طرح مسائل المپيادي

[mehrjoo]

سلام به همه اعضا گرامي
در اين تاپيك قصد داريم با طرح سوالات المپيادي ، قوه تحليل داده و محاسبات علاقمندان به شركت در المپياد رو يك محكي بزنيم.
به اين ترتيب كه سوالاتي در حد مرحله اول يا دوم المپياد مطرح ميشه و اعضا بايد اون مسائل رو حل كنند يا براي حلش ايده بدهند .
پس از يك يا دو هفته اگر جواب درست داده نشد ، راه حل مسئله اعلام خواهد شد .
ضمنآ از ساير مديران فروم و مدرسان المپياد هم دعوت مي كنم كه در طرح سوالات در تاپيك همكاري كنند .

---------------------------------------------------------

خب به عنوان اولين سوال ، يه مسئله جالب در حيطه نجوم كروي مطرح میکنم تا روی اون فکر کنید و براي حلش ايده بديد :

فرض کنید دوست خوبم آقای مصطفی امام مدیر سایت آوا برای تعطیلات آخر هفته یه تریپ به جزایر قناری رفته و نیمه شب در حالی که برای عکاسی در نزدیکی ساحل به سر می برند تصمیم میگیرند که گودالی به قطر 50 متر و عمق 1 کیلومتر حفر کنند و از ته گودال آسمان را رصد کنند. با فرض یکسان پراکنده بودن ستارگان در آسمان، آقا مصطفی چند درصد از کل آسمان را می تواند مشاهده کند؟

[یزدان بابازاده]

کاملا درست است!
از حل معادلات شکست هم می شود به این نتیجه رسید که من به دوستان علاقه مند توصیه می کنم این کار را بکنند تا بیشتر با معادلات شکست آشنا شوند.

[smhm]

یک سؤال هم بنده طرح می کنم البته برخلاف سوالات المپیادی که چندان کاربردی نیست این سوال یه کم کاربردیه.

دیواری را فرض کنید که در امتداد شمال-جنوب و قائم بر زمین کشیده شده است. از لحاظ دینی، زمانی که سایه دیوار محو می شود لحظه اذان ظهر است و زمانی که سایه دیوار به اندازه خود دیوار می شود زمان نماز عصر است.
حال باتوجه به داده های رصدی زیر، زمان اذان عصر را تعیین کنید:

ساعت ...... سمت خورشید ..... ارتفاع خورشید
14:00 ........... 31.4 .................. 30.2
14:10 .......... 33.8 .................. 29.1
14:20 ......... 36.1 ................... 27.9
14:30 ......... 38.2 .................. 26.6
(زاویه سمت از جنوب به سمت غرب اندازه گیری شده)

[یزدان بابازاده]

سلام smhm عزيز . چند نكته درباره ي سوالتان:
1- زمان اذان ظهر ديوار باز هم سايه دارد چون خورشيد ميل دارد مگر اينكه دقيقا در نقطه ي سرسو اذان ظهر گفته شود
2- تا آنجا كه من مي دانم اذان عصر را زماني مي گويند كه شفق در حال تمام شدن است و آسمان رو به تاريكي كامل مي رود و در آن زمان نيز ديوار سايه اي ندارد.
3-و نكته ي ديگر اينكه منظورتان از اينكه سايه به اندازه ي خود ديوار مي شود منظور ارتفاع ، عرض ، طول يا ... كجاي ديوار است؟
لطفا اطلاعات يا راهنمايي هاي لازم را ارائه نماييد .
با تشكر!

[یزدان بابازاده]

می دانیم شکست جو فقط بر ارتفاع تأثیر داره و بر سمت تأثیر نداره.
پس نتیجه می گیریم که خط واصل بین قطب شمال سماوی تا ستاره (خط px) که تعیین کننده میل ستاره است باید موازی با افق باشد تا شکست جو بر آن تأثیر نداشته باشد.

فایل پیوست 3154

فكر مي كنم درست تر اينست كه بگوييم :
خط واصل سرسو به ستاره موازي استواي سماوي باشد كه در نتيجه ي آن زاويه ي اتا (سرسو-ستاره-قطب سماوي) 90 درجه مي شود و سمت هم بيشينه.

[یزدان بابازاده]

خب دوستان تا اصلاحات سوال قبلی صورت بگیره برای بیکار نموندن این تاپیک یه سوال می ذارم:
روی یک کاغذ یک دستگاه مختصات به مرکزیت محل برخورد نصف النهار ناظر و استوای سماوی بکشید بگونه ای که محور y نصف النهار ناظر و محور x استوای سماوی باشد. حال محل خورشید در ساعت 12 ظهر به وقت محلی در روز های متوالی را اگر روی این دستگاه مختصات بکشیم و نقاط را به هم وصل کنیم شکل نهایی چه می شود (حدس زدن ممنوع فقط اثبات!!D:!!)

[smhm]

سلام smhm عزيز . چند نكته درباره ي سوالتان:
1- زمان اذان ظهر ديوار باز هم سايه دارد چون خورشيد ميل دارد مگر اينكه دقيقا در نقطه ي سرسو اذان ظهر گفته شود
2- تا آنجا كه من مي دانم اذان عصر را زماني مي گويند كه شفق در حال تمام شدن است و آسمان رو به تاريكي كامل مي رود و در آن زمان نيز ديوار سايه اي ندارد.
3-و نكته ي ديگر اينكه منظورتان از اينكه سايه به اندازه ي خود ديوار مي شود منظور ارتفاع ، عرض ، طول يا ... كجاي ديوار است؟
لطفا اطلاعات يا راهنمايي هاي لازم را ارائه نماييد .
با تشكر!

