ریاضی محض!

[Ehsan]

اصولا تقارن در طبیعت زیاد رخ میده!
به همین دلیل تصمیم گرفتم همزاد ِ فیزیک ِ محض رو ایجاد کنم: ریاضی محض!
اگر مبحث ِ ریاضی خاصی دارید که هیچ ربطی به نجوم و فیزیک نداره اون رو اینجا قرار بدید!

[Arefe]

سلام.
دو وتر موازي از بيضي رسم ميكنم و وسط اين دو رو به هم وصل ميكنيم . وسط اين پاره خط مركز بيضي است . ( اين قضيه احتياج به اثبات داره؟)
بعد دهانه برگار رو به اندازه دلخواه باز ميكنيم واز مركز بيضي كمان ميزنيم به طوري كه بيضيمون رو در دو نقطه قطع كنه.از مركز بيضي به اين دو نقطه وصل ميكنيم تا يك زاويه حاده داشته باشيم . نيمساز اين زاويه را رسم ميكنيم( به وسيله پرگار )از مركز اگر اين نيمساز را امتداد بدهيم قطر بزرگ بيضي را كشيده ايم.
حالا از مركز پاره خطي عمود بر قطر بزرگ رسم ميكنيم تا قطر كوچك به دست آيد.
ميدانيم كه فاصله دو سر قطر كوچك بيضي از كانون ها برابر نيم قطر اطول است . پرگار را به اندازه نيم قطر بزرگ باز ميكنيم و از سر نيم قطر كوچك كمان ميزنيم به طوري كه قطر بزرگ را در دو نقطه قطع كند.
اين دو نقطه همان دو كانون بيضي هستند.
ببخشيد طولاني شد !!!

[mohsen4465]

مشکل اصلی پیدا کردن همون مماس هاس !
آقای امام بیشتر رو قسمت های دیگه ی راه من حساس شدن ولی راه من غلطه ! ( یعنی خودم حس میکنم اشتباهه ) چون باید برای رسم مماس به بیضی دایره ها خیلی خیلی کوچیک باشن ! که خوب از نظر هندسی منطقی نیست ! چون کسی تو هندسه نمیگه واسه رسم مماس یک دایره ی خیلی خیلی کوچک بکشید :]
استفاده از خط کش تی هم درست نیست وگرنه چه کاریه اصلا من میرفتم یه بیضی کش میخریدم به زور کانون هارو پیدا میکردم

درسته که از خط کش t استفاده کردم اما منظورم این نبود که از زاویه سنج نقاله اون استفاده کنیم. اصلاً تصور کنید که خط کش t من مدرج نیست. فقط باهاش میخوام خط موازی رسم کنم. بنوعی اینجا دارم از قوانین خطوط موازی استفاده میکنم. و در مورد خط مماس هم خب یک نقطه و یک بیضی فقط تو یک نقطه مشخص روی محیط بیضی مماس ایجاد میکنن. بنابراین فکر کنم ساده ترین راه برای رسم مماس همین باشه. درسته که در عمل کشیدن دقیقش بستگی به این داره که چقدر دقیق خطکشو بذارین اما در تئوری فقط یک نقطه براش وجود داره. کلاً از دو قانون خط مماس و خطوط موازی استفاده کردم.

تحلیل تئوریش اینطوریه که:

اگه خط قرمز راست موازی باشد با خط سبز چپ
و اگه خط قرمز بالا موازی باشد با خط سبز پایین
و اگه بیضی داخل این چهارضلعی بر روی هر ضلع چهارضلعی فقط در یک نقطه مشترک باشه

در این صورت نتیجه میدهد:

محل قطع قطرهای چهارضلعی = محل قرار داشتن مرکز بیضی

ضمناً باید دقت کنیم که هدف دقیق رسم کردن نیست بلکه هدف کنار هم چیدن قوانین برای رسیدن به قانون جدیده.

[Mostafa]

خب بریم سر پاسخ های دوستان

من یه روش از خودم کشف کردم که با کمک اون میشه مرکز بیضی رو پیدا کرد. با پیدا شدن مرکز باقی ماجرا بسادگی حل میشه (راه حل خانم تینا رو بخونین).

تنها بدی روش من اینه که خطکش T لازم داره که آقای امام تو صورت مسئله بهمون ندادن. اما خب ایرادی نداره خودمون میریم یکی میخریم!

