ریاضی محض!

[Ehsan]

اصولا تقارن در طبیعت زیاد رخ میده!
به همین دلیل تصمیم گرفتم همزاد ِ فیزیک ِ محض رو ایجاد کنم: ریاضی محض!
اگر مبحث ِ ریاضی خاصی دارید که هیچ ربطی به نجوم و فیزیک نداره اون رو اینجا قرار بدید!

[Ehsan]

اولین چیزی که با شنیدن ِ این کلمه به ذهن میاد یک سری پاره خط هستند شبیه ِ تیر ِ کمون که نوکشون تیزه (یعنی جهت دارند). اما واقعیت ِ مسخره در ریاضیات اینه که بردارها همیشه چنین شکلی ندارند!! بردار در ریاضیات به یک دسته (مجموعه) از اشیا می گن که بشه بینشون جمع تعریف کرد، یک عضو ِ صفر تعریف کرد، و یک ضرب در یک عدد تعریف کرد که همه ی ِ این تعاریف باید از یه ویژگی های ِ خاصی پیروی کنند. مثلا اون عدد باید عضو ِ یک میدان باشه. (حالا این که میدان چیه بماند) و این که تحت ِ جمعی که تعریف شده، مجموعه ی ِ برداری ِ ما بسته باشه و.... به یه همچین مجموعه ای می گن یه فضای ِ برداری!!! مثلا شما می تونید توی ِ یه باغ ِ وحش یک فضای ِ برداری تعریف کنید! مثلا شتر+مرغ =شترمرغ!! حالا اگر یه ویژگی های ِ قشنگی داشته باشه میشه فضای ِ برداری! یا مثلا بین ِ میوه ها، 2*کیوی+خیار-خربزه=هندونه!! بههههله!! البته یه کمی سخته اون شرطها ارضا بشن اما بالاخره میشه یه کارایی کرد.

یک نکته ی ِ جالب توی ِ فضاهای ِ برداری، پایه های ِ فضا هستند. یعنی شما یک سری بردار ِ خوشگل موشگل پیدا کنید که بشه همه ی ِ بردارهای ِ دیگه رو از روی ِ جمع ِ این بردار ها ساخت. به یه همچین بردارهایی میگن پایه ی ِ فضای برداری. (درست مثل ِ پایه های ِ ساختمون! فضای ِ برداری روی ِ این پایه ها ساخته میشن) ویژگی ِ این پایه ها اگر خوب باشند اینه که نشه یکی از پایه ها رو بر حسب بقیه نوشت (اگه یه همچین چیزی بشه مثل ِ اینه که دو تا ستون دارن یه چیزو تحمل می کنن! یکی از ستونا اضافیه ). مثلا سه تا بردار ِ یکه ی ِ آشنای ِ مختصات ِ دکارتی یعنی ijk سه تا بردار ِ پایه هستند که میشه هر برداری توی ِ این فضا رو بر حسب ِ جمع ِ ضرایبی از این سه تا بردار نوشت، از طرفی شما نمی تونید مثلا k رو با هیچ جمعی از i و j بنویسید. به این ویژگی می گن استقلال ِ خطی ِ بردارها. حد اکثر ِ بردارهای ِ مستقل ِ خطی که میشه توی ِ یک فضا پیدا کرد میشه بُعد ِ اون فضا.

