ریاضی محض!

[Ehsan]

اصولا تقارن در طبیعت زیاد رخ میده!
به همین دلیل تصمیم گرفتم همزاد ِ فیزیک ِ محض رو ایجاد کنم: ریاضی محض!
اگر مبحث ِ ریاضی خاصی دارید که هیچ ربطی به نجوم و فیزیک نداره اون رو اینجا قرار بدید!

[smhm]

2)می خواهیم ریشه های معادله x^2+x+1=0 را بدست آوریم :

چون صفر ریشه معادله نیست پس از x فاکتور می گیریم : x(x+1+1/x)=0

پس: x+1+1/x=0

x+1=-1/x

اکنون تساوی اخیر را در معادله جایگزین می کنیم : x^2-1/x=0

x^2=1/x

x^3=1

x=1

اما اگر دلتای معادله را بدست آوریم منفی میشود !!!
این اشکالش کجاس؟

فرض اینکه x^2+x+1=0 باطل است. (چون این معادله اصلا جواب نداره.)
پس چون فرض مسأله باطل است، نتایج آن هم باطل می باشد.

[Ehsan]

به نظر من اشکالش می تونه در همون جایی باشه که نوشته شده : x + 1 = - 1 / x

دلیل : اگر x را یک عدد مثبت فرض کنیم ، طرف چپ یک عدد مثبت می شود ولی حاصل طرف راست ، به دلیل وجود علامت منفی ، یک عدد منفی می شود ؛

همین طور اگر x را یک عدد منفی در نظر بگیریم طرف چپ یک عدد منفی می شود ، ولی حاصل طرف راست ، به دلیل وجود علامت منفی در پشت آن ، یک عدد مثبت می شود ( منفی در منفی ، مثبت می شود )


نتیجه کل : یک عدد منفی نمی تواند با یک عدد مثبت مساوی شود ، در نتیجه تساوی برقرار نیست !!

اگر عدد مختلط باشه ، منفی و مثبت بودن مشکلی ایجاد نمی کنه (در کل نمی شه دو تا عدد ِ مختلط رو با هم مقایسه کرد مگر اندازه هاشون!)

فرض اینکه x^2+x+1=0 باطل است. (چون این معادله اصلا جواب نداره.)
پس چون فرض مسأله باطل است، نتایج آن هم باطل می باشد.

منفی بودن ِ دلتا برای ِ معادله ی ِ درجه دو به معنی ِ جواب نداشتن نیست! این معادله جواب داره اما نه جواب ِ حقیقی! بلکه جواب ِ مختلط داره!

[Astronomy]

اگر عدد مختلط باشه ، منفی و مثبت بودن مشکلی ایجاد نمی کنه (در کل نمی شه دو تا عدد ِ مختلط رو با هم مقایسه کرد مگر اندازه هاشون!)



منفی بودن ِ دلتا برای ِ معادله ی ِ درجه دو به معنی ِ جواب نداشتن نیست! این معادله جواب داره اما نه جواب ِ حقیقی! بلکه جواب ِ مختلط داره!

مختلط یعنی چی؟

[sina asadi]

صورتی از اعداد هستند که دارای دو بعد هستند و دارای ضریب موهومی i هستند و مقدار i هم هست (-1)√ و چون اعداد منفی جذر ندارند موهومی نامیده میشه و در خصوص اثبات این مقدار کار ساده ایه از الحاظ مختصات نموداری اثبات میشه.یعنی هر عدد مختلط Z به صورت Z=a+ib تعریف میشود و... حرف برای گفتن بسیار است و فکر نکنم با امکانات ایت سایت برای نوشتن فرمول ها بشه خیلی توضیح داد.برای مطالعه ی اعداد مختلط می تونید از کتاب توابع مختلط نوشته ی محمود حصارکی استفاده کنید.کتاب های دیگه در سطح های بالا تر هم هستند ولی به دردت نمی خورن.

[Amin-Mehraji]

مختلط یعنی چی؟

اینجا اعداد مختلط رو به خوبی توضیح داده، همچنین توی کتاب ریاضی عمومی1 دکتر شیدفر فصل پنجم، کتاب ریاضیات مهندسی دکتر شیدفر فصل 3 ( از صفحه ی 149تا153) و کتاب ریاضیات مهندسی دکتر تومانیان ( از صفحه ی 277تا283 ) هم هست، هر کدومو گیر میارید می تونید بخونید

دیگه هیچ کدوم از اینا رم بهش دسترسی ندارید این جزوه ی 20 صفحه ای درباره ی اعداد مختلط رو دانلود کنید



---------------------
ی ت ( یک توصیه ) : دوستانی که پیش دانشگاهی هستند لطفا این جزوه رو دانلود کنن. پاتونو بذارید دانشگاه اولین حرفی که بهتون میگن ( تو رشته های مهندسی و علوم پایه ) همین بحث اعداد مختلط هستش.

[Ehsan]

یک نکته ی ِ جالب! به جای ِ این همه درد ِ سر برای ِ این ور و اون ور کردن ِ این معادلات این کار رو بکنید:

x^2+x+1=0
=>
(x-1)*(x^2+x+1)
=
طبق یکی از اون اتحادهای ِ اول ِ دبیرستان:
x^3-1=0
که همون نتیجه به دست میاد:
x^3=1

دیگه این ته ِ راه نمایی بود! با این چیزهایی که راجع به اعداد ِ مختلط مطرح شد و این حرفها باید دیگه جواب ِ نهایی رو بگید!

