نوشته اصلی توسط
Astronomy
مرسی! مشغول درس دیگه
حالا اگه میشه اینکه (b^2 = a^2 ( e^2 -1 رو هم بگی ممنون میشم
کلا از پایه بدون هیچ فرض خاصی و دونستن فرمول خاصی میخوام اثبات بشه!
خوب اول یه عکس تا بدونیم داریم چی کار می کنیم ... :
خب اول یه سری از طول ها رو از رو شکل تعریف می کنیم :
A1 تا A2 برابره با 2a و F1 تا F2 برابر با 2c . (هنوز b رو به صورت هندسی تعریف نکردیم ! )
می دونیم که اگه معادله ی دکارتی هذلولی رو بزنیم تو سرش ، میشه این (البته مثبت و منفیش) :
b = y * رادیکال ( (x/a)^2 -1) )
حالا اگه x رو به بی نهایت میل بدیم ، معادله ی خطوط مجانب به دست میاد. که هست :
y = b/a * x (باز هم مثبت و منفی ! )
خب از رو شکل مشخصه که این خط در مکانی که x=a است ، مقدار y اش برابره با b. پس با تقارن یه تعریف هندسی هم برای b پیدا کردیم :
B1 تا B2 برابره با 2b.
حالا اون وسط اگه دقت کنید یه مثلث قائم الزاویه داریم که یه ضلعش a دیگری b و وترش یه مقداریه که میدونیم هست رادیکال a^2 + b^2 . اما هنوز نمی دونیم که این مقدار برابر با c هست یا نه.
خروج از مرکز رو همیشه این جوری تعریف می کنیم :
e = c/a
بنابراین فاصله ی مرکز مختصات و هر کانون میشه ae .
همین طور اثبات معادله هذلولی توی کتاب هندسه تحلیلی رو نگاه کنید ، اومده b رو به صورت جبری این تعریف کرده :
a = b * رادیکال (e^2 -1)
حالا این رابطه رو بذارید توی اون فیثاغورسه (آ به توان 2 + ب به توان 2 ...) . اون اندازه هه به دست میاد ae. که توی دو تا پارگراف قبل گفتیم میشه فاصله ی بین مرکز مختصات و کانون.
توی شکل رو هم اگه دقت کنید ، می بینید ، به شعاع c اگه از مرکز مختصات کمانی زده بشه ، دقیقا بر روی قطر مستطیل ، محانب ها رو قطع می کنه.
خلاصه این که : a^2 + b^2 = c^2 .
هرجاش مشکلی بود بگو.