نقاط لاگرانژی

[stargazer]

وقتی اثر میدان گرانشی دوجرم در فضا مانند زمین و خورشید یا مشتری و خورشید را می سنجیم نقاطی را در اطراف آنها می یابیم که اگر جرم سومی با گرانش ناچیز در آنها قرار بگیرد در تعادل گرانشی به سر خواهد برد.این نقاط خاص نقاط لاگرانژی نام دارند.

توی این تاپیک میخایم راجع به این نقاط توضیح بدیم و هر نکته ای که دوستان به نظرشون میرسه راجع به این نقاط رو مطرح کنن. با تصاویر و توضیحات کامل. حتی خبرها و یافته های جدیدی که راجع بهشون مطرح میشه رو می تونیم اینجا مطرح کنیم.
ممنون از دوستانی که همراهی می کنن

[stargazer]

Ehsan

حالا نوبت استفاده از اون چیزهاییه که قبلا گفتم.
نحوه ی به دست آوردن نقاط لاگرانژی این جوریه که ابتدا فرض می کنند دو تا جسم در مدار دایروی دور هم می چرخند. حالا می خواهند نقاطی رو پیدا کنند که بتونه با همراه با سیستم بچرخه. یعنی فاصله اش نسبت به دو جسم همیشه ثابت بمونه. برای این کار لازمه یه دستگاه مختصات ِ چرخان در نظر بگیریم. یعنی دستگاهی که همراه دو جسم می چرخه و دو جسم توش ثابت به نظر میان ( دقت کنید دو جسم ثابت نیستند و فقط دستگاهمون طوریه که ثابت به نظر میان مثل ِ قطاری که داره حرکت می کنه ولی دستگاه ِ مختصات ِ آدمهای تو قطار اون رو ثابت می بینه). حالا ما می تونیم برای این دستگاه ثابت نمودار ِ پتانسیل رو رسم کنیم و نقاط ِ تعادلش رو پیدا کنیم. به این ترتیب نقاط لاگرانژی پیدا می شوند!
اما رسمشون:
من تابع ِ پتانسیل رو با نرمافزار ِ میپل رسم کردم (همه ی شکلهام مال maple هست):
شکل ِ کلی می شه این:

دقت کنید به لبه ی شکل که خم شده. این به خاطر ِ پتانسیلی هستش که به خاطر ِ چرخش ایجاد میشه و در تعیین نقاط ِ لاگرانژی نقش اساسی داره. اون فرو رفتگی عظیم مربوط به جسم ِ بزرگه و اون فرو رفتگی ِ کوچک هم مربوط به جرم کوچیک تره. تو این نمودار نقاط ِ تعادل خیلی خوب دیده نمی شند. بنا بر این من قسمت های یک نواخت ( از نظر شیب) رو حذف می کنم و فقط اون بالاش رو نگه می دارم:

می بینیم که این شکل هم زیاد واضح نیست بنا بر این باید یه کم شکل رو کش بیاریم تا نقاط ِ تعادل واضح تر بشه:

اون دایره ی بزرگ وسطی همون فرورفته گی جرم ِ بزرگه و اون فرو رفتگی ِ توی دیواره هم مربوط به جرم کوچکتره.
برای این که بتونیم واضح تر ببینیم و دید ِ کلیتری داشته باشیم من این شکل رو از نماهای مختلفی نشون دادم (فلش فایل نمی تونستم درست کنم شرمنده!):
از نمای یه کم بالاتر:

از نمای افقی:

از نمای افقی جانبی:

از نمای پشتی-افقی:

حالا من دوباره از نمای عادی نشون می دم اما کم کم زوم می کنم تا نقاط تعادل رو ببینیم:

با یه کم زوم ِ بیشتر می تونید دو تا نقطه از نقاط ِ تعادل رو به وضوح ببینید که در واقع دو طرف ِ جسم کوچیک قرار دارند و همون لاگرانژی 1 و 2 هستند که نشونشون دادم:

اگه اون شکلی که از پشت بود رو ببینید یکی دیگه از نقاط لاگرانژی معلومه که همون نقطه ی سومه:

(ادامه در پست بعد!!!!!)

