مکانیک مداری

[پیمان اکبرنیا]

سلام دوستان

این تاپیک را ایجاد کردم تا در اون به بررسی معادلات حرکت اجسام در اثر نیروی جاذبه بپردازم. اینجا مکانی است که در اون، سرعت، شتاب، نیرو و روابط و معادلات دینامیکی و سینماتیکی اجسام در مدارهایشان را بررسی خواهیم کرد. این مدارها هم همگی مقاطع مخروطی هستند.

در این تاپیک به بررسی هندسی مدارها نمی پردازیم، هندسه و معادلات هندسی مدارها و مقاطع مخروطی در دستگاههای مختصات را میتونید در تاپیک مقاطع مخروطی از همین تالار دنبال کنید.

برای دنبال کردن مباحث این تاپیک نیاز دارید تا با مبانی مکانیک نیوتونی از جمله مفاهیم سینماتیک و دینامیک یک و دو بعدی، آشنایی داشته باشید. مباحث پیش نیاز، به صورت ساده در فیزیک 2 دبیرستان و به صورت پیشرفته تر در کتابهای فیزیک پایه دانشگاهی مثل فیزیک پایه هالیدی(جلد 1)موجود است!



از دوستان خواهش می کنم قبل از خواندن پست مورد نظر ، پست های قبلی را نیز مرور بفرمایند . چون هر مطلب پیش نیاز مطالب بعدی است .

لیست برخی از مطالب مهم و آموزشی این تاپیک به همراه لینک به مطلب:
مفاهیم پایه حرکت دایره ای ، تعریف سرعت زاویه ای ، روابط سرعت زاویه ای و شتاب و نیروی مرکز گرا ، حرکت تحت نیروی گرانش ، انرژی مدار ، سرعت شعاعی و مماسی ، مداری دایروی ، حرکت تحت نیروی گرانش خطی ، مدار بیضی ، مدار سهمی ، مدار هذلولی ، مدت زمان گذشته از حضیض ، آنومالی خروج از مرکزی ، آنومالی میانگین و معادله زمانی کپلر ، حل مساله از معادله کپلر ، معادله زمانی مدارهای سهمی

[shariatzadeh]

آنومالی خروج از مرکزی(Eccentric Anomaly)زاویه ای کمکی است که به وسیله دایره کمکی در بیضی تعریف می شود.
دایره کمکی ، دایره ای است که بر بیضی مماس بوده و شعاع آن برابر با نیم قطر اطول مدار بیضی است .
به شکل زیر توجه کنید :



در شکل بالا F کانون بیضی ،O مرکز بیضی و θ آنومالی واقعی بیضی است .
همانطور که در شکل بالا نیز نشان داده شده است ، برای محاسبه آنومالی خروج از مرکزی از مکان جسم در مدار خطی به محور اصلی عمود می کنیم(خط SV) و سپس خط را در خلاف جهت ادامه می دهیم تا دایره کمکی را در نقطه Q قطع کند . حال زاویه ای که خط OQ با محور اصلی می سازد را آنومالی خروج از مرکزی می نامیم و آن را با (E) نشان می دهیم .حال با توجه به شکل می توانیم روابط زیر را نتیجه بگیریم :

(1)

و درنهایت :

(2)

می توانیم با استفاده از معادله بالا نتایج زیر را بگیریم :

(3)
حال با توجه به اتحاد زیر

(4)

و معادلات (3) نتیجه زیر به دست می آید:

(5)

حال معادله (2) را به صورت زیر بازنویسی می کنیم :

(6)

و با توجه به معادله قطبی بیضی داریم :
(7)

در ادامه کاربرد آنومالی خروج از مرکزی در محاسبه زمان را نشان خواهیم داد .

[shariatzadeh]

از تعریف حرکت زاویه ای میانگین ω=2π/T چنین بر می آید که حاصلضرب ωt نمایشگر زاویه پیموده شده در مدت t توسط یک بردار شعاعی است که با سرعت زاویه ای ثابت حول مرکز نیرو می چرخد.کمیت ωt را با عنوان آنومالی میانگین تعریف می کنیم و با M نشان می دهیم .