1- سایه دیوار را با سایه شاخص اشتیاه نگیرید. سایه دیوار پهنایی است که لبه آن موازی با قاعده دیوار است و منظور از طول سایه، فاصله این دو خط است. نمیدونم متوجه شدید یا نه.
زمان ظهر هم چون خورشید در سمت جنوب قرار می گیرد، سایه دیوار روی خود دیوار می افتد و لذا سایه دیوار محو می شود. این مسئله در همه جا و همه روز صادق است.
2- موقعی که شفق تمام می شود زمان نماز عشاء است نه عصر!
3- همانطور که گفتم منظور سایه لبه دیوار است نه ارتفاع دیوار. یعنی شما فرض کنید دیوار تا قطب شمال و جنوب کشیده شده و نمی تونید سایه انتهای دیوار را ببینید بلکه فقط می تونید سایه لبه دیوار را ببینید. و اندازه سایه، فاصله خط سایه تا خط پای دیوار است.

[یزدان بابازاده]

1- سایه دیوار را با سایه شاخص اشتیاه نگیرید. سایه دیوار پهنایی است که لبه آن موازی با قاعده دیوار است و منظور از طول سایه، فاصله این دو خط است. نمیدونم متوجه شدید یا نه.
زمان ظهر هم چون خورشید در سمت جنوب قرار می گیرد، سایه دیوار روی خود دیوار می افتد و لذا سایه دیوار محو می شود. این مسئله در همه جا و همه روز صادق است.
2- موقعی که شفق تمام می شود زمان نماز عشاء است نه عصر!
3- همانطور که گفتم منظور سایه لبه دیوار است نه ارتفاع دیوار. یعنی شما فرض کنید دیوار تا قطب شمال و جنوب کشیده شده و نمی تونید سایه انتهای دیوار را ببینید بلکه فقط می تونید سایه لبه دیوار را ببینید. و اندازه سایه، فاصله خط سایه تا خط پای دیوار است.

سلام
مرسی از توضیحتان
1- بخش 1 رو گرفتم
2- مگه نماز عصر زمان داره ؟؟!
3- بخش 3 رو هم گرفتم

[یزدان بابازاده]

خب بخشی از راه حل سوالی که smhm عزیز طرح کرده اند رو ارائه می کنم و بقیه ش رو هم به بقیه دوستان می سپرم تا بقیه هم بتنوانند روی سوال فکر کنند.
این بخش از راه حلی که ارائه می کنم به عنوان راهنمایی است پس اگه کسی می خواد خودش سوالو حل کنه این پست رو اصلا نخونه!!
: خب اول از همه در شکل های زیر منظور از a ارتفاع خورشید ، l طول هر پرتوی سایه ، A سمتی هست که smhm قرار داد کردند ، x هم فاصله ی لبه ی سایه تا دیوار و h ارتفاع دیوار است .
درباره ی شکل 1 : هر پرتوی خورشید پس از برخورد با لبه ی دیوار سایه ای ایجاد می کند .

شکل 2: طول پرتوی سایه به دلیل زاویه داشتن خورشید که این جا A-90 است فاصله اش با لبه ی دیوار تغییر می کند .

که در نهایت رابطه ی فاصله ی سایه با دیوار این گونه به سمت و ارتفاع خورشید مربوط می شود :
x=h.cot a.sin a
بقیه اش هم که می شه چند تا جاگذاری ساده و البته برای بدست آوردن زمان باید ارتفاع و سمت را به راویه ساعتی و آنرا به ساعت تبدیل کنید!

[smhm]

درسته.
اگر ارتفاع دیوار را یک واحد در نظر بگیریم طول سایه دیوار برابر cot h. sinA می باشد. (همان فرمولی که جناب man بدست آوردند.)
حال باید طول سایه برابر با ارتفاع دیوار بشه. یعنی cot h.sinA=1

این مقدار را در جدول داده ها بررسی می کنیم:

cot h.sinA ........ h ........... A ......... time
14:00 ...... 31.4 ..... 30.2 ..... 8952/0
14:10 ..... 33.8 ..... 29.1 ..... 9995/0
14:20 ..... 36.1 .... 27.9 ..... 1.1128
14:30 .... 38.2 ..... 26.6 ..... 1.2349

همانطور که در جدول مشخص است مقدار طول سایه در ساعت 14:10 بسیار به یک نزدیک است و این همان وقت فضیلت نماز عصر است.

[smhm]

جالبه بدونید: دیوار مسجد النبی(ص) در مدینه بدستور پیامبر(ص) بهمین صورت ساخته شد و وقت ظهر و عصر از روی همین دیوار تعیین می شد.
این مسئله بعدها انگیزه ای شد برای یک دانشمند ریاضیدان بنام ابوالوفای بوزجانی. تحقیقات او بر روی تأثیر ارتفاع خورشید و طول سایه منجر به کشف نسبتهای مثلثاتی از جمله ظل (تانژانت) و جیب (سینوس) شد.
بعدها وقتی کتابهای دانشمندان اسلامی در اروپا ترجمه می شد کلمه «جِیب» را به اشتباه «جَیب» با فتحه به معنی گریبان خواندند و برای معادل آن واژه سینوس به معنی گریبان را در نظر گرفتند!