روش کارم اینطوره که یه نقطه دلخواه خارج از بیضی انتخاب می‌کنیم. از این نقطه دوتا مماس رو بیضی رسم میکنیم (خطوط قرمز تو شکل). بعد با کمک خطکش T دوتا پاره موازی با این دوتا بطوری که بازهم مماس با بیضیمون باشن رسم می‌کنیم (خطوط سبز). خب حالا یه چهارضلعی داریم که بیضیمون توشه. حالا قطرهای چهارضلعیمون رو رسم میکنیم (خطوط آبی). مرکز بیضی بدست میاد. حالا فقط کافیه تا به همون روشی که تینا خانم گفتن کمان بزنیم و قطرهای بیضیمون رو بکشیم.

آقا محسن جان

دقیقآ نکته اینه که اون مماس ها رو از کجا پیدا کنیم ؟

درسته که در واقعیت از هر نقطه خارج از بیضی 2 تا مماس قابل رسم است ، اما نکته مهم پیدا کردن همون نقطه منحصر به فرد ( مماس ) روی محیط است

نمیشه بگیم چون یک نقطه هست پس با دقت زیاد ( به شکل چشمی و حدودی ) پیداش می کنیم

باید روش رسم ارائه بشه

[Mostafa]

سلام.
دو وتر موازي از بيضي رسم ميكنم و وسط اين دو رو به هم وصل ميكنيم . وسط اين پاره خط مركز بيضي است . ( اين قضيه احتياج به اثبات داره؟)
بعد دهانه برگار رو به اندازه دلخواه باز ميكنيم واز مركز بيضي كمان ميزنيم به طوري كه بيضيمون رو در دو نقطه قطع كنه.از مركز بيضي به اين دو نقطه وصل ميكنيم تا يك زاويه حاده داشته باشيم . نيمساز اين زاويه را رسم ميكنيم( به وسيله پرگار )از مركز اگر اين نيمساز را امتداد بدهيم قطر بزرگ بيضي را كشيده ايم.
حالا از مركز پاره خطي عمود بر قطر بزرگ رسم ميكنيم تا قطر كوچك به دست آيد.
ميدانيم كه فاصله دو سر قطر كوچك بيضي از كانون ها برابر نيم قطر اطول است . پرگار را به اندازه نيم قطر بزرگ باز ميكنيم و از سر نيم قطر كوچك كمان ميزنيم به طوري كه قطر بزرگ را در دو نقطه قطع كند.
اين دو نقطه همان دو كانون بيضي هستند.
ببخشيد طولاني شد !!!

سلام عارفه خانم
جمله ای که قرمز کردم ، قطعآ صحیح نیست
خیلی ساده ، اگر دو خط موازیمون هر دو یک طرف مرکز باشند ، مشخصه که وسط خط واصل میانه این دو ، مرکز بیضی نخواهد بود
وقتی هم فرض پیدا کردن مرکز بیضی صحیح نباشه ، طبیعتآ بقیه راه حل از درجه اعتبار ساقطه

[Arefe]

منظورم اين بود كه وتري كه با وصل كردن اين دو نقطه به هم به دست مياد، وسطش ميشه مركز بيضي
ميشه هم گفت كه امتداد وصل كردن وسط هاي دو وتر موازي از مركز بيضي رد ميشه حالا ميشه دو جفت وتر كشيد و محل تلاقي اون ها ميشه مركز بيضي
سعي ميكنم اثباتش رو بذارم

[mohsen4465]

خب بریم سر پاسخ های دوستان



آقا محسن جان

دقیقآ نکته اینه که اون مماس ها رو از کجا پیدا کنیم ؟

درسته که در واقعیت از هر نقطه خارج از بیضی 2 تا مماس قابل رسم است ، اما نکته مهم پیدا کردن همون نقطه منحصر به فرد ( مماس ) روی محیط است

نمیشه بگیم چون یک نقطه هست پس با دقت زیاد ( به شکل چشمی و حدودی ) پیداش می کنیم

باید روش رسم ارائه بشه

ضمناً باید دقت کنیم که هدف دقیق رسم کردن نیست بلکه هدف کنار هم چیدن قوانین برای رسیدن به قانون جدیده.