(1)

در اینجا می خواهیم معادله ای را به دست بیاوریم که آنومالی خروج از مرکزی را به آنومالی میانگین مربوط سازد . با محاسبه آنومالی میانگین و معادله 1 آنگاه مجهول مسئله یعنی زمان به دست می آید.
برای شروع از معادله شماره 4 پست 12 شروع می کنیم :

(2)

حال باید در معادله بالا dθ را به dE تبدیل کنیم و سپس از آن انتگرال بگیریم .
برای این کار به صورت زیر عمل می کنیم :

(3)

همچنین با استفاده از معادله 5 پست 21 داریم :

(4)

و در نهایت با جایگذاری dθ از معادله بالا در معادله 2 به نتیجه زیر میرسیم :

(5)

معادله بالا را معادله زمانی کپلر می گویند .

[shariatzadeh]

نمیدونم چرا احساس می کنم این چندتا پست قبلی سخت بوده و کسی خیلی سردر نیاورده ، هیچ کسی هم که سوال نمیکنه. اصلا این مطالب رو کسی می خونه ؟؟؟؟؟؟؟؟

اما حالا جدا از این ابهاماتی که برام پیش اومده می خوام یه مثال از مطالبی کهگفته شده حل کنم :

مثال : ماهواره ای دارای ارتفاع حضیض 500 کیلومتر و ارتفاع اوج 5000 کیلومتر است . همچنین محور اصلی مدار این ماهواره در راستای خط واصل زمین –خورشید و نقطه اوج آن به سمت خورشید قرار دارد .

مدت زمانی راکه ماهواره درون سایه زمین قرار دارد محاسبه کنید ؟

حل :

ابتدا با توجه به داده های مسئله خروج از مرکز، نیم قطر اطول و دوره تناوب مدار را به دست می آوریم . توجه داشته باشید که مقدار های داده شده نشان دهنده ارتفاع ماهواره است و ما باید این مقادیر را با شعاع زمین (6378کیلومتر) جمع کنیم . هم چنین در معادله سوم مقدار μ برای زمین 398600 (km3/s2) قرار داده شده است .

با توجه به شکل داریم :

همانطور که مشاهده کردید با ترکیب معادله اول و معادله دوم یک معادله مثلثاتی نوع اول به دست آمد که دو جواب دارد ، یکی از جواب ها مربوط به نقطه b (که مورد نیاز ما است) و دیگری مربوط به نقطه c است .

حال مقدار آنومالی خروج از مرکزی و آنومالی میانگین را به ترتیب از معادله 5پست21 و معادله 5 پست 22 به دست می آوریم :

درنهایت از معادله 1 پست 22 مدت زمان بین نقطه حضیض و نقطه b (tb)به دست می آید باید دقت کنیم که مدت زمانی که ماهواره در سایه زمین قرار دارد دو برابر tbاست :

دیدین چقدر آسون بود !!!

حالا شما اگر دوست داشتید این سوال رو برای حالتی حل کنید که حضیض مدار به سمت خورشید قرار داره و نشون بدین که جواب میشه 2716 ثانیه .

[mosayeb7141]

سلام
چرا همیشه یک طرف ماه رو به زمین قرار دارد؟ آیا ماه دور خودش می چرخد؟
می بخشید از پاسخ قبلی قانع نشدم.
شما گفتید که اگه ماه دور خودش نچرخد همه قسمتهای ماه از روی زمین قابل مشاهده است. آیا "ثبوت نقطه ای رو به روی زمین" به علت خمش مسیر حرکت ماه به واسطه جاذبه زمین نیست؟
اگه به صورت قوانین حرکت مداری برام توضیح بدید ممنوم میشم.

[fateme.kokabi]

در جواب اينكه چرا ما فقط يك روي ما رو ميبينيم بايد بگم
چون مدت زمان گردش ماه به دور خودش برابر با مدت زمان گردشش به دور زمين براي همين ما فقط يك روي ماه رو ميبينيم

[shariatzadeh]

سلام
چرا همیشه یک طرف ماه رو به زمین قرار دارد؟ آیا ماه دور خودش می چرخد؟
می بخشید از پاسخ قبلی قانع نشدم.
شما گفتید که اگه ماه دور خودش نچرخد همه قسمتهای ماه از روی زمین قابل مشاهده است. آیا "ثبوت نقطه ای رو به روی زمین" به علت خمش مسیر حرکت ماه به واسطه جاذبه زمین نیست؟
اگه به صورت قوانین حرکت مداری برام توضیح بدید ممنوم میشم.

