کند ، اثبات کنید معادله مسیر آن به شکل زیر است :




که در آن l تکانه زاویه ای و E انرژی مکانیکی ذره است .

ممنون از پاسخ کاملتون

من برای خودم یک استدلال داشتم که انگار غلط هست! میشه بگید کجاش مشکل داره؟؟

و اما استدلال من:

برای مثال زمین رو میگیم که دور خورشید میگرده

2 تا بردار سرعت میتونیم براش رسم کنیم! 1- بردار سرعت شعاعی 2- بردار سرعت مماسی

حالا میایم برای وارد کردن نیرو دافعه به جای جاذبه بردار سرعت شعاعی رو قرینه میکنیم

میبینیم که برایندشون نشون میده داره از ما دور میشه و کاملا طبیعی هست

میدونیم که اندازه بردار سرعت شعاعی تابع فاصله هست، پس هرچی زمین دورتر بشه اندازه بردار سرعت شعاعی (البته قرینش) کمتر میشه!

و من این نتیجه رو میگیرم که زمین به صورت مارپیچی از خورشید دور میشه!!!

[پیمان اکبرنیا]

ممنون از پاسخ کاملتون

من برای خودم یک استدلال داشتم که انگار غلط هست! میشه بگید کجاش مشکل داره؟؟

و اما استدلال من:

برای مثال زمین رو میگیم که دور خورشید میگرده

2 تا بردار سرعت میتونیم براش رسم کنیم! 1- بردار سرعت شعاعی 2- بردار سرعت مماسی

حالا میایم برای وارد کردن نیرو دافعه به جای جاذبه بردار سرعت شعاعی رو قرینه میکنیم

میبینیم که برایندشون نشون میده داره از ما دور میشه و کاملا طبیعی هست

میدونیم که اندازه بردار سرعت شعاعی تابع فاصله هست، پس هرچی زمین دورتر بشه اندازه بردار سرعت شعاعی (البته قرینش) کمتر میشه!

و من این نتیجه رو میگیرم که زمین به صورت مارپیچی از خورشید دور میشه!!!

شما باید بردار نیروی وارده را بر عکس کنید نه بردار سرعت را بعد ببینید در اثر این نیروی معکوس، سرعت چه تغییری میکنه

[المپیاد نجوم]

تو رابطه ی انرژی به جای Qکا نوشته شده که در ادامه ی راه درست شده و تو رابطه ی خروج از مرکز هم یه دفعه توان منفی تو مخرج گذاشتم که باز هم در ادامه درست شده!

[celestial boy]

سلام
یه سوال مربوط به ھمین سوال.
گفتید مثه حرکت دوتا پروتون نزدیک به ھم.حالا اگه فرض کنیم دوتا پروتون کاملا یکسان در روی یک خط با سرعت مساوی به ھم نزدیک بشن و برھمکنش کنن حالا این مدار چه شکلیه؟؟ھمون ھذلولی؟؟ حالا سوال بعد.ھر پروتون یک مدار ھذلولی داره و دوتا مدار با ھم در دو جا تلاقی دارند.(دارند؟؟) چون فرض کردیم شبیه ھم ھستند پس کانون دوتا ھذلولی روی ھم و روی مرکز جرم دو ذره قرار داره.(درسته؟؟)
یه سوال دیگه:جھت حرکت این دوتا پروتون چه جوریه؟؟اگه مثلا ھر دوتا روی مدارشون پاد ساعتگرد بچرخن میشه گفت در ھر لحظه در دور ترین فاصله از ھم قرار می گیرن.(میشه گفت؟؟؟) در این حالت چه بلایی سر تکانه زاویه ای و پایستگیش میاد؟؟؟ ولی اگه یکی ساعت گرد بچرخه ولی دیگری نه دراین صورت برخورد خواهند داشت.(خواهند داشت؟؟؟)
حالا شاید درباره حرکت پروتون نشه صحبت کنیم.اما به صورت نظری واسه این طور نیرویی این اتفاق رخ میده؟؟؟
ببخشید اگه بی ربط بود با تاپیک...