نقاط لاگرانژی

[stargazer]

وقتی اثر میدان گرانشی دوجرم در فضا مانند زمین و خورشید یا مشتری و خورشید را می سنجیم نقاطی را در اطراف آنها می یابیم که اگر جرم سومی با گرانش ناچیز در آنها قرار بگیرد در تعادل گرانشی به سر خواهد برد.این نقاط خاص نقاط لاگرانژی نام دارند.

توی این تاپیک میخایم راجع به این نقاط توضیح بدیم و هر نکته ای که دوستان به نظرشون میرسه راجع به این نقاط رو مطرح کنن. با تصاویر و توضیحات کامل. حتی خبرها و یافته های جدیدی که راجع بهشون مطرح میشه رو می تونیم اینجا مطرح کنیم.
ممنون از دوستانی که همراهی می کنن

[المپیاد نجوم]

سلام. میشه محاسبات مربوط به 3 نقطه ی اول لاگرانژی رو یاد بدید؟ ممنون!

[شادي شهراييني]

درود بر شما...واقعا به این موضوع علاقه پیدا کردم و اولین بار بود که میشنیدم...!!!
یک سوال برام پیش اومد!!! شاید ابتدایی و ساده باشه...!
شما گفتین 2 جرم با گرانش بالا وجود داره که یک منطقه و نقطه ای هست که سومین جرم با گرانش کم تر می تونه در تعادل باشه!!! حالا در نظر بگیریم...3 تا جرم هستن با گرانش بالا!!! و 1جرمی با گرانش کم تر! بازم این قضیه نقاط لاگرانژی کاربرد داره؟؟؟
با سپاس فراوان

[پیمان اکبرنیا]

درود بر شما...واقعا به این موضوع علاقه پیدا کردم و اولین بار بود که میشنیدم...!!!
یک سوال برام پیش اومد!!! شاید ابتدایی و ساده باشه...!
شما گفتین 2 جرم با گرانش بالا وجود داره که یک منطقه و نقطه ای هست که سومین جرم با گرانش کم تر می تونه در تعادل باشه!!! حالا در نظر بگیریم...3 تا جرم هستن با گرانش بالا!!! و 1جرمی با گرانش کم تر! بازم این قضیه نقاط لاگرانژی کاربرد داره؟؟؟
با سپاس فراوان

سلام

اگر اشتباه نکنم مساله ای که شما مطرح کردید در حالت کلی حل خاصی نداره. (یعنی مساله 3 جرم). بنابر این بسته به این که شرایط اولیه مثل سرعت و مکان نسبی اعضای مجموعه چطور باشه حالتهای مختلف حرکتی پیش میاد. و به طور کلی میشه گفت که این اجرام مدارهای پایدار مشخصی نخواهند داشت مگر در حالت های خاص. حالا اگر جسم چهارمی هم اضافه بشه باز هم پیچیدگی حل معادلات بیشتر میشه و به دست آوردن مشخصات سینماتیکی و دینامیکی مجموعه سخت تر پس احتمالا دیگه نقاط لاگرانژی مثل مساله 2 جسم نقاط مشخصی نخواهند بود.

در لینک زیر برخی حرکت های 3 جسم در حالت کلی را خواهید دید. معادلات حرکت هم توضیح داده شده است:

http://www.scholarpedia.org/article/Three_body_problem

[پیمان اکبرنیا]

سلام. میشه محاسبات مربوط به 3 نقطه ی اول لاگرانژی رو یاد بدید؟ ممنون!

سلام

در لینک زیر نحوه به دست آوردن نقطه اول لاگرانژی به کمک روابط حرکت و گرانش توضیح داده شده است که نسبتا کامله. با کمی کمک از مترجم گوگل میتونید مطالعه اش کنید. به طور کلی راه حل اینه که برآیند نیروهای دو جسم پر جرم بر جسم کم جرم را محاسبه کرده و برابر فرمول نیروی مرکزگرا در حرکت دایره ای قرار می دهیم و معادله به دست آمده را حل می کنیم. سوالی بود حتما بپرسید:

http://www-spof.gsfc.nasa.gov/stargaze/Slagrang.htm

برای نقاط لاگرانژی 2 و 3 هم شبیه همین حالت است با این تفاوت که جهت نیروهای جسم اول و دوم در برآیند هم جهت است ببینید خودتون می توانید مثل حالت قبل مساله را حل کنید؟

[mohsen4465]

سلام

اگر اشتباه نکنم مساله ای که شما مطرح کردید در حالت کلی حل خاصی نداره. (یعنی مساله 3 جرم). بنابر این بسته به این که شرایط اولیه مثل سرعت و مکان نسبی اعضای مجموعه چطور باشه حالتهای مختلف حرکتی پیش میاد. و به طور کلی میشه گفت که این اجرام مدارهای پایدار مشخصی نخواهند داشت مگر در حالت های خاص. حالا اگر جسم چهارمی هم اضافه بشه باز هم پیچیدگی حل معادلات بیشتر میشه و به دست آوردن مشخصات سینماتیکی و دینامیکی مجموعه سخت تر پس احتمالا دیگه نقاط لاگرانژی مثل مساله 2 جسم نقاط مشخصی نخواهند بود.