سلام دوست عزیز

ماه به دور خودش می چرخد ودوره تناوب این چرخش برابر با دوره تناوب چرخش ماه به دور زمین هست .

در مدت زمان Δt مقدار چرخش ماه به دور خودش برابر است با :

Δθ=(2π/T)*Δt

که T مدت زمان یک دور چرخش ماه به دورخودش است .

همچنین فرضکنید مدار ماه به دور زمین دایروی باشد . مقدار چرخش ماه به دور زمین در همان مدتزمان Δt برابر است با :

Δα=(2π/P)*Δt

که Pمدت زمان یک دور چرخش ماه به دور زمین است که چون P=T پس Δθ= Δα .

به شکل زیر نگاه کنید که حرکت شاخصی روی ماه را در این مدتزمان نشان داده است :

البته به دلیل بیضی بودن مدار ماه و حرکت غیر یکنواخت آن بهدور زمین ، گاهی سرعت زاویه ای آن از سرعت زاویه ای وضعی آن بیشتر می شود و گاهیکمتر ، این باعث می شود که ناظر زمین کسری از پشت ماه (سمت چپ و راست ماه) را نیزببیند . همچنین به دلیل هم صفحه نبودن مدار ماه با صفحه دایره البروج مقداری ازپایین و بالای ماه نیز دیده می شود .به شکل زیر نگاه کنید :

[المپیاد نجوم]

آقای شریعت زاده من 2 تا اشکال دارم.
1.چرا تو نیروی عکس فاصله حق نداریم مبدا پتانسیل رو تو بی نهایت بگیریم؟و باید چی بذاریم مبدا رو؟
2.تو مدار هذلولی شما یه قسمتی یه دلتا نوشتین که من اصلا نفهمیدم چیه وچه کاربردی داره؟میشه لطفا یه خرده توضیح بدین؟
ممنون!

[shariatzadeh]

آقای شریعت زاده من 2 تا اشکال دارم.
1.چرا تو نیروی عکس فاصله حق نداریم مبدا پتانسیل رو تو بی نهایت بگیریم؟و باید چی بذاریم مبدا رو؟
2.تو مدار هذلولی شما یه قسمتی یه دلتا نوشتین که من اصلا نفهمیدم چیه وچه کاربردی داره؟میشه لطفا یه خرده توضیح بدین؟
ممنون!

1- برای محاسبه پتانسیل ما باید یک مبدا انتخاب کنیم و مقدار پتانسیل توی اون نقطه کاملا دلخواه است . به صورت کلی برای هر تابع نیروی پایستار F(r) تابع انرژی پتانسیل رو میتونیم از رابطه زیر بدست بیاریم :



که r0 مبدا پتانسیل است و U(r0) هم مقدار پتانسیل در نقطه r0 . که اگر به جای r0 بینهایت را به عنوان مبدا انتخاب کنیم داریم :




حالا برای نیروی F(r)=K/r از معادله بالا داریم :



خوب همون طور که می بینید سمت راست معادله بالا جمله ای داریم که از بینهایت ، لوگاریتم میگیره و علامتش منفی هست پس سمت راست معادله مستقل از مقدار r میشه منفی بینهایت در حالی که برای سمت چپ معادله ما باید یک مقدار داشته باشیم در واقع مشکل اینجا به وجود میاد و باید درستش کنیم. برای همین بهتره که مبدا پتانسیل رو یک جای دیگه بزاریم مثلا توی فاصله 1 از مرکز بگیریم و مقدارش رو هم صفر بزاریم اون وقت داریم :



دقت داشته باشید که مبدا پتانسیل رو توی این نیرو در مرکز نیرو (در فاصله صفر) هم نمیتونیم بگیریم ، چون لوگاریتم صفر تعریف نشده هست .
بسیاری از نیرو ها هستند که مارو با چنین مشکلاتی رو به رو می کنند برای همین انتخاب یک مبدا پتانسیل در چنین مسئله هایی خیلی مهمه .