خب پس هدف دقیق رسم کردنه! خب ولی باز هم راه حل من بنظرم درست هستش ها آقای امام
درسته که اون نقطه رو نمیتونیم بطور دقیق روی محیط بیضی تشخیص بدیم اما اون خطوط مماس رو حتی اگه کمتر از 1mm بالا و پایین ببریم مشخص میشه که مماس نیست. چون اونوقت دو خط بجای اینکه روی هم بیافتن کنار هم میافتن و کلفتر میشن. راحتتر بخوام بگم مکان نقطه در امتداد خط مماس یکم ممکنه مجهول باشه اما در جهت دو پهلوی خط خطا بسیار کمه. اونقدر کم که اگه بخوایم اونو خطا فرض کنیم اونوقت حتی برای کشیدن یک خط بین دوتا نقطه هم باید وجود همون میزان خطا رو مدنظر قرار بدیم. ضمناً من برای رسیدن به مرکز دو راه داشتم. یکیش این بود که نقاط مماس مقابل هم رو به هم وصل کنم اما همونطور که گفتید پیدا کردن نقاط مماس با چشم سخته و دقیق نیست و برای همین اصلاً از روی نقاط مماس مرکز رو پیدا نکردم بلکه از قطرهای چهارضلعی استفاده کردم.

================================================== ===========
راه حل سوم (روش مهندسی معکوس مماس به نقطه! ):

حالا اگه باز قبول ندارید روش تینا خانم رو با روش خودم ترکیب میکنم. یعنی مماس ها رو با روش تینا خانم بدست میاریم (تبدیل خط سکانت به خط تانژانت) طوری که زاویه مناسبی داشته باشن تا در همون نزدیکی دو خط مماس با هم برخورد کنن و نقطه‌ای مثل نقطه A رو ایجاد کنن (مشابه همون شکل من). بعد باقی ماجرا به روش خودم با خط کش T رو ادامه میدیم.

[Mostafa]

حل شد

سلام.
دو وتر موازي از بيضي رسم ميكنم و وسط اين دو رو به هم وصل ميكنيم . وسط اين پاره خط مركز بيضي است . ( اين قضيه احتياج به اثبات داره؟)
بعد دهانه برگار رو به اندازه دلخواه باز ميكنيم واز مركز بيضي كمان ميزنيم به طوري كه بيضيمون رو در دو نقطه قطع كنه.از مركز بيضي به اين دو نقطه وصل ميكنيم تا يك زاويه حاده داشته باشيم . نيمساز اين زاويه را رسم ميكنيم( به وسيله پرگار )از مركز اگر اين نيمساز را امتداد بدهيم قطر بزرگ بيضي را كشيده ايم.
حالا از مركز پاره خطي عمود بر قطر بزرگ رسم ميكنيم تا قطر كوچك به دست آيد.
ميدانيم كه فاصله دو سر قطر كوچك بيضي از كانون ها برابر نيم قطر اطول است . پرگار را به اندازه نيم قطر بزرگ باز ميكنيم و از سر نيم قطر كوچك كمان ميزنيم به طوري كه قطر بزرگ را در دو نقطه قطع كند.
اين دو نقطه همان دو كانون بيضي هستند.
ببخشيد طولاني شد !!!

منظورم اين بود كه وتري كه با وصل كردن اين دو نقطه به هم به دست مياد، وسطش ميشه مركز بيضي
ميشه هم گفت كه امتداد وصل كردن وسط هاي دو وتر موازي از مركز بيضي رد ميشه حالا ميشه دو جفت وتر كشيد و محل تلاقي اون ها ميشه مركز بيضي
سعي ميكنم اثباتش رو بذارم

با تشکر از همه دوستانی که در پاسخ به این سوال شرکت کردند ، مخصوصآ تینا خانم که خیلی به پاسخ نزدیک شد و اگر هم فرصت بیشتری می داشت ، حتمآ حلش می کرد .
همچنین آقا محسن به دلیل روش مهندسیشون
اما پاسخ صحیح همینی است که خانم عارفه گفتند .
البته همونطور که قبلا گفتم ، یکی از دوستان ( آقای مهداد حقیقی ) زودتر از همه پاسخ رو ارائه کردند ، اما من به جهت مشارکت دوستان ، پاسخ ایشون رو نامرئی کرده بودم که الآن پاسخشون رو دوباره قابل مشاهده می کنم .

به هر حال ممنون از مشارکت دوستان
و ضمنآ هم به آقای حقیقی و هم خانم عارفه به دلیل پاسخ های درستشون ، جایزه داده میشه
( یک گرین لیزر که با پست براشون ارسال میشه )

همگی موفق باشید

[mohsen4465]

همینجا اعتراف می‌کنم که جواب سوال بسیار هوشمندانه بود. عمری حدس میزدم.

ولی می‌گم من به جواب خیلی نزدیک شده بودم ها. چون واسه کشیدن اون موازی‌ها خط کش T لازم داریم.