[smhm]

آقا مسئله که اینقدر پیچیدگی نداره.
(x-1)*(x^2+x+1) بله جواب داره و جوابش هم x=1 است.
اما x^2+x+1 جواب حقیقی نداره. (اگر هم بگویید جواب موهومی یا مختلط داره این ربطی به مسئله نداره چون عملیات ضرب و تقسیم معمولی برای اعداد مختلط صادق نیست. اون بحثش مربوط به ماتریس میشه.)
اشکال مسئله اینجاست که اول می خواستیم معادله را حل کنیم ببینیم جواب داره یا نه؟
بعد در حین حل معادله یکدفعه فرض گرفتیم که معادله جواب داره و x^2+x+1 را برابر صفر قرار دادیم و از نتیجه اون یعنی x+1=-x^2 در حل معادله استفاده کردیم.
اشکال کار همین جاست.

[Amin-Mehraji]

آقا مسئله که اینقدر پیچیدگی نداره.
(x-1)*(x^2+x+1) بله جواب داره و جوابش هم x=1 است.
اما x^2+x+1 جواب حقیقی نداره. (اگر هم بگویید جواب موهومی یا مختلط داره این ربطی به مسئله نداره چون عملیات ضرب و تقسیم معمولی برای اعداد مختلط صادق نیست. اون بحثش مربوط به ماتریس میشه.)
اشکال مسئله اینجاست که اول می خواستیم معادله را حل کنیم ببینیم جواب داره یا نه؟
بعد در حین حل معادله یکدفعه فرض گرفتیم که معادله جواب داره و x^2+x+1 را برابر صفر قرار دادیم و از نتیجه اون یعنی x+1=-x^2 در حل معادله استفاده کردیم.
اشکال کار همین جاست.

ببخشید اگه ممکنه این جمله تونو تشریح بفرمایید، ضرب و تقسیم معمولی یعنی چی؟ اتفاقا من 4ترمه دارم ضرب و تقسیم انجام میدم بدون ماتریس و اینا. درضمن به نظرم این جمله ی شما از اساس غلطه!!! چون اعداد مختلط نسبت به تمام اعمال ریاضی بسته هستند. اصلا فلسفه ی تشکیل دادن اعداد مختلط این بود که می خواستن یه مجموعه ای از اعداد باشه که نسبت به همه ی اعمال ریاضی بسته باشه!!!

-------------------------------------
احسان واقعا واقعا جواب رو گفت ها، اصلا فکر نمی کردم همچین راهنماییه ضایعی بکنه!!!

[smhm]

ببخشید اگه ممکنه این جمله تونو تشریح بفرمایید، ضرب و تقسیم معمولی یعنی چی؟ اتفاقا من 4ترمه دارم ضرب و تقسیم انجام میدم بدون ماتریس و اینا. درضمن به نظرم این جمله ی شما از اساس غلطه!!! چون اعداد مختلط نسبت به تمام اعمال ریاضی بسته هستند. اصلا فلسفه ی تشکیل دادن اعداد مختلط این بود که می خواستن یه مجموعه ای از اعداد باشه که نسبت به همه ی اعمال ریاضی بسته باشه!!!

تا اونجایی که اطلاع دارم یک عدد مختلط متناظر با یک بردار در صفحه موهومی است. پس ضرب و تقسیم اعداد مختلط هم باید مثل ضرب و تقسیم برداری باشه. یعنی مثلا ضرب دو عدد مختلط شامل دو نوع ضرب داخلی و خارجی است که هر کدوم تعریف خاصی داره و شباهتی با ضرب و تقسیم اعداد حقیقی (یا بقول بنده ضرب و تقسیم معمولی) نداره. (البته اگر اشتباه نکنم.)

[Amin-Mehraji]

تا اونجایی که اطلاع دارم یک عدد مختلط متناظر با یک بردار در صفحه موهومی است. پس ضرب و تقسیم اعداد مختلط هم باید مثل ضرب و تقسیم برداری باشه. یعنی مثلا ضرب دو عدد مختلط شامل دو نوع ضرب داخلی و خارجی است که هر کدوم تعریف خاصی داره و شباهتی با ضرب و تقسیم اعداد حقیقی (یا بقول بنده ضرب و تقسیم معمولی) نداره. (البته اگر اشتباه نکنم.)

خب بله! میشه تو یک دستگاه محورهای مختصات متعامدx'ox و y'oy که واحد هاش به ترتیب 1 و i هستند که به این صحفه، صفحه ی مختلط میگن عدد مختلط z=x+iy رو به صورت نقطه ی M(x,y در این صحفه نشون داد، و بصورت یک بردار OM هم نمایشش داد ولی باید بگم که ضرب اعداد مختلط هیچ فرقی با اعداد حقیقی نداره. برای مثال شما عدد 1 رو در نظر بگیرید. عدد1 ، عدد مختلطی هست که y=0 هست، برای همین کل قسمت موهومی 0 میشه، وقتی هم که روی صحفه می بریم و می خوایم با یه بردار نشونش بدیم، بردار رو از مبدا مختصات به سمت عدد 1 بر روی محور X میکشیم و میبینیم که روی محور y هیچ بعدی رو ایجاد نمیکنه ( بعدش روی محور y صفره ) . خب! وقتی شما مثلا می خواهید عدد 1 و عدد 2 رو ضرب کنید، اون هارو ضرب برداری می کنید؟ نـــــــــــــــــــــه ! ضرب نقطه ای می کنید!

*************
ولی حرفتون تو ذهن من یه جرقه ای زد!!! آیا میشه اعداد مختلط رو ضرب برداری کرد؟ شدنش که میشه، ولی حاصل این ضرب چیه؟ چه نتیجه ای از ضرب برداری اعداد مختلط به دست میاد؟ باید روش فکر کنم!!!