کوانتوم را قورت بده!

[narcissus flower]

با سلام به دوستان خوب
از اسم تاپیک معلومه میخواهیم در مورد مسائل و اصول و روابط حاکم در کوانتوم بحث کنیم .
چون کوانتوم هم مثل دروسی از این قبیل خوندن صرف نیست بلکه باید درