ریاضی محض!

[Ehsan]

اصولا تقارن در طبیعت زیاد رخ میده!
به همین دلیل تصمیم گرفتم همزاد ِ فیزیک ِ محض رو ایجاد کنم: ریاضی محض!
اگر مبحث ِ ریاضی خاصی دارید که هیچ ربطی به نجوم و فیزیک نداره اون رو اینجا قرار بدید!

[shadi.porooshani]

اینم ساعت دیواری یک ریاضیدان!!!!!

[Esmaeilpour]

در يك فضاي نا متناهي مي دونيم كه احتمال يك پيشامد يك عضوي صفره.مثلا اگر عددي به تصادف از اعداد حقيقي 1 تا 2 انتخاب كنيم احتمال اينكه عدد حاصل 1.5 باشه صفره.يك سوال اينجا ذهن همه رو مشغول مي كنه:
مثلا همون ازمايش قبل رو انجام ميديم و عددي از 1 تا 2 انتخاب ميكنيم.پيشامد مسلما يك عدد حقيقي هست و اين يعني اينكه پيشامدي روي داده كه احتمالش صفر بوده.جالبه كه بدونيد احتمال اين پيشامد تقريبا صفر نيست بلكه صفر مطلقه پس چرا روي داده؟اگه اجازه بديد براي اين كه شما دوستان فرصت تامل داشته باشيد جوابي رو كه از استاد رياضي دبيرستانم گرفتم با اندكي تاخير مينويسم.بعد از اين پاسخ البته سوال بنيادي تري ايجاد ميشه كه جوابش رو من ندارم.بايد روش بحث كنيم.

[Esmaeilpour]

وقتي كه ما يك تاس رو ميريزيم احتمال برامد 3 همونطور كه ميدونيم "يك ششم"هست.
ايا اين به اين معناست كه اگر تاسي را 6 بار بريزيم دقيقا يك بار 3 نمايش داده مي شود؟قطعا نه!مي تواند هر 6 بار برامد 3 باشد و همينطور ممكن است هيچ كدام از برامد ها 3 نباشد و به همين ترتيب 6^6 حالت مي تواند اتفاق بيفتد.
يعني اين كه احتمالات نمي تواند پيشبيني دقيقي از برامد در ازمايش داشته باشد.در مثال 2 پست قبل ديديم كه احتمال پيشامدي صفر بود ولي اتفاق افتاد.جالب است بدانيد كه حتي مي شود احتمال پيشامدي 1 باشد و واقع نشود.مثلا اگر يك عدد حقيقي به تصادف از اعداد حقيقي 0 تا 100 انتخاب كنيم احتمال اينكه برامد صحيح نباشد 1 است اما ميتواند برامد صحيح باشد.
پس احتمال در هيچ شرايطي پيش بيني كاملا دقيق ندارد وبه اين ترتيب پارادوكس گفته شده حل ميشود.
اما حالا كه به خاطر حل مشكلمان تعريف خود را از احتمال به هم زديم لازم است كه تعريف جديدي از احتمال ارائه كنيم.تعريفي كه هم دقيق و جامع باشد و هم توجيه موارد گفته شده را در خود داشته باشد.
به نظرم ويكيپديا تعريف خوبي از احتمال كرده.چون هم مو لاي درزش نميره و هم پارادوكس مذكور در اين تعريف وجود نداره:
"احتمال معمولا مورد استفاده برای توصیف نگرش ذهن نسبت به گزاره هایی است که ما از حقیقت انها مطمئن نیستیم.گزاره های مورد نظر معمولا از فرم "آیا یک رویداد خاص رخ می دهد؟" و نگرش ذهن ما از فرم "چقدر اطمینان داریم که این رویداد رخ خواهد داد؟" است. میزان اطمینان ما، قابل توصیف به صورت عددی می باشد که این عدد مقداری بین 0 و 1 را گرفته و آن را احتمال می نا میم.هر چه احتمال یک رویداد بیشتر باشد، ما مطمئن تر خواهیم بود که آن رویداد رخ خواهد داد. درواقع میزان اطمینان ما از اینکه یک واقعه (تصادفی) اتفاق خواهد افتاد."
اين تعريف در واقع احتمالات رو صرفا نگرش انسان به اين ميدونه كه ايا رويدادي رخ مي ده يا نه؟
به نظرم تعريف خيلي خوبيه اما دقيق نيست و فقط يك توصيف كيفي از احتمالاته.پس سوالي كه گفتم بعد از پاسخ به اون پارادوكس ايجاد ميشه اينه:"تعريف احتمالات چيه؟"
(خواهشا اين حس رو به من القا نكنيد كه دارم تو دفتر خاطراتم چيزي مي نويسم.فحش بديد يا بگيد تو هيچي از رياضي سر در نمياري.اينطوري حداقل مي فهمم نوشتم داره خونده ميشه )

[smhm]

مثلا اگر يك عدد حقيقي به تصادف از اعداد حقيقي 0 تا 100 انتخاب كنيم احتمال اينكه برامد صحيح نباشد 1 است اما ميتواند برامد صحيح باشد.
پس احتمال در هيچ شرايطي پيش بيني كاملا دقيق ندارد وبه اين ترتيب پارادوكس گفته شده حل ميشود.