در لینک زیر برخی حرکت های 3 جسم در حالت کلی را خواهید دید. معادلات حرکت هم توضیح داده شده است:

http://www.scholarpedia.org/article/Three_body_problem

آقای اکبرنیا چرا مسئله سه جرم انقدر پیچیده است که قابل حل شدن نیست؟ من اصلاً نمیفهمم.خب این که حل کردنش کاری نداره که. 2 تا احتمال وجود داره: احتمال اول اینه که یکی از جرم ها از منظومه به بیرون پرتاب میشه و احتمال دوم اینکه دوتا جرم با هم برخورد میکنن و جرم مرکزی رو بوجود میارن که بعد جرم باقی مونده بدور اون میگرده. در مورد تعداد اجرام بیشتر (چهارتایی، پنچ تایی و ...) هم به همین شکل باید باشه. فکر نمیکنین ریاضی دان ها با غیر قابل تغییر فرض کردن داده ها (همون سه جرم) خودشون با دست خودشون مسئله رو بی جواب گذاشتن. البته تو این حالت هم مسئله حل میشه و جواب این میشه که بعضی اوقات جرم ها با هم برخورد میکنن ولی ادغام نمیشن (مثل برخورد دوتا تیله) و این برخوردها اونقدر ادامه پیدا میکنه که اجرام اضافی به بیرون از منظومه پرت بشن. اصن احتیاجی هم به حل فرمول های پیچیده ریاضی نداشت و با شبیه سازی ذهنی خودم حساب کردم. البته شاید طبق معمول مطلب رو نگرفتم.

[shariatzadeh]

آقای اکبرنیا چرا مسئله سه جرم انقدر پیچیده است که قابل حل شدن نیست؟ من اصلاً نمیفهمم.خب این که حل کردنش کاری نداره که. 2 تا احتمال وجود داره: احتمال اول اینه که یکی از جرم ها از منظومه به بیرون پرتاب میشه و احتمال دوم اینکه دوتا جرم با هم برخورد میکنن و جرم مرکزی رو بوجود میارن که بعد جرم باقی مونده بدور اون میگرده. در مورد تعداد اجرام بیشتر (چهارتایی، پنچ تایی و ...) هم به همین شکل باید باشه. فکر نمیکنین ریاضی دان ها با غیر قابل تغییر فرض کردن داده ها (همون سه جرم) خودشون با دست خودشون مسئله رو بی جواب گذاشتن. البته تو این حالت هم مسئله حل میشه و جواب این میشه که بعضی اوقات جرم ها با هم برخورد میکنن ولی ادغام نمیشن (مثل برخورد دوتا تیله) و این برخوردها اونقدر ادامه پیدا میکنه که اجرام اضافی به بیرون از منظومه پرت بشن. اصن احتیاجی هم به حل فرمول های پیچیده ریاضی نداشت و با شبیه سازی ذهنی خودم حساب کردم. البته شاید طبق معمول مطلب رو نگرفتم.

در مدل سازی ذهنی شما هیچ حالتی وجود نداره که سه جرم به دور همدیگر بچرخند و هیچ وقت هیچ کدامشان فرار نکنند یا به هم برخورد نکنند؟ به عبارتی ، سه جرم همیشه سه جرم بمونن .
اگر وجود داره میشه بگید چه طور میشه مشخصات مدار هاشون رو به دست آورد ؟
به شکل زیر نگاه کنید .



در تصویر، سه جرم رو می بینید که به دور مرکز جرمشان در حال گردش اند و هیچ مدار مشخصی را نمی توان به آنها نسبت داد . در حالی که هیچگاه به هم برخورد نمی کنند و همیشه نیز مقید می مانند.
این سه جرم دارای جرم مساوی هستند و در لحظه اول هر سه روی محور X قرار داشتند و فقط جرم دوم سرعت اولیه داشته است . دو جرم دیگر از حالت سکون شروع به حرکت کردند . کوچکترین تغییر در حالت اولیه تغییرات اساسی در مدارها ایجاد می کند.
ما در مسئله دو جرم توانستیم چند ثابت حرکتی مانند تکانه زاویه ای و انرژی مکانیکی و خروج از مرکز رو پیدا کنیم که با اونها بتونیم معادلاتمون رو حل کنیم . در بررسی مسئله سه جرم ما نمی توانیم به تعداد معادلات و مجهولات ثوابت حرکتی پیدا کنیم و این ما رو محدود کرده .
این که مسئله سه جرم جواب نداره رو میشه به صورت تحلیلی اثبات کرد .

[المپیاد نجوم]

اثبات این که مسئله ی سه جرم جواب نداره چه طوریه؟

[mohsen4465]

در مدل سازی ذهنی شما هیچ حالتی وجود نداره که سه جرم به دور همدیگر بچرخند و هیچ وقت هیچ کدامشان فرار نکنند یا به هم برخورد نکنند؟ به عبارتی ، سه جرم همیشه سه جرم بمونن .
اگر وجود داره میشه بگید چه طور میشه مشخصات مدار هاشون رو به دست آورد ؟

سلام آقای شریعت زاده
خب من هم به همین نتیجه رسیدم دیگه. یا جرم سوم به بیرون از منظومه پرت میشه یا اینکه دوتا از جرم ها با هم برخورد میکنن. اینکه بخوایم زورکی مسئله ریاضی رو به جواب مشخصی برسونیم (پایداری هر سه جرم) کار درستی نیست. البته میدونم این مسئله یک معما در سطح علمیه اما بنظر من یکجور سرکاریه! جواب این سوال در واقعیت به قول ریاضی دان ها «تهی»ه. مثل یک معادله ای که جواب نداره ولی ما بخوایم به زور حلش کنیم. اما اگه خودمون رو از قید و شرط بی مورد این مسئله خلاص کنیم (لزوم پایداری هر سه جرم در منظومه نهایی) و به واقعیت بپردازیم متوجه میشیم که جواب مسئله سه جرم به برخورد دو جرم و یا فرار یکی از اجرام منتهی میشه.

[shariatzadeh]

اما اگه خودمون رو از قید و شرط بی مورد این مسئله خلاص کنیم (لزوم پایداری هر سه جرم در منظومه نهایی) و به واقعیت بپردازیم متوجه میشیم که جواب مسئله سه جرم به برخورد دو جرم و یا فرار یکی از اجرام منتهی میشه.

سلام آقا محسن
الزاما اینطور نیست . حالت های بسیاری هست که سه جرم نه به هم برخورد می کنند و نه هیچکدام فرار می کنند . مثل همون شکلی که بالا قرار دادم . سه جرم تا ابد در مسیری که ما نمی تونیم تحلیلش کنیم دور مرکز جرم می چرخند .
برای بدست آوردن مدار سه جرم ما هیچ قید و شرطی نمیذاریم . به برنامه کامپیوتری که می خواد حرکت رو برامون شبیه سازی کنه فقط می گیم جرم ها و سرعت های اولیه چه طور هستند ، همین .
حالا ممکنه اون حالتی که ما انتخاب کردیم در پایداری کامل باشه و هیچ وقت برخوردی رخ نده .
البته یک حالت هایی هست که میشه مسئله سه جرم رو به مسئله دو جرم تبدیل کرد و نیازی به کامپیوتر و شبیه سازی نداریم . مثل نقاط لاگرانژ یا سوالی که توی پست 57 تاپیک مکانیک مداری قرار داره .

[mohsen4465]

سلام آقا محسن
الزاما اینطور نیست . حالت های بسیاری هست که سه جرم نه به هم برخورد می کنند و نه هیچکدام فرار می کنند . مثل همون شکلی که بالا قرار دادم . سه جرم تا ابد در مسیری که ما نمی تونیم تحلیلش کنیم دور مرکز جرم می چرخند .

تا ابد؟ اصلاً نمیتونم چنین چیزی رو درک کنم. تا ابد صرفاً زمانی ممکن میشه که منظومه سه تایی همسان ما چرخۀ خاصی رو پشت سر هم تکرار کنه. شاید تا مدت زمان زیادی بدون برخورد یا فرار یک جرم باقی بمونه اما بعید میدونم تا ابد ادامه پیدا کنه. اصلاً نمیتونم قبول کنم که چرخه ای بی نظم و تکرار ناپذیر تا ابد ادامه پیدا کنه. اگر هم که مسیری تکرار شونده رو دنبال کنن اونوقت باید بشه گفت که مسئله جواب داره که البته احتمال وجود داشتن چنین چرخه ی تکرار پذیری به نظر من غیرممکنه. تنها حالتی که در ذهنم برای چنین حالتی میتونم تصور کنم اینه که سه تا جرم تحت زوایای دقیقاً 120 درجه حول محیط یک دایره کامل قرار بگیرن و با سرعتی که دقیقاً بتونه نیروی گریز از مرکز لازم برای خنثی کردن جاذبه رو ایجاد کنه حول اون دایره بچرخن. این تنها چیزیه که میتونم تصور کنم و البته بسیار بسیار ناپایداره و با کوچکترین تغییری منظومه از هم میپاشه.

ولی خب مسلماً ابر رایانه ها بسیار دقیقتر و صحیحتر از مغز فسقلی من میتونن محاسبات رو انجام بدن. ولی بازم باورش برام سخته.