ریاضی محض!

[Ehsan]

اصولا تقارن در طبیعت زیاد رخ میده!
به همین دلیل تصمیم گرفتم همزاد ِ فیزیک ِ محض رو ایجاد کنم: ریاضی محض!
اگر مبحث ِ ریاضی خاصی دارید که هیچ ربطی به نجوم و فیزیک نداره اون رو اینجا قرار بدید!

[1663]

فراکتال ها شکل هایی هستند که از جزییات مشابهی در اندازه های مختلف بر خوردارند. این بدان معناست که وقتی شما به قطعه کوچکی با شکل فراکتال نگاه میکنید، نسخه های کوچکی از همان شکل بزرگ فراکتال را ملاحظه میکنید . انواع بسیار مختلفی از فراکتال ها وجود دارند و در قلب فراکتال ها ریاضیات وجود دارد.

این بدان معنا نیست که انسان باید ریاضیات را برای ایجاد فراکتال ها درک کند . اگر چه هنر فراکتال ها از ریاضیات سر چشمه گرفته ولی در اسارت آن نمی باشد

ما فراکتال‌ها را در زندگی روزمره ی خود به فراوانی مشاهده می کنیم: درخت ها، کوه ها، پراکنده شدن برگ های پاییزی روی زمین. به این تصویرها که در صفحه ی گالری قابل مشاهده است، نگاه کنید و سعی کنید شباهت بین آن ها را درک کنید. حال به این تعریف دقت کنید:
فراکتال شکل هندسی چند جزئی است که می‌توان آن را به قسمت هایی تقسیم کرد، به طوری که هر قسمت یک کپی از " کل " شکل باشد.
حال دوباره به تصویرها نگاه کنید! به سختی می توان باور کرد که چیزی مانند فراکتال‌ها در عین پیچیدگی و کاربرد در عالی ترین سطوح ریاضی، بتواند به شکل یک سرگرمی جالب مورد استفاده قرار گیرد. در واقع هندسه ی فراکتالی، حرکت اشکال در فضا را ثبت می‌کند و ناهمواری دنیا و انرژی و تغییرات دینامیک آن را نشان می‌دهد! اما حقیقت این است که فراکتال موضوع ساده ای است. به سادگی ابرها یا شعله های آتش.
واژه ی فراکتال از ریشه ای یونانی به معنای " تکه تکه شده " و"بخش بخش" آمده است و به نحوی تعریف ریاضی اش را در خود دارد. به زبان ساده ، اشکال فراکتالی دارای 3 خاصیت عمومی هستند:
• تشابه به خود
• تشکیل از راه تکرار
• بعد کسری

تشابه به خود


گربه‌ها ، قناری‌ها و کانگوروها به نحوی به هم شبیه هستند. اما در هندسه، تشابه معنای خاصی دارد که حتماً آن را در کتاب ریاضی خود دیده اید و می‌دانید که تشابه، یکسانی اشکال در عین متفاوت بودن اندازه هاست. به زبان ساده تر اگر بتوانید با بزرگ یا کوچک کردن دو شکل، آن ها را دقیقاً همانند هم کنید، آن دو شکل متشابه اند. اما شکل های خود متشابه کدام‌ها هستند؟ اشکال زیادی وجود دارند که فراکتالی نیستند اما خود متشابه اند.
به این شکل دقت کنید!
شکل کلی یک ذوزنقه است و خود از ذوزنقه های کوچک تر کنار هم پدید آمده است. این مورد یک مثال از تشابه به خود است.
حال به این مثلث خاص نگاه کنید.


این مثلث بزرگ که مثلث سیرپینسکی نام دارد، از مثلث های مشابه کوچک تر تشکیل شده است که همین طور کوچک تر و کوچک تر هم می‌شوند.

[1663]

توپولوژی شاخه‌ای از ریاضیات است که به بررسی فضاهای توپولوژیک می‌پردازد.

تعریف
مجموعه X به همراه گردایه T از زیرمجموعه‌های X را یک فضای توپولوژیکی گویند هر گاه:


مجموعه تهی و X عضو T باشند.
اجتماع هر گردایه از مجموعه‌های عضو T در T قرار دارد.
اشتراک هر دو مجموعه عضو T در T قرار دارد.
مجموعه T را یک توپولوژی روی X می‌گوییم. همچنین اعضای T مجموعه‌های باز در X و متتم آنها مجموعه‌های بسته در X هستند.