[stargazer]

Ehsan

اما اگر به شکلها توجه کرده باشید دو تا قله مانند می بینید که همون نقاط ِ چهارم و پنجم اند که تو شکل ِزیر می بینید:

نقاط ِ لاگرانژی کلا همین ها بودند.
اما با خطوط ِ هم پتانسیل هم دید ِ جالبی به نقاط ِ لاگرانژی (مخصوصا تعادلشون ) داشت.
شکل ِ زیر ِ خطوط ِ هم پتانسیل ِ مربوط به این وضعیت رو نشون میده:

و نقاط ِ لاگرانژی متناظر هم با شکل ِ زیر دیده می شند ( اون نقاط ِ آبی محل اجرام هستند):

ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــ
امیدوارم مفهوم رو به کلی رسونده باشم
به دلیل ِ امتحانات ِ در پیشمون (که تا 4 ام ادامه خواهد داشت) هنوز زیاد وقت ندارم ولی به محض ِ فارغ شدن معادلات و نحوه ی به دست آوردنشون رو به روش فیزیکی-ریاضی می گم.
سوالی هست در خدمتم

[mehdi88]

من اول سلام می کنم به همگی چون تازه عضو شدم

اگه جسارت نباشه قصد دارم به سوالات دوستان به صورت مبسوط جواب بدم.
مباحثی که ehsan مطرح کرد در مورد محاسبه ناحیه هم پتانسیل است که قبل از مطرح کردنشون بهتره مسایل زیر مرور بشه.
نقاط لاگرانژی در واقع نقاط تعادلی معادلات «مساله سه جسم محدود دایروی» هستند. اما «مساله سه جسم محدود دایروی» یعنی چی؟
حرکت سه جسم صرفا تحت تاثیر نیروی گرانشی خودشون به مساله سه جسم معروف است. در این حالت جرم اجسام مورد نظر نزدیک به هم است. حالت خاص این مساله وقتی هست که جرم سه جسم برابر باشه. مدار حرکت حاصل از این دینامیک به شکل 8 خواهد بود.
حال اگر فرض کنیم جرم یکی از این اجسام ناچیز باشه و دو جسم دیگه دارای حرکت کپلری (میشه گفت یعنی حرکت درصفحه) باشند با مساله سه جسم محدود طرفیم و اگر حرکت دو جسم سنگین در مدارهای دایروی باشه با مساله سه جسم محدود دایروی مواجه هستیم. لازم است که توجه کنیم که حرکت دو جسم سنگین تر که اجسام اولیه نامیده می شوند حول مرکز جرمشون صورت میگیره.
معادلات حرکت مساله سه جسم برای سادگی بررسی معمولا در دستگاهی بیان می شود که اجسام اولیه نسبت به آن ثابت به نظر می رسند. لذا خود دستگاه مجبوره که با سرعت دوران اجسام اولیه دوران کنه. این دوران باعث بوجود آمدن شتاب کریولیس میشه. این شتاب کریولیس و شتاب گرانشی موجود و شتاب گریز از مرکز در نقاطی همدیگر رو خنثی می کنند که به نقاط لاگرانژی معروف هستند. سه نقطه همراستا (L1, L2, L3) که توسط اویلر کشف شدند و دو نقطه مثلثی (L4, L5) که توسط لاگرانژ کشف شدند. البته این نقاط به نقاط نوسانی یا رخگرد (Libration Points) هم معروف هستند.
سه نقطه از این 5 نقطه یعنی نقاط تعادلی همراستا (L1, L2, L3) دارای تعادل ناپایدار هستند و دو نقطه مثلثی دارای تعادل پایدار هستند. منظور از تعادل پایدار این هست که اگه به فضاپیمایی که در یک نقطه پایدار قرار داره نیروی کوچکی وارد بشه، ابتدا کمی از اون نقطه منحرف می شه ولی باز به اون نقطه بر میگرده (یا اصطلاحا دوباره به تعادل میرسه). اما اگه اون نقطه تعادل ناپایدار باشه اون نیروی کوچک باعث میشه که فضاپیما از نقطه تعادلش دور بشه و دیگه به اون نقطه بر نگرده.
روش محاسبه این نقاط و بررسی پایداریشون نیامند آشنایی با تئوری معادلات دیفرانسیل و کمی جبر خطی هست (در حد مقادیر ویژه یک ماتریس). اگه دوستان لازم بدونند در فرصت مجزایی به طور مبسوط می نویسم.
تفاوت این 5 نقطه از لحاظ دینامیکی به پایدار و ناپایدار بودنشون بر میگرده که به دو خانواده همراستا و مثاثی تقسیم میشوند. اما از دیدگاه طراحی ماموریت فضایی موقعیت این نقاط هم مهم میشه. (استفاده از مساله سه جسم یا چهار جسم در طراحی ماموریتهای فضایی هم تاپیک خیلی جالب و عظیمیه (
برای اینکه یه سیستم، سیستم سه جسم به حساب بیاد هندسه خیلی مهم هست. برای همین در منظومه شمسی فقط سیستمهای سه جسم زیر رو داریم:
1. خورشید/سیاره-فضاپیما
2. سیاره/قمر-فضاپیما
مثلا: خورشید/مشتری-فضاپیما، زمین/ماه-فضاپیما، مشتری/آیو-فضاپیما و ...
البته به جای فضاپیما میتونه جسم سماویه دیگه ای باشه مثلا همین سیارکهای تروایی!
سیارکهای تروایی یا تروجان دو مجموعه سیارکی هستند که در نقاط لاگرانژی L4 و L5 سیستم خورشید/مشتری قرار دارند. چون این نقاط پایدار هستند این دو مجموعه در این ناحیه از فضا همیشه قرار دارند و به همراه مشتری دور خورشید می چرخند (در شکل اگر دقت کنید این نقاط نسبت به سیاره ثابت هستند البته در دستگاه چرخان که وقتی در یک دستگاه اینرسی به اون نگاه کنیم در حال دوران به نظر میرسند)
یه نکته دیگه این که نقاط لاگرانژی در تئوری یه نقطه هستند و در عمل یه ناحیه ای از فضا هستند.
امیدورام مفید واقع بشه!

[mehdi88]

البته من یه شکلهای قشنگی هم دارم که الان همراهم نیست که آپلود کنم. ایشالا سر فرصت (;

[stargazer]

ممنون جناب mehdi88 از مطلبتون. ولی اگه امکانش هست مطلبتون رو بازتر کنین و با عکس توضیح بدین تا فهمش آسونتر بشه. راستش من یکی گیج شدم از مطلبتون D:

[mehdi88]

ممنون جناب mehdi88 از مطلبتون. ولی اگه امکانش هست مطلبتون رو بازتر کنین و با عکس توضیح بدین تا فهمش آسونتر بشه. راستش من یکی گیج شدم از مطلبتون D:

كدوم قسمت رو بيشتر باز كنم؟

[stargazer]

این قسمتش:

حرکت سه جسم صرفا تحت تاثیر نیروی گرانشی خودشون به مساله سه جسم معروف است. در این حالت جرم اجسام مورد نظر نزدیک به هم است. حالت خاص این مساله وقتی هست که جرم سه جسم برابر باشه. مدار حرکت حاصل از این دینامیک به شکل 8 خواهد بود.
حال اگر فرض کنیم جرم یکی از این اجسام ناچیز باشه و دو جسم دیگه دارای حرکت کپلری (میشه گفت یعنی حرکت درصفحه) باشند با مساله سه جسم محدود طرفیم و اگر حرکت دو جسم سنگین در مدارهای دایروی باشه با مساله سه جسم محدود دایروی مواجه هستیم. لازم است که توجه کنیم که حرکت دو جسم سنگین تر که اجسام اولیه نامیده می شوند حول مرکز جرمشون صورت میگیره.
معادلات حرکت مساله سه جسم برای سادگی بررسی معمولا در دستگاهی بیان می شود که اجسام اولیه نسبت به آن ثابت به نظر می رسند. لذا خود دستگاه مجبوره که با سرعت دوران اجسام اولیه دوران کنه. این دوران باعث بوجود آمدن شتاب کریولیس میشه. این شتاب کریولیس و شتاب گرانشی موجود و شتاب گریز از مرکز در نقاطی همدیگر رو خنثی می کنند که به نقاط لاگرانژی معروف هستند. سه نقطه همراستا (L1, L2, L3) که توسط اویلر کشف شدند و دو نقطه مثلثی (L4, L5) که توسط لاگرانژ کشف شدند. البته این نقاط به نقاط نوسانی یا رخگرد (Libration Points) هم معروف هستند.

کلا این دو جسمو سه جسمو چهار جسم رو توضیح بدین. فقط خواهشا با تصویر. این مسئله نیاز به تصور داره.
و اگه یه چیز دیگه هم در نظر بگیرین خیلی ممنون میشم. درسته اینجا اساتید محترم بسیاری داریم که دانش بالایی هم دارن اما مبتدیان بسیاری هم داریم از جمله خودم. خواهشا مطالبی رو که بیان می کنین طوری توضیح بدین که منِ مبتدی هم متوجه بشم. خیلی ممنون دوست گرامی

[mehdi88]

در مكانيك سماوي ما به دنبال خركت اجرام سماوي تحت نيروي گرانشي ما بين آن ها هستيم. بررسي هر پديده اي با ساختن يك مدل رياضي شروع ميشه. طبيعتا در ساختن يك مدل رياضي يك سري فرضهاي ساده كننده اي در نظر گرفته مي شود كه بدون اين كه به اصل موضوع لطمه قابل ملاحظه اي بزند، باعث مي شود كه حل و بررسي اون پديده با استفاده از مدل حاصل راحت باشد.
ساده ترين مدلي كه حركت اجرام سماوي رو توصيف مي كند، مدل دو جسم يا مسأله دو جسم است. در اين مدل فرض بر اين است كه در فضا تنها دو جسم وجود داند مثلا فقط زمين و ماه وجود دارند و يا فقط زمين و خورشيد. اين فرض ساده كننده گرچه در ظاهر باعث از بين رفتن دقت مدلسازي مي شود، ولي با مشاهده نتايج با واقعيت يعني مقايسه نتايج حل مسأله دو جسم با مسير واقعي زمين به دور خورشيد و يا مسير ماه به دور زمين ملاحظه مي كنيم كه دقت قابل قبولي را ارائه مي كند.
وقتي دو جسم در فضا داريم كه تنها تاثيرشون روي يكديگر نيروي گرانش باشه، با استفاده از قانون گرانش نيوتن و قانون دوم نيوتن مي توانيم معادلات حركت رو بنويسم. معادله حركت دو جسم داراي حل تحليلي است يعني مي توان براي موقعيت و سرعت رابطه اي بر حسب زمان و موقعيت زاويه اي نوشت. هندسه حل مساله دوجسم هم مقاطع مخروطي است. يعني دايره، بيضي، سهمي و هذلولوي كه بستگي به سرعت و موقعيت جسم سماوي نسبت به يك دستگاه اينرسي نوع اون (يعني دايره يا بيضي يا ... )مشخص مي شود.
نكته ساده كننده ديگه در مساله دو جسم اين هست كه جرم اجرام رو متمركز در مركز جرمشون در نظر مي گيريم. يعني جرم نقطه اي.

باز برگرديم به واقعيت، اين بار فرض كنيد سه جسم در فضا وجود دارند كه تحت تاثير نيروي گرانشي هم هستند. باز جرم نقطه اي ر نظر ميگيريم. با تمام ساده سازي ها، اين مساله داراي جواب تحليلي نيست. در حل كردن اون كار دشواري هست و بايستي از روش هاي عددي استفاده كرد.
براي ساده تر شدن مدل با فرضهاي ساده تري رو در نظر مي گيرند. مثلا فرض مي كنند جسم سوم جرمش ناچيز باشه كه با واقعيت هم جور در مياد. مثلا جرم يك فضاپيماي 5 تني در مقايسه با جرم زمين و ماه ناچيز هست. همچنين فرض مي كنند كه حركت دو جسم سنگين تر در يك صفحه رخ ميدهد كه باز منطقي هست. چون فضاپيما بر روي دو جسم ديگه اثري نميذاره پس حركت مثلا ماه و زمين از مساله دو جسم پيروي مي كنه و لذا مسير حركتشون يك مقطع مخروطي هست كه در يك صفحه واقع هستند.
با همه اين فرضها باز مساله سه جسم محدود جواب تحليلي نداره و بايد با روشهاي عددي بررسي بشه.
اما مساله چهار جسم: اين بار ماه زمين و خورشيد را در نظز بگيريد كه هندسه مشخصي دارند يعني ماه ئر مسير دايروي حول زمين و زمين در مسير دايروي حول خورشيد مي چرخند. حال با اضافه كردن فضاپيما مساله چهار جسم حاصل مي شود.
همين طوز اگر مشتري و دو قمر آيو و گانيمد رو در نظر بگيريد كه دو قمر در دو مسير دايروي حول مشتري مي چرخند، با اضافه كردن فضاپيما با مساله چهار جسم رو به رو هستيم.

[stargazer]

سلام دوستان
از جناب Ehsan خواهش می کنم که این تاپیک رو با توضیحات خوبشون ادامه بدن. ممنون
ضمنا جناب mehdi 88 از پستهای مفید شما هم خوشحال خواهیم شد

[M42]

ببخشید میخواستم بپرسم بحث این تاپیک به سرانجام رسیده یا هنوز ادامه دارد ؟