ضمناً منم جایزمو گرفتم. اونم همین قانون جالب خطوط موازی بود. یعنی یه چیز جدید یاد گرفتم.

[space]

خوب از اونجایی که روش آقا محسن خیلی به نظر درست میرسید تصمیم گرفتم که تستش کنم.
همه کارایی که آقا محسن گفتن انجام دادم.
اول یه نقطه کاملا دلخواه در صفحه و سپس از اون 2 مماس رسم کردم.(فکر نمیکنم مماس رسم کردن خیلی دقت بخواد!) بعدش موازی اونا 2 خظ دیگه که اجباراً به یه نقطه دیگر در فضا میرسن.(رسم این موازی ها بیشتر از روش رسم وتر موازی به خطکش تی نیاز داره؟) و در آخر وتر ها رسم شدن.
برای تست یه نقطه برخورد دو وتر رو مشخص کردم و از نرم افزار خواستم فاصله اون رو تا مرکز بیضی به من بده.که عدد صفر رو نشون داد.
حالا برای اطمینان نقطه ایی که اول داده بودم رو جابجا کردم و در همه حالات فاصله باز هم صفر بود.
نتیجه:از نظر من روش آقا محسن کاملا صحیح هستش و باید به ایشونم جایزه تعلق بگیره.
درسته که ایشون مماس رسم کردن ولی از نقطه تقاطع 2 مماس در اخر استفاده کردن که با دقت خیلی بالایی مشخص میشه.و ویژگی روش ایشون اینه که شما حتی مجبور نیستید وسط خطی رو با کمک خط کش بیابید!!!
در ادامه عکس قرار میدم براتون.



در کل قضیه مد نظر آقای امام هم خیلی جالب بود
و جالب ترین نکته این که همیشه یک راه حل ثابت وجود نداره و هرکس یه روش جدید میتونه ارایه بده

[Mostafa]

سلام آقا محمد
واقعآ خيلي ممنون به خاطر وقتي كه گذاشتي و اين كار نرم افزاري قشنگي كه كردي
شايد اصلا با اين روش بتونيم كارهاي آموزشي جدي تري رو انجام بديم
اما در مورد مسئله ، خدمتتون عارضم كه در هندسه ( و البته در تمام رياضيات ) روش رسم ، ( و يا روش عمل ) داراي يك ويژگي خاص است و اون اينكه اصولا كسي نتونه جور ديگه اي اون كار رو انجام بده
يعني دقيق دقيق
به اين ميگيم روش رسم
در اين كه اين روش درسته ، شكي نيست
اما موضوع اينه كه چطور ما ميتونيم به اين شكل برسيم (البته با رسم و نه با نرم افزار )
وقتي صحبت از رسم نيمساز ، عمود منصف ، خط موازي و .... ميشه ، يك روش رسم ارائه ميديم ، جوري كه كسي نميتونه به پاسخ متفاوتي برسه
مثلا در مورد عمود منصف ميگيم پرگار رو به دلخواه باز ميكنيم و از دو سر پاره خط دو تا كمان مي زنيم و نقاط تلاقي دو كمان رو به هم وصل مي كنيم . خط به دست آمده عمود و منصف است
( تازه در اين حالت هم چون نقطه ما كاملا نقطه نيست و قلم يك پهنايي داره و ... باز هم نتايج حاصله در رسم واقعي ، كاملا مشابه نيستند ! )
اما بالاخره ميدونيم كه با خط كش بايد نقطه A رو به B وصل كنيم .
ولي در مورد رسم مماس ، از نظر هندسي اين صحيح نيست كه بگيم خط كش رو جايي ميگذاريم كه با دقت بسيار بالايي مماس باشه
بايد نقطه A و B مون مشخص باشه ( دقت كنيد كاملا مشخص )
اين چيزي است كه اصول هندسه به ما ميگه
اما اگر روش دقيقي براي رسم مماس مطرح بشه ( كه قابل اثبات هم باشه ) كه از نقطه دلخواه a نقطه b روي محيط بيضي رو به ما بده ، اون وقت اين روش هم روش رسم كاملا معتبري از نظر هندسي خواهد بود .

----
پ ن : در مورد پيدا كردن وسط يك پاره خط كاملا نظر شما درسته كه ابدا حق نداريم از اندازه گيري به وسيله خط كش استفاده كنيم ! اين نكته بديهي است

خود پيدا كردن وسط يك پاره خط هم بايد با روش رسم انجام بشه ( همون رسم عمود و منصف كه نقطه منصف رو هم به ما ميده )

موفق باشيد