اعضای X را نقاط می‌‌نامیم.


ارتباط بین دو فضای توپولوژیک
روی یک مجموعه مانند X توپولوژیهای متعددی می‌توان تعریف کرد (حداقل دو توپولوژی گسسته و ناگسسته را می‌توانیم روی X تعریف کنیم). حال فرض کنید T1 و T2 دو توپولوژی روی X هستند. اگر هر عضو T1، عضوی از T2 نیز باشد آنگاه می‌گوییم T2 ظریفتر از T1 است. در این صورت اثباتی که برای وجود یک مجموعه باز معین ارائه می‌‌دهیم در مورد توپولوژی ظریفتر هم برقرار است.

[1663]

دوستان چرا حاصل ضرب داخلی دوبردار عدد حقیقیه چرا بردار نیست؟؟ توضیح شهودی وجود داره؟ چرا علامت ضرب داخلی نقطه است و لی خارجی* چرا برعکس نیست؟از کجا اومده؟ اثبات فرمول این دوتا از نظر هندسی چطوره ؟ مثلا چرا تو فرمول ضرب داخلی کسینوس استفاده میشه و تو خارجی سینوس ؟اگه بحث ها خیلی پایه ای هستند منبع معرفی کنید !

علامتها که قرارداداند. اینکه تو ضرب داخلی کسینوس داریم ابنه که خواستند 2 بردارو بر هم منطبق کنند. اما تو ضرب خارجی چرا سینوس داریم اینکه اندازش قرار بود برای ارایه دهنده اش مساوی با مساحت متوازی الاضلاع متشکل از 2 بردار باشه. بنظرم قبل از تعریف ضرب داخلی ریاضیدانان تعریف ضرب خارجی رو داشتند!!!!!!!!! اما چرا اینو میگم: چون اندازه ضرب خارجی 2 بردار برابر مساحت متواری الاضلاع متناظرشون تعریف شده بود. تا زمانی که زاویه بین دو بردار صفر یا 180 نباشه اونا خیلی راحت ضرب 2 بردار رو برداری عمود بر 2 بردار اصلی تعریف کردند. اما وقتی به 2 بردار با زاویه بینی 0 یا 180 رسیدند دیدند که طبق داشته هایشان باید برداری بطول 0 و عمود بر 2 بردار اصلی تعریف کنند!!!!!!!! (چون اندازه ضرب 2 بردار و برابر مساحت متوازی الاضلاع متناظرشون تعریف کرده بودند.) اما برداری بطول 0 که اصلا حتی با قانون دست راست هم سازگار نبود. تو همین افکار بودند که سرانجام مجبور به تعریف ضرب داخلی شدند با ماهیت متفاوت با ضرب خارجی!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ( یک سری افکار مشابه تو سرم میچرخن که به رشته تحریر در آوردنشون واسم سخته. همین چیزی رو هم که نوشتم 2 ساعت طول کشید. امیدوارم متوجه منظورم شده باشید.)

[Ehsan]

چند کشفِ مهمِ ریاضیات عبارت‌اند از:
اعدادِ منفی
اعدادِ منفی از جمله ابداعاتِ ریاضی مهم بودند که بعد از ابداع صفر توسط هندی‌ها کمک شایانی به گسترش درکِ ما از عدد کردند، ابتدا اولین مفهومی که در ریاضیات شکل گرفت اعدادِ طبیعی بود که در آن خبری از صفر و اعدادِ منفی نبود اما گسترشِ محاسباتِ جمع و تفریق بحثِ اعدادِ صحیح را پیش کشید و اعدادِ منفی زاده شدند، گرچه با مفهومِ اولیه‌ی ما از عدد کمی متفاوت بودند.

عدد پی:
بی هیچ توضیحی همه می‌دانند که نسبت محیط به قطرِ دایره است، یک عدد از هندسه.

عدد نپر:
این عدد از حسابِ دیفرانسیل و انتگرال خودش را به ما تحمیل می‌کند، محاسباتی که مربوط به حل معادلاتِ دیفرانسیل خطی است ما را به حل انتگرالِ 1/x راهنمایی می‌کند که می‌شود یک تابعِ لگاریتمی در مبنای عدد نپر، کاربرد عددِ نپر در محاسبات دیفرانسیل و انتگرال خارق‌العادِ وسیع و حیاتی است و توابع نمایی که با این ساخته می‌شود تقریبا در سرتاسر مهندسی دیده می‌شود.