به نظر من وقتی روی یک پیشامد در فضای نامتناهی مثل اعداد حقیقی بین 0 تا 100 بحث می کنیم مانند این است که می خواهیم یک نقطه را روی یک پاره خط انتخاب کنیم. پس در اینجا اصلا مفهوم عدد صحیح معنا ندارد. یعنی هیچ نقطه ای با نقطه ای دیگر ترجیح ندارد و نمی توان نقاط را به صحیح و غیر صحیح تقسیم کرد. به عبارتی دیگر اگر پیشامد ما دقیقا عدد 5 باشد این عدد را نباید به چشم عدد صحیح نگریست.
بنابراین پیش بینی کاملا دقیق است و پارادوکس ایجاد شده بر می گرده به تعریف ما از عدد نه تعریف احتمال.

البته در اینگونه فضاها معمولا پیشامدها بصورت یک بازه تعریف می شوند نه یک نقطه. چون پاره خط از بینهایت نقطه تشکیل شده و احتمال پیشامد یک نقطه صفر است.

[Esmaeilpour]

متوجه منظورتون نشدم.چرا نمي شه به چشم عدد صحيح به برامد 5 نگاه كرد؟

[پیمان اکبرنیا]

خب نظر من درباره این قضیه احتمالات:

وقتی میگیم احتمال اومدن یکی از اعداد تاس، 1 به 6 هست یعنی اگر تعداد پرتابهای تاس به سمت بینهایت میل کنه، تعداد دفعاتی که یک عدد خاص میاد یک ششم کل پرتابهاست. (به شرطی که تاس و شرایط ایده آل باشند).

اما اگر مثلا بگیم از بین کل اعداد گویای بین 1 تا 10 ، احتمال آمدن دقیقا عدد 5 چقدره به نظرم احتمالش صفره. چون فکر کنم احتمال برای فضاهایی تعریف میشه که گسسته باشند یا قابلیت گسسته سازی داشته باشند.

مثلا اگر بگیم از بین اعداد گویای 1 تا 10، احتمال آمدن عدد 5 با دقت 0.1 چقدره این معنی میده چون بازه ای از اعداد تعریف کردیم ولی خود عدد 5 به نظرم از نظر فیزیکی معنی نداره چون فضای بین 1 تا 10 پیوسته است و وقتی میگیم یک عدد باید بگیم تا چه دقت و رقم اعشاری منظورمون هست.

این مثل این میمونه که کره ای را به بالا پرت کنیم و بگیم دقیقا روی کدوم نقطه اش فرود میاد؟ خب با چه دقتی؟ ما اول باید کره را با یک n وجهی تقریب بزنیم بعد بگیم مثلا اگر 10000 وجه داره با احتمال یک ده هزارم روی فلان وجه فرود میاد اما اگر کره را پیوسته فرض کنیم خیلی حرفمون معنی نداره.

[Esmaeilpour]

حرف شما درسته.اما اگه دقتمون رو بيان كنيم ديگه احتمالش صفر نيست.وقتي احتمالش صفره كه ما بخوايم عدد خاصي در يك فضاي نا متناهي انتخاب كنيم.براي اينكه مشكلي از جنسي كه شما مي گيد پيش نياد ازمايشمون رو در فضاي گسسته ي نا متناهي انجام ميديم.
از بين كل اعداد صحيح عددي به تصادف انتخاب مي كنيم.احتمال بر امد هر عددي صفر است.اما به هر حال عددي رو خواهد شد و احتمالش صفر بوده.

[پیمان اکبرنیا]

ولی من فکر میکنم که احتمال در فضای نامتناهی معنی نمیده. یعنی حتما باید مخرج کسر احتمال یک عدد باشه.

[Esmaeilpour]

به همين دليل كه مخرج عدد نيست احتمال صفره.

[smhm]

از بين كل اعداد صحيح عددي به تصادف انتخاب مي كنيم.احتمال بر امد هر عددي صفر است.اما به هر حال عددي رو خواهد شد و احتمالش صفر بوده.

شما چطوری می خواهید این انتخاب را انجام دهید؟
انتخاب یک عدد از بین بینهایت عدد چگونه امکان پذیر است. با چه ابزاری اینکار را انجام می دهید؟
یا انتخاب یک نقطه از بین بینهایت نقطه چگونه عملی است؟ با چه دقت اعشار می خواهید این عدد را انتخاب کنید؟
اینها سوالاتی است که تا مشخص نشود فرایند احتمال از نظر ریاضی اتفاق نمی افتد.