ریاضی محض!

[Ehsan]

اصولا تقارن در طبیعت زیاد رخ میده!
به همین دلیل تصمیم گرفتم همزاد ِ فیزیک ِ محض رو ایجاد کنم: ریاضی محض!
اگر مبحث ِ ریاضی خاصی دارید که هیچ ربطی به نجوم و فیزیک نداره اون رو اینجا قرار بدید!

[smhm]

مغلطه یعنی غلط آشکار و مغالطه یعنی یک غلط ذاتی که در ظاهر درست به نظر می رسه.

مغلطه غلط آشکار نیست و غلط ذاتی و غیرذاتی هم نداریم.
غلط دو نوع است: غلط آشکار و غلط پنهان.
در «مغالطه» دو نوع غلط وجود دارد یک غلط پنهان که درون مسأله است و معمولا خواننده به آن توجه ندارد و یک غلط آشکار در پایان و نتیجه گیری مساله است. به اینکار مغالطه یا سفسطه گفته می شود یعنی آمیختن چند غلط در کلام به منظور به غلط انداختن مخاطب. (مانند همان کاری که سوفسطی ها انجام می دادند مثلا با دلیل به یک شخص ثابت می کردند که تو گاو هستی نه انسان!!) مغالطه در علم منطق شامل 13 نوع است.
اما «مغلطه» کلامی است که یک غلط پنهان در خود دارد و تا آخر نیز این غلط آشکار نمی شود بطوریکه خواننده ممکن است واقعا مطلب را باور کند.
معمولا فرقه ها و مذاهب ضاله برای تبلیغ اندیشه خودشان بسیار از مغلطه استفاده می کنند.

بنابرین مغالطه، آمیختن چند غلط است ولی مغلطه یک غلط است.

[smhm]

دوستان گرامی

لطفآ بحث ها رو به حاشیه نبرید

به نظرم اگر اجازه بدید بحث بر سر مسائل جدی تری پیش برود بهتر است

در همه این موارد که مثلآ اثبات تناقضات در ریاضیات است ، اشتباهات ظریفی صورت می گیرد که باید به آنها دقت کنید

لذا لطفآ این بحث را خاتمه داده و اجازه دهید موضوعات بهتری در این تاپیک مطرح گردد .

با تشکر از توجه شما

از اینکه بحث یه مقدار حاشیه ای شد بنده معذرت میخوام.
اما خواهش میکنم صورت مساله را پاک نکنید.
یکبار دیگه مساله را مطرح می کنم:
x^2+x+1=0 => x+1=-x^2
x(x+1)+1=0
x(-x^2)+1=0
x^3=1
x=1
اشکال کجاست؟

[Sky_Watcher]

الان شما میگی (x+1= - (x^2
آخر سر هم ایکس رو یک بدست آوردید که عددی مثبته. خب میگه میشه عدد مثبتی به اضافه ی 1 بشه و آخر سر جوابش منفی مجذور عدد در بیاد!!!!!!!!!!!!!!!!

خب این نشون میده که اثباتتون مشکل داره.

[smhm]

الان شما میگی (x+1= - (x^2
آخر سر هم ایکس رو یک بدست آوردید که عددی مثبته. خب میگه میشه عدد مثبتی به اضافه ی 1 بشه و آخر سر جوابش منفی مجذور عدد در بیاد!!!!!!!!!!!!!!!!

خب این نشون میده که اثباتتون مشکل داره.

بله اثبات مشکل داره و سوال هم این است که کجای اثبات مشکل داره؟

[Sky_Watcher]

بله اثبات مشکل داره و سوال هم این است که کجای اثبات مشکل داره؟

شما باید همون اول بگید
اگر x مثبت باشد : آنگاه ......

و اگر x منفی باشد : آنگاه .......
الان شما میگید( x+1= -(x^2 خب این برای عدد های کوچکتر از 1- درسته و برای بقیه ی عدد ها غلط ، خب اثباتی که اینطوری باشه اصلا درست نیست.

یعنی باید واسه حالت های مختلف x اثبات مختلف وجود داشته باشه.
میشه از برهان خلف هم استفاده کرد و وجود جواب حقیقی این فرمول رو نقض کرد.

[shadi.porooshani]

گاليله می گويد: "فيزيک و نجوم هم کتاب خدا هستند اما به زبان رياضی".

مایاها یک تقویم پیچیده ای داشته اند که تنها یک روز در هر 6000 سال کم می آورده است. پیش بینی آنها از کسوف و خسوف به طور اعجاب آوری دقیق بوده است. شاید شنیده باشید که این قوم روز پایان جهان را پیش بینی کرده اند. این روز در تقویم امروزی میلادی، 23 دسامبر 2012 خواهد بود. اگر ترجمه آنچه در تقویم مایا آمده صحیح باشد، به گفته آنها دنیا در حدود چند ماه دیگر ناگهان به پایان خواهد رسید.

مایاها این عدد را بر پایه و اساس خاصی محاسبه کرده اند. این تاریخ زمانی را در چره تقدیمی زمین مشخص میکند که ما از عصر حوت خارج شده و به عصر دلو وارد میشویم.

اما حرکت تقدیمی چیست؟ همه میدانیم که زمین در حالی که به دور خورشید میگردد، بر روی محور خود نیز میچرخد و همانطور که از درس علوم دبستان به خاطر دارید، این محور کاملا عمودی نیست بلکه دارای زاویه ای در حدود 23.5 درجه است. اما این محور همواره چنین نیست، بلکه به آهستگی از زاویه 24.5 درجه به 22.1 درجه میرسد و هر 41000 سال یک دور کامل میزند.

درحالی که زمین چنین حرکتی دارد، به خاطر تغییر در نیروهای گرانشی، محور زمین در یک دایره در جهت عقربه های ساعت میجنبد. فقط تصور کنید که محور از بالا به سمت پایین شروع به چرخش کند. به این ترتیب زاویه زمین در حد 3 درجه اختلاف، ثابت میماند، اما جهتی که به آن اشاره میکند، تغییر میابد. برای مثال در حال حاضر ستاره شمالی ما ستاره پولاریس یا جدی است. اما حدود 13 هزار سال قبل، قطب شمال به سمت ستاره وگا یا نسر واقع اشاره داشته است و دوباره در حدود 13 هزار سال بعد به سمت آن باز خواهد گشت. این چرخش تقدیمی در حدود 25,776 سال دیگر کامل خواهد شد.

در حال حاضر ما در عصر حوت هستیم،به این معنا که خورشید هنگام طلوع در روز اعتدال بهاری، از محلی که صورت فلکی حوت در آنجا قرار دارد، برمیاید. اما بنا بر حرکت تقدیمی، هر 2160 سال یک بار در روز اعتدال بهاری، خورشید از یک صورت فلکی جدید بر می آید.همانطور که قبلا ذکر شد ما در اواخر سال 2012 از عصر حوت وارد عصر دلو خواهیم شد

[Ehsan]

یک پارادکس ِ بسیار جالب که البته در کتاب ِ آمار و احتمالمون دیدم اما جوابش رو اونجا ننوشته بود! خودمم نمی دونم! اما پارادکس اینه:

فرض کنید در ساعت ِ 23:59 یک ظرف داریم که خالی هستش ولی به هر میزانی تیله توش جا می گیره و ما قراره با تیله پرش کنیم.

ما این جوری عمل می کنیم که تیله ها رو به ترتیب ِ قرار دادن شماره گذاری می کنیم و بعد شروع می کنیم به قرار دادن ِ تیله ها به این نحو: در نصف ِ دقیقه مونده به نیمه شب ده تا تیله می گذاریم و تیله ی ِ شماره ی ِ 10 رو بر میداریم! در یک چهارم ِ دقیقه مونده به نیمه شب ، 10 تا تیله ی ِ دیگه قرار می دیم و تیله ی ِ شماره ی ِ 20 رو بر می داریم و ....

واضحه که در 12 نیمه شب ظرف پر از تیله است.

حالا بیایید نحوه ی ِ برداشتن ِ تیله ها رو عوض کنیم: بعد از اینکه در 0.5 دقیقه مونده ، 10 تا تیله رو گذاشتیم تیله ی ِ شماره ی ِ یک رو برداریم! ده تای ِ بعدی رو که در یک چهارم ِ دقیقه مونده به نیمه شب گذاشتیم تیله ی ِ شماره ی ِ دو رو برداریم و ....

میشه نشون داد که در این حالت در ساعت 12 ظرف خالیه! چون شما هر کدوم از تیله ها رو که در نظر بگیرید لحظه ای وجود داره که شما اون تیله رو برداشتید! در نتیجه تیله ای تو ظرف وجود نداره!!!!

چرا من وقتی فقط نحوه ی ِ برداشتن ِ تیله ها رو عوض کردم نتیجه این قدر تغییر کرد؟؟؟

[Ehsan]

مسئلهٌ یا شیخ! اگر شخصی در جهتی کاملا تصادفی شروع به قدم برداشتن کند، بعد از n قدم کجاست؟ اگر در هر قدم به اندازه ی ِ l حرکت کند!

شیخ:

بله! این مسئله جواب ِ کاملا درست و یکتا ندارد! چه این که شخص ِ معلوم الحال تصادفی می رود و معلوم نیست کجا باشد، و چه این که حتی ممکن است بعد از هزار قدم به مرکز برگردد! اما می توان فهمید اگر چندین بار این کار را انجام دهد میانگین ِ فاصله ای که از مبدا می گیرد چه قدر است!

فقط کافی است بفهمیم که بعد از n بار قدم برداشتن، احتمال ِ حضورش در هر بازه ای از فاصله چه قدر است! دقت کنید احتمال ِ حضور در یک نقطه ی ِ مشخص صفر است درست همان طور ِ که جرم ِ یک نقطه از یک ماده صفر است! اما درست به همان شیوه که ما به هر نقطه از ماده یک چگالی ِ جرم نسبت می دهیم ، این جا هم می توان به هر نقطه یک چگالی ِ احتمال نسبت داد!

فرض کنید شخص یک قدم بردارد! اگر بخواهیم مسئله را دو بعدی بررسی کنیم، به مکان ِ شخص باید زوج ِ x,y نسبت دهیم، اگر تعداد ِ زیادی این آزمایش (فقط قدم ِ اول) را تکرار کنیم و هر بار زوج ِ مختصه ی ِ x1,y1 را مکان ِ شخص بعد از یک قدم برداشتن بدانیم، میانگین ِ تمام ِ این x1,y1 ها صفر می شود!!!!! طبیعی است. چون سمت ِ منفی و مثبت ِ هر مختصه متقارن است و فرقی ندارد، به همان اندازه که در منفی ها یافت می شود، در مثبت ها هم یافت می شود!

این اتفاق ِ خوبی نیست! ما می دانیم دست ِ کم به اندازه ی ِ l از مبدا دور شده! پس میانگین ِ مجذور ِ مختصه ها را پیدا می کنیم! چون برای ِ هر زوج ِ x1,y1 می دانیم که جمع ِ مجذور ِ هر زوج برابر است با l^2 و x,y هم فرقی با هم ندارند و متقارن هستند پس سهم ِ هر مختصه نصف ِ l^2 است یعنی میانگین ِ x1,y1 ها هر کدام l^2/2 است.

طلبه: یا شیخ! بعد از 1000 قدم چه؟

شیخ: صبر کن! الله مع الصابرین!

بعد از n بار قدم برداشتن ، که n هم بسیار بزرگ است، مسئله قدری پیچیده می شود! اگر فاصله ی ِ شخص از مبدا را با r نشان دهیم، میانگین ِ تمام ِ r ها را می شود محاسبه کرد! اما کمی سخت! توزیع ِ x را بعد از هزار بار قدم برداشتن می توان توزیع ِ نرمال در نظر گرفت!

چون جمع ِ n بار عمل مختلف است می توان اثبات کرد توزیع ِ نرمال حاصل خواهد شد! میانگین ِ این توزیع قطعا صفر است (به همان دلیلی که میانگین ِ توزیع ِ x بعد از یک قدم صفر می شد). اما میماند واریانس که آن هم n ضرب در واریانس ِ یک بار قدم برداشتن خواهد بود! پس همه چیز مشخص است! میماند یک جمع زنی روی ِ r ها و با استفاده از چگالی ِ احتمال میانگین ِ r ها به دست می آید:

mean(r)=sqrt(n*pi/4)*l

طلبه: یا شیخ! این ها که برای ِ دو بعد بود! برای ِ سه بعد چه؟

شیخ:
برای ِ سه بعد این رابطه می شود
mean(r)=sqrt(8n/3pi)*l

حالا سوال ِ اصلی اینجاست:

اینا چه ربطی به نجوم داشت؟؟؟


طلبه: وقتی یک فوتون در مرکز ِ خورشید متولد می شود، بعد از طی ِ یک مسافت ِ کوتاه، به یک اتم ِ دیگر برخورد و جذب می شود! سپس دوباره در جهتی تصادفی گسیل می شود، شبیه ِ فرایند ِ قدم زدن ِ تصادفی، می خواستم بدانم بعد از چه مدت این فوتون به بیرون ِ خورشید می رسد!

به صورت ِ میانگین فوتون از هر ده آنگستروم، یک بار جذب می شود! یعنی طول ِ قدمها ده آنگستروم است. حالا فاصله ی ِ میانگین باید برابر ِ شعاع ِ خورشید شود که به طور ِ متوسط به دست می دهد حدود ِ 2.5 ضرب در ده به توان ِ 34 بار جذب و گسیل باید اتفاق بی افتد تا فوتون بیرون برود!!!!!

حالا این تعداد اگر ضرب در مدت زمان ِ یک قدم بشود: مدت زمان ِ یک قدم برابر است با طول ِ یک قدم تقسیم بر سرعت ِ نور که می شود حدود ده به توان ِ منفی ِ 20 ثانیه که ضرب در تعداد ِ به دست آمده می شود از مرتبه ی ِ ده به توان ِ 14 ثانیه که می شود از مرتبه ی ِ 10 میلیون سال!

یعنی فوتونی که از سطح ساطع می شود و در عرض ِ 8 دقیقه به ما میرسد، به طور ِ میانگین ده میلیون سال طول کشیده تا از مرکز ِ خورشید به سطح بیاید!

شیخ: احسنت! احسنت! تبارک....!

(اثرات ِ امتحان ِ آمار و احتمال!!!!)

[پیمان اکبرنیا]

مسئلهٌ یا شیخ! اگر شخصی در جهتی کاملا تصادفی شروع به قدم برداشتن کند، بعد از n قدم کجاست؟ اگر در هر قدم به اندازه ی ِ l حرکت کند!

شیخ:

بله! این مسئله جواب ِ کاملا درست و یکتا ندارد! چه این که شخص ِ معلوم الحال تصادفی می رود و معلوم نیست کجا باشد، و چه این که حتی ممکن است بعد از هزار قدم به مرکز برگردد! اما می توان فهمید اگر چندین بار این کار را انجام دهد میانگین ِ فاصله ای که از مبدا می گیرد چه قدر است!

فقط کافی است بفهمیم که بعد از n بار قدم برداشتن، احتمال ِ حضورش در هر بازه ای از فاصله چه قدر است! دقت کنید احتمال ِ حضور در یک نقطه ی ِ مشخص صفر است درست همان طور ِ که جرم ِ یک نقطه از یک ماده صفر است! اما درست به همان شیوه که ما به هر نقطه از ماده یک چگالی ِ جرم نسبت می دهیم ، این جا هم می توان به هر نقطه یک چگالی ِ احتمال نسبت داد!

فرض کنید شخص یک قدم بردارد! اگر بخواهیم مسئله را دو بعدی بررسی کنیم، به مکان ِ شخص باید زوج ِ x,y نسبت دهیم، اگر تعداد ِ زیادی این آزمایش (فقط قدم ِ اول) را تکرار کنیم و هر بار زوج ِ مختصه ی ِ x1,y1 را مکان ِ شخص بعد از یک قدم برداشتن بدانیم، میانگین ِ تمام ِ این x1,y1 ها صفر می شود!!!!! طبیعی است. چون سمت ِ منفی و مثبت ِ هر مختصه متقارن است و فرقی ندارد، به همان اندازه که در منفی ها یافت می شود، در مثبت ها هم یافت می شود!

این اتفاق ِ خوبی نیست! ما می دانیم دست ِ کم به اندازه ی ِ l از مبدا دور شده! پس میانگین ِ مجذور ِ مختصه ها را پیدا می کنیم! چون برای ِ هر زوج ِ x1,y1 می دانیم که جمع ِ مجذور ِ هر زوج برابر است با l^2 و x,y هم فرقی با هم ندارند و متقارن هستند پس سهم ِ هر مختصه نصف ِ l^2 است یعنی میانگین ِ x1,y1 ها هر کدام l^2/2 است.

طلبه: یا شیخ! بعد از 1000 قدم چه؟

شیخ: صبر کن! الله مع الصابرین!

بعد از n بار قدم برداشتن ، که n هم بسیار بزرگ است، مسئله قدری پیچیده می شود! اگر فاصله ی ِ شخص از مبدا را با r نشان دهیم، میانگین ِ تمام ِ r ها را می شود محاسبه کرد! اما کمی سخت! توزیع ِ x را بعد از هزار بار قدم برداشتن می توان توزیع ِ نرمال در نظر گرفت!

چون جمع ِ n بار عمل مختلف است می توان اثبات کرد توزیع ِ نرمال حاصل خواهد شد! میانگین ِ این توزیع قطعا صفر است (به همان دلیلی که میانگین ِ توزیع ِ x بعد از یک قدم صفر می شد). اما میماند واریانس که آن هم n ضرب در واریانس ِ یک بار قدم برداشتن خواهد بود! پس همه چیز مشخص است! میماند یک جمع زنی روی ِ r ها و با استفاده از چگالی ِ احتمال میانگین ِ r ها به دست می آید:

mean(r)=sqrt(n*pi/4)*l

طلبه: یا شیخ! این ها که برای ِ دو بعد بود! برای ِ سه بعد چه؟

شیخ:
برای ِ سه بعد این رابطه می شود
mean(r)=sqrt(8n/3pi)*l

حالا سوال ِ اصلی اینجاست:

اینا چه ربطی به نجوم داشت؟؟؟


طلبه: وقتی یک فوتون در مرکز ِ خورشید متولد می شود، بعد از طی ِ یک مسافت ِ کوتاه، به یک اتم ِ دیگر برخورد و جذب می شود! سپس دوباره در جهتی تصادفی گسیل می شود، شبیه ِ فرایند ِ قدم زدن ِ تصادفی، می خواستم بدانم بعد از چه مدت این فوتون به بیرون ِ خورشید می رسد!

به صورت ِ میانگین فوتون از هر ده آنگستروم، یک بار جذب می شود! یعنی طول ِ قدمها ده آنگستروم است. حالا فاصله ی ِ میانگین باید برابر ِ شعاع ِ خورشید شود که به طور ِ متوسط به دست می دهد حدود ِ 2.5 ضرب در ده به توان ِ 34 بار جذب و گسیل باید اتفاق بی افتد تا فوتون بیرون برود!!!!!

حالا این تعداد اگر ضرب در مدت زمان ِ یک قدم بشود: مدت زمان ِ یک قدم برابر است با طول ِ یک قدم تقسیم بر سرعت ِ نور که می شود حدود ده به توان ِ منفی ِ 20 ثانیه که ضرب در تعداد ِ به دست آمده می شود از مرتبه ی ِ ده به توان ِ 14 ثانیه که می شود از مرتبه ی ِ 10 میلیون سال!

یعنی فوتونی که از سطح ساطع می شود و در عرض ِ 8 دقیقه به ما میرسد، به طور ِ میانگین ده میلیون سال طول کشیده تا از مرکز ِ خورشید به سطح بیاید!

شیخ: احسنت! احسنت! تبارک....!

(اثرات ِ امتحان ِ آمار و احتمال!!!!)

یا شیخ از سخنانت گریبان چاک دادیم و سر به بیابان گذاشتیم!

فقط یک سوال: اون میانگین طول پویش آزاد که عددش را ده آنگستروم فرض کردیم برای کل خورشیده؟

[Ehsan]

یا شیخ از سخنانت گریبان چاک دادیم و سر به بیابان گذاشتیم!

فقط یک سوال: اون میانگین طول پویش آزاد که عددش را ده آنگستروم فرض کردیم برای کل خورشیده؟

اینجا میانگین فرض کردم! بستگی به چگالی ِ خورشید داره! مثلا توی ِ هسته خیلی از این مقدار کمتره! اما توی ِ سطح خیلی از این مقدار بیشتره! ولی من چگالی متوسط گرفتم! برای ِ کل ِخورشید ثابت!

اخترفیزیکه دیگه از این تقریبها زیاد داره!