عدد موهومی i
این یکی از عجیب‌ترین ابداعاتِ ریاضی دانان است، عددی که به توانِ دو می‌شود منفی یک! شاید نتوان به آن معنی که می‌شناسیم اسمش را عدد گذاشت اما جبری که با اضافه کردنِ این عدد به اعدادِ حقیقی شکل می‌گیرد فوق‌العاده غنی است، طوری که نمی‌توان من‌درآوردی بودنش را قبول کرد. این عدد وقتی وارد ریاضیات شد که خواستند ریشه‌ی بعضی چند جمله‌ای ها را در حوزه‌ی اعدادِ حقیقی پیدا کنند.

و حالا یک اتفاقِ بسیار عجیب:
می‌توان مفهومِ تابع را به اعدادِ مختلط گسترش داد و تابعی چون e^x را با استفاده از بسطِ تیلور به حوزه‌ی اعدادِ مختلط رسانید، این تابع خواصِ بسیار عجیب و سوال‌برانگیزی دارد اما از تمامِ آن خواصِ عجیب این یکی را معرفی می‌کنیم:

1 عضو خنثی ضرب است
صفر عضو خنثی جمع
عدد پی از هندسه
عدد نپر از حساب دیفرانسیل
عدد i از نظریه ریشه‌ی چند جمله‌ای ها

و نهایتا تابعِ e^z که از بحثِ بسطِ تیلور بیرون آمده.

این پیوستگی تمامِ ریاضیات است، این عجیب است، باور کردنی نیست، اما اثبات می‌شود! هنوز نمی‌دانیم چرا شاخه‌هایی که ظاهرا کاملا مستقلِ هستند باید این قدر با هم هماهنگ و به هم پیوسته باشند، این اعجابِ ریاضیات است.

[arashgmn]

گاهی اوقات آدم وقتی یه انتگرالی رو محاسبه می‌کنه که جوابش یه مضربی از پی میشه، جدا تعجب می‌کنه که این انتگرال چه ربطی به دایره داشت؟ و این مسئله چه ربطی به هندسه؟!

[Ehsan]

مریم میرزاخانی مدالِ فیلدز گرفت!

خوشحال کننده‌گی این خبر برای من بیش از هر خبرِ دیگری نظیرِ قهرمانی ایران در جامِ جهانی یا هر چیزِ مشابه بود، فیلدز معتبر‌ترین جایزه‌ی دنیای ریاضی هستش که حالا به یک ایرانی اعطا شده، با توجه به این که ریاضیات نوبل نداره خیلی ها این جایزه رو معادلِ نوبلِ ریاضی می‌دونند و حتی بعضی‌ها به خاطرِ شرایطِ سخت‌تر اعطای این جایزه (مثلِ شرطِ سنی زیر چهل سال، اعطای اون هر چهار سال یک بار) فیلدز رو معتبر‌تر از نوبل می‌دونن. محضِ اطلاع ادوارد ویتن (بزرگترین فیزیکدانِ زنده‌ی معاصر و از بانیان نظریه ریسمان) هم مدالِ فیلدز داره.

ارزشِ این جایزه بیش از نوبل گرفتنِ کامرانِ وفا یا نیما ارکانی حامد هستش چون خانم میرزا خانی تا مقطع کارشناسی ارشد توی شریف حضور داشته و اینجا تربیت شده (در حالی که دو بزرگوارِ یادشده که بزرگترین فیزیک‌دانانِ ایرانی‌الاصل زنده هستند، تربیت شده‌ی دانشگاه‌های آمریکا اند که مشخصا سطحِ بالایی دارند) و این نشان میده گروه ریاضیاتِ شریف تا چه حد بالاتر بقیه‌ی دانشکده های ایران هستش (قبلا می‌دونستم دانشکده‌ی ریاضی خیلی سطحِ بالایی داره اما حالا یکتا نشانه‌ای پیدا شده که نشون می‌ده واقعا سطحِ این دانشکده بالاست)

این جایزه رو در اولین درجه به خانم میرزاخانی تبریک می‌گم که با تلاشِ خودش بهترین خبر علمی رو برای ما رقم زد و در درجه‌ی بعد به اساتید دانشکده‌ی ریاضی تبریک می‌گم و در نهایت به هر ایرانی در هر گوشه‌ی دنیا تبریک می‌گم که می‌تونیم بعد از این همه تلخی سرمون رو بالا بگیرم ، چرا که هموطنِ ما حالا با تلاشِ خودش نشان داده ما می‌توانیم

[Mostafa]

یک سوال و یک جایزه

سلام به دوستان

یک سوال مطرح میکنم ، اولین نفری که جواب درست و کامل رو بگه ، یک جایزه پیش من داره ( یک گرین لیزر )

سوال : یک بیضی داریم ( فقط یک بیضی بدون هیچ خط و نقطه و علامتی ) کانونهای این بیضی را پیدا کنید .

توضیح : مثل همه سوالات ترسیمی فقط قلم و پرگار و ستاره ( خط کش غیر مدرج ) به اضافه یک نخ در اختیار داریم .

نکته 1 : بدیهی است که نمی توانیم قطر بزرگ بیضی ( یا هر چیز دیگری را ) به صورت چشمی یا حدودی پیدا کنیم .

نکته 2 : برای اطمینان ار عدم امکان تقلب ، تقریبآ در دو روز گذشته تمام منابع اینترنتی رو جستجو کردم و پاسخ این سوال رو پیدا نکردم . پس خودتون رو خسته نکنید !

* ضمنآ برای اطلاعات بیشتر مطالعه تاپیک مقاطع مخروطی رو پیشنهاد می کنم .

" شکل ، مربوط به روش رسم بیضی است و ربطی به پاسخ سوال ندارد ! "

[mahdad_haghighi]

یک سوال و یک جایزه

سلام

راستش من قبلا زمانی که در مورد تسطیح و مقاطع مخروطی می خواستم بیشتر از معمول المپیاد بخونم و علاقه مند شده بودم یک جا به این سوال برخوردم و حل شد همون موقع ولی برای جلوگیری از تقلب (که قبلا حل کردم مثلا )‌ و البته اینکه حوصله توضیح دادن ندارم سرچ کردم و لینک یک منبع که کامل جوابشو داده این زیر هست (بخش دوم فایل قرار داده شده): ‌

فقط در مورد اون قسمتی که باید میانه اضلاع مربع رو پیدا کنیم چون خط کش ما غیر مدرجه چاره ای نداریم جز محاط کردن یک دایره دیگه داخل مربع و مماس به اضلاع

http://www.astroupload.com/do.php?fi...9827743261.pdf

---------------------------
پ.ن: از نخ می تونیم برای ساختن دست بند استفاده کنیم

[Mostafa]

خب ....

توی همین فاصله ، یکی از دوستان المپیادی و مدیران سابق ( که بعدآ معرفی خواهند شد ) جواب درست رو ارائه کردند !

ولی من جهت اینکه سایر دوستان هم روی موضوع فکر کنند ، فعلا پست ایشون رو نامرئی کردم که جواب مشاهده نشه

حالا باز هم فرصت دارید روی سوال فکر کنید

( البته بدیهی است که جایزه به ایشون تعلق خواهد گرفت )

موفق باشید

[tina]

سلام
این راه منه ...
توضیح اینکه : اومدم دو تا مماس به بیضی کشیدم ( با همون روشی که تو شکل معلومه ) بعد این مماسا همو تو یه نقطه قطع میکنن از اون نقطه به وسط خط واصل دو تا نقطه اولیه رو بیضی خط کشیدم ادامه دادم بر اساس خواص بیضی مرکز بیضی روی این خطه پس با پرگار نقطه وسط خطی که بیضی رو قطع کرده رو کشیدم مرکز پیدا شد بعد دوباره با پرگار اون جوری ای که تو شکل معلومه قطر بزرگ و قطر کوچیک رو کشیدم پرگارو اندازه قطر بزرگ باز کردم گذاشتم رو نقطه تقاطع قطر کوچیک با بیضی یه کمان زدم که همون کانون هاست
اگه تو نهایی هم همین جوری توضیح بنویسم قطعا هندسه صفر میشم