بُعد می تونه نامتناهی باشه. البته این نکته هست که اگر شما یه تعداد ِ کمتری از پایه های ِ یک فضا رو انتخاب کنی، همه ی ِ بردارهایی که با اون پایه های ِ ناقص تشکیل میشن، یه فضای ِ جدید ایجاد می کنن که بهش می گن یه زیرفضا از اون فضای ِ اصلی. زیرفضا ها خودشون یه فضای ِ جدید اند اما هر برداری که توی ِ یه زیرفضا باشه توی ِ فضای ِ اصلی هم هست ولی برعکسش الزاما درست نیست. مثلا اگر شما فقط بردار ِ i و j رو انتخاب کنی، فضایی که باهاش ساخته میشه یک صفحه است (صفحه ی ِ xy) که درون ِ فضای ِ سه بعدی قرار داره. نکته اینه که ما نمی دونیم این فضای ِ سه بعدی که می بینیم آیا زیرفضای ِ یه فضای ِ مثلا ده بعدی هستش یا نه! مهم نیست! اینا دیگه فلسفی ان! مثلا این که یه فضای ِ شش بعدی تصور کنید که به دو تا زیرفضای ِ سه بعدی جدا بشن و بشه دو تا دنیای ِ موازی، هیچ جوری نمیشه بین ِ این دو تا فضا ارتباط برقرار کرد مگر این که قوانینی وجود داشته باشه که بشه بین ِ دو تا دنیا ارتباط برقرار کرد، البته حتی یک بعد ِ اضافی هم کافیه تا بشه یه دنیای ِ دیگه ی ِ سه بعدی ساخت (در واقع بی نهایت تا میشه ساخت) اما یه سری قوانین ِ تصویر کردن و اینها وسط کشیده میشن. بماند!

حالا یه چیز ِ جالبه دیگه فضای ِ ضرب ِ داخلی هستش. یعنی شما بتونید یه ضرب ِ داخلی بین ِ اعضای ِ مجموعه پیدا کنید. ضرب ِ داخلی هم باید یک سری ویژگی (از جمله خطی بودن و چند تا ویژگی ِ دیگه) رو ارضا کنه در این صورت یک فضای ِ ضرب ِ داخلی ِ خوب داریم. نکته ی ِ خیلی جالب و قشنگ که خداوکیلی تَهِ نکته است اینه که ضرب ِ داخلی ِ یک بردار با خودش حتما باید یک عدد ِ حقیقی ِ مثبت باشه و این میشه اندازه ی ِ اون بردار به توان ِ دو!! (تعریف ِ «اندازه» همینه، این دیگه به من ربطی نداره اصلا اندازه همین طوری تعریف میشه) این یعنی که ضرب ِ داخلی عملیست که اندازه را در فضای ِ شما قابل ِ تعریف می کند و ویژگی های ِاندازه ای ِ فضا با همین ضرب ِ داخلی تعیین میشه. پس ضرب ِ داخلی خیلی عمل ِ مهمیه. (البته نکته ی ِ خنده دار اینه که توی ِ نسبیت ِ خاص و همچین نسبیت ِ عام، جاهایی پیش میاد که ضرب ِ داخلی منفی میشه. این حالتها البته فیزیکی نیستند اما میشه از لحاظ ِ ریاضی بررسیشون کرد. البته نسبیت ِ عام یه ویژگی ِ قشنگ ِ دیگه هم داره: پایین تر گفتم )


مثلا ضرب ِ داخلیی که شما برای ِ فضای ِ سه بعدی ِ معمولی ساختید، طوری تعریف شده که رابطه ی ِ فیثاغورس درست باشه چون رابطه ی ِ فیثاغورس هست که اندازه رو در فضای ِ ما قابل ِ تعریف می کنه و یک ویژگی ِ فضای ِ ماست که این رابطه برقرار باشه. از این گذشته ضرب ِ داخلی این امکان رو میده که شما رابطه ی ِ تعامد رو هم تعریف کنید. اگر ضرب ِ داخلی ِ دو تا حاجی صفربشه حاجیامون متعامدن! خوبی ِ این کار اینه که شما می تونید یک سری پایه هایی که برای ِ فضا تعریف کرده بودید رو تبدیل به پایه های ِ متعامد بکنید و بعد هر برداری رو بر حسب ِ این پایه های ِ متعامد بنویسید و نهایتا اگر یه لحظه خدایی نکرده درخواست کردید که یک بردار رو در این پایه ها بنویسید، هیچ مشکلی نیست، تنها کاری که باید بکنید اینه که بردار رو توی ِ اون پایه ضرب ِ داخلی کنید تا ضریب ِ پایه رو به دست بیارید (البته به شرطی که اندازه ی ِ پایه ها یک شده باشه)