2- دلتا برابر با نیم قطر کوچک هذلولی هست . توی بعضی مسئله ها راحت تره که این مقدار رو اندازه بگیریم . همون طور که توی شکل هم نشان دادم دلتا فاصله بین مجانب هذلولی و خطی موازی مجانب هست که از مرکز نیرو عبور می کنه .

[المپیاد نجوم]

و یک سوال دیگه اگه عناصر مداری برداری نبود و می خواستیم طول فصل رو پیدا کنیم برای نوشتن معادله کپلر و... احتیاج به تتا داریم دیگه نه؟حالا بدون برداری بودن مساله چه طوری تتا رو پیدا کنم؟مثل سوال 173 مجموعه سوال های آقای چرتاب سلطانی!!!

[shariatzadeh]

و یک سوال دیگه اگه عناصر مداری برداری نبود و می خواستیم طول فصل رو پیدا کنیم برای نوشتن معادله کپلر و... احتیاج به تتا داریم دیگه نه؟حالا بدون برداری بودن مساله چه طوری تتا رو پیدا کنم؟مثل سوال 173 مجموعه سوال های آقای چرتاب سلطانی!!!

طبق تعریف ، فصل بهار وقتی شروع میشه که طول سماوی خورشید 0 درجه باشه ، فصل تابستان وقتی شروع میشه که طول سماوی خورشید 90 درجه باشه ، فصل پاییز وقتی که طول سماوی خورشید 180 درجه باشه و فصل زمستان وقتی شروع میشه که طول سماوی خورشید 270 درجه باشه .
حالا ما می خواهیم برای یک سیاره طول فصل زمستان رو حساب کنیم . یعنی از وقتی که طول سماوی خورشید میشه 270 درجه تا وقتی که طول سماوی خورشید میشه 0 درجه .

یه نکته ای که هست اینه که سوال هایی از این قبیل که پارامترهای مداری توش وارد میشه رو باید از راه برداری رفت و تمام بردار ها رو هم دردستگاه مختصات ECEF نوشت .

(دوستان برای آشنایی با عناصر مدار و محاسبات مربوطه به پست زیر مراجعه بفرمایید :

http://forum.avastarco.com/forum/sho...ll=1#post26238 )

خوب طول سماوی خورشید یعنی زاویه ای که خورشید از دید سیاره با نقطه اول حمل می سازه . به عبارتی زاویه بردار مکان جسم و محور X که به سمت نقطه اعتدال بهاری هست .حالا بردار مکان جسم رو بر حسب تتا داریم ، چون تمام عناصر مداری رو سوال داده .

برای ابتدای فصل زمستان باید زاویه خورشید و اعتدال بهاری 90 درجه باشه . در واقع بردار مکان جسم ما باید در صفحه Y-Z قرار داشته باشه و مولفه X اش صفر باشه . از اینجا دو تا جواب برای تتا بدست میاد که یکی اول زمستان هست و دیگری اول تابستون . باید با توجه به داده های مسئله جواب درست رو انتخاب کنیم .
برای انتهای فصل زمستان یعنی ابتدای فصل بهار باید خورشید و اعتدال بهاری در یک راستا باشن . دراینجا بردار مکان جسم ما مولفه Y ندارد و باز هم مثل بالا دو تتا بدست می آوریم که یکی از آنها مورد قبول است .

در نهایت با استفاده از معادله کپلر مدت زمان بین این دو تتا را محاسبه می کنیم .

اگه دوست داشتید می تونید سوال زیر رو حل کنید و راه حلش رو اینجا بزارید . (سوال 173 مجموعه سوال های آقای چرتاب سلطانی):

سیاره ای با طول حضیض 100 درجه و میل مداری 20 درجه و خروج از مرکز 0.5 در نظر بگیرید . اگر طول گره صعودی این سیاره 30 درجه و نیم قطر بزرگ آن 3 واحد نجومی باشد ، طول فصل زمستان در این سیاره چقدر است ؟