البته شما می تونید ضرب ِ داخلی های ِ مسخره ای هم تعریف کند ولی به دردتون نمی خوره! پس توصیه میکنم نکیند این کار رو! مثلا می تونید آدمها رو با یه فضای ِ برداری ِ انسانها بیان کنید، برای ِمثلا پایه های ِ فضای ِ آدمها مثلا باشه: نمره ی ِ چشم، ضریب هوشی، قد، وزن، هوش هیجانی، درس، خلاقیت، علاقه به بارون و.... خلاصه این طوری دنیای ِ چند بُعدی ِ انسانها رو بسازید، انسان ها رو با هم جمع کند، ضرب کنید و... و این طوری میشه یه قانون ِ ضرب ِ داخلی هم تعریف کنید تا اندازه واسه آدمها قابل تعریف باشه، مثلا یه ضریبی به درس بدید یه ضریبی به خلاقیت یه ضریبی به نمره چشم (بالطبع ضریب ها رو ارزشهایی که در ذهن دارید تعیین می کنه، فضای ِ ضرب ِداخلی کاملا دست ِ شماست که چه طور تعریفش کنید) و نهایتا انسانها رو اندازه پذیر کنید و با هم مقایسه کنید. همین اختلاف توی ِ تعریف ِ ضرب ِ داخلی باعث میشه یه آدمی از دید ِ یکی خفن باشه و از دید ِ یکی معمولی! یا این که اصولا همه ی ِ این کمیت ها اندازه پذیر و حتی قابل اندازه گیری نیستند و ما هم مطمئن نیستیم همه ی ِ ابعاد رو در نظر گرفتیم یا نه. پس باز هم نکنید این کار رو

اما حالا این همه مسخره بازی به چه دردی می خوره؟ چرا باید یه همچین چیزای ِ عجیب و غریبی تعریف کنیم؟ اصلا که چی؟!؟ داریم آیا؟ ملت؟ مردم؟!

واقعیت اینه که عملا توی ِفیزیک ( و حتی مهندسی ) همین مسخره بازیا به شدت جدی میشن!! مثلا! توی ِ نسبیت ِ عام و نظریه ی ِ ریسمانها شما نیاز دارید هندسه رو بدون ِ تصور و کور بنویسید چون اصولا آی کی یو یِ شما نمی کشه که تصور ِ سه بعدی تون رو به کار بندازید و یه فضای ِ بیست بعدی رو تصور کنید اما فضاهای ِ برداری ابزاری قدرتمند به شما می دن که این توپولوژی های ِ پیچیده رو بررسی کنید بدون ِ این که خیلی به مختون فشار بیارید.

یا اصلا بحث ِ اصلی ِ نسبیت ِ عام پیدا کردن ِ قانون ِ ضرب ِ داخلی در فضا-زمان ِ واقعی هستش. شما می تونید قانون ِ ضرب ِ داخلی رو با یه ماتریس که به تانسور ِ متریک معروفه بیان کنید، توی ِ نسبیت ِ عام یه معادله ی ِ دیفرانسیل بین ِ اعضای ِ این ماتریس و چگالی ِ تکانه انرژی ِ فضا-زمان نوشته میشه که حل ِ این معادلات نهایتا تانسور ِ متریک رو در اختیارتون قرار میده تا شما بتونید «اندازه» در فضا-زمان رو تعریف کنید و با این اندازه، کوتاهترین مسیر ها رو پیدا کنید که الزاما خط ِ راست نیستن! خیلی قشنگه! نه؟ خمیدگی ِ فضا با همین ماتریس (تانسور) مشخص میشه.

یا مثلا میشه با این مفاهیم دنیاهای ِ بُعد ِ بالاتر رو به دنیای ِ 3 بُعدی تصویر کرد. کاری که با اون مکعب ِ چهار بعدی انجام دادن.

از این گذشته (هدف ِ من از نگاشتن ِ این پست ) یه فضای ِ برداری ِ بسیار بسیار بسیار قشنگ و پرکاربرد وجود داره به اسم ِ فضای ِ برداری ِ توابع! یعنی شما میاید بین ِ توابع یه جمع با چند تا دری وری ِ دیگه تعریف می کنید و می بینید که تمام ِ ویژگی هایی که یه فضای ِ برداری باید داشته باشه رو فضای ِ توابع دارند! به نظر میاد بُعد ِ فضای ِ توابع بی نهایت باشه. حالا این مهم نیست مهم اینه که پایه ی ِ این فضا چه توابعی هستند؟ قبل از این که به این سوال جواب بدیم بیاید یه ضرب ِ داخلی تو این فضا تعریف کنیم. انتگرال ِ ضرب ِ دو تا تابع رو فرض کنید باشه یه فضای ِ ضرب ِ داخلی. این طوری شما می تونی تعامد رو بین ِ توابع بررسی کنی (البته باید مواظب بود! اندازه ی بعضی از بردارا بینهایت میشه توی ِ این تعریف! واسه همین میشه یه ضربایی تعریف کرد که از این اتفاق جلوگیری کنه، مثل ِ یه چیزی شبیه ِ تبدیل لاپلاس). حالا خوبی ِ این که بشه تعامد رو بررسی کرد چیه؟ اینه که اگه شما بتونی یک مشت تابع پیدا کنی که نسبت به هم متعامد هستند می تونی مطمئن باشی که مستقل ِ خطی هم هستند و می تونند یه پایه باشن برای ِ یه زیرفضا از فضای ِ توابع!!

این که یه سری تابع داشته باشیم که بشه بقیه ی ِ توابع رو بر حسب ِ اون نوشت خیلی وسوسه برانگیز به نظر میاد! حالا من یه زیرفضا انتخاب می کنم از فضای ِ اصلی ِ توابع به اسم ِ زیرفضای ِ توابع ِ پیوسته (که خودشون یه فضای ِ برداری تشکیل می دن). با اون تعریف ِ ضرب ِ داخلی توی ِ این فضا یه مشت تابع ِ متعامد پیدا می کنم. فکر می کنید این توابع ِ پایه چی هستند؟

همون سینوس و کوسینوس ِ آشنای ِ خودمون! بَه! اینا که حاجی ِ خودمونن! یعنی واقعا متعامدن؟ می تونید چک کنید بله متعامد اند! حالا سوال ِ قشنگتر اینه که: آیا میشه همه ی ِ توابع ِ پیوسته (غیر از اونهایی که انتگرالهاشون میتونه نا متناهی باشه) رو بر حسب ِ سینوس و کسینوس نوشت؟ در کمال ِ مسخرگی جواب ِ این سوال بله هستش!

از همین جا بحث ِ تبدیل ِ فووریه و لاپلاس بیرون میاد، سری های ِ فووریه و کلی چیز ِ دیگه که همش حاصل ِ بررسی ِ فضاهای ِ برداری هستند. جداً که این ریاضیات عجب چیز ِ خفن و قشنگیه، کی می گه اینا خشک ان؟!؟!؟

ــــــــ
احتمالا بعدا یه ذره راجع به عملگرها و ویژه مقادیر و اینها هم دری وری بگم جهت ِ تمدد ِ اعصابم! چون اصل ِ کاربرد و قشنگیه فضای ِ برداری ِ توابع با همین عملگرها خودشون رو نشون می دن!
این تموم شدن ِ درسنامه ی ِ اخترسنجی فرصتی داده تا یه کمی به چیزهایی که دلم می خواد بپردازم

[albertini]

ببخشيد دوستان گرامي
من يك سوال داشتم كه ممكن است ساده باشد ولي به جواب آن نياز دارم

اگر در حل مسئله اي به عبارت زير بر بخوريم :

sin X + cos X =A

آنوقت چطور بايد مقدار X را حساب كنم ؟

مرسي

[Amin-Mehraji]

ببخشيد دوستان گرامي
من يك سوال داشتم كه ممكن است ساده باشد ولي به جواب آن نياز دارم

اگر در حل مسئله اي به عبارت زير بر بخوريم :

sin X + cos X =A

آنوقت چطور بايد مقدار X را حساب كنم ؟

مرسي

به این شکل :



برای مثال :

فرم مختلط این رابطه :





آها! و اینکه چرا 45 درجه رو انتخاب کردم، خواستم یه چیز دیگه هم بدونید و آن این باشد که :

&

نمودار y=sin(X)+cos(X

اینجا

الان حال میده سرعت زاویه ای دنباله داری که در این مسیر حرکت می کنه رو پیدا کنی!

[solh]

ببخشيد دوستان گرامي
من يك سوال داشتم كه ممكن است ساده باشد ولي به جواب آن نياز دارم

اگر در حل مسئله اي به عبارت زير بر بخوريم :

sin X + cos X =A

آنوقت چطور بايد مقدار X را حساب كنم ؟

مرسي

برای راه حل ، میتونی ضریب یک پشت cos رو بنویسی تانژانت 45 بعد دو طرف رو در یه cos45ضرب کنی ، سمت چپ میشه فرمول (sin (x+45 و همون چیزی که جناب مهراجی گفتن .

اگه هم سینوس ،کسینوس ضریب داشتن ، بعد از تقسیم کردن بر یکی از ضرایب ، اون وقت ضریب باقی مونده رو برابر تانژانت یه زاویه ای میگیری و ادامه میدی .

[shadi.porooshani]

photo by shadi porooshani

[m.aryayi]

تابعی مثال میزنید که در یک بازه (مثل (1و0) ) از دامنه اش پیوسته باشه و در کل بازه مشتق پذیر نباشه ؟!

[Amin-Mehraji]

تابعی مثال میزنید که در یک بازه (مثل (1و0) ) از دامنه اش پیوسته باشه و در کل بازه مشتق پذیر نباشه ؟!

تابع که در همه جا پیوسته است ولی در هیچ کجا مشتق پذیر نیست.


البته صورت اصلی این تابع ، همان تابع وایرشتراس هست :


تابعی که من نوشتم اثباتش شاید یکم طولانی تر و سخت تر باشه چون مال دانشگاس ! ( البته چندان سختی هم نداره ها به راحتی با استفاده از قضیه ی دوم کوشی - ریمان قابل اثباته )

[mohsen4465]

ببخشيد دوستان گرامي
من يك سوال داشتم كه ممكن است ساده باشد ولي به جواب آن نياز دارم

اگر در حل مسئله اي به عبارت زير بر بخوريم :

sin X + cos X =A

آنوقت چطور بايد مقدار X را حساب كنم ؟

مرسي

من زیاد وارد نیستم اما از روی شکل هندسیش متوجه شدم که بجای sin X میتونید بنویسید (cos(90-X. حالا چطوری باید حلش کرد نمیدونم. شاید دوستانی که ریاضیشون بهتره بتونن کمکتون کنن.

[Amin-Mehraji]

ببخشيد دوستان گرامي
من يك سوال داشتم كه ممكن است ساده باشد ولي به جواب آن نياز دارم
اگر در حل مسئله اي به عبارت زير بر بخوريم :
sin X + cos X =A
آنوقت چطور بايد مقدار X را حساب كنم ؟
مرسي

من زیاد وارد نیستم اما از روی شکل هندسیش متوجه شدم که بجای sin X میتونید بنویسید (cos(90-X. حالا چطوری باید حلش کرد نمیدونم. شاید دوستانی که ریاضیشون بهتره بتونن کمکتون کنن.

اگر بجای sin X قرار بدیم cos(90 - X خواهیم داشت :


یعنی دوباره می رسیم به عبارت اول !

[m.aryayi]

تابع که در همه جا پیوسته است ولی در هیچ کجا مشتق پذیر نیست.


البته صورت اصلی این تابع ، همان تابع وایرشتراس هست :


تابعی که من نوشتم اثباتش شاید یکم طولانی تر و سخت تر باشه چون مال دانشگاس ! ( البته چندان سختی هم نداره ها به راحتی با استفاده از قضیه ی دوم کوشی - ریمان قابل اثباته )

ببخشید اولی تابع مختلطه ؟(!!!) اون شکل دوم رو هم میشه ساده توضیح بدید که چرا جمع یک سری تاریع پیوسته و مشتق پذیر مشتق پذیر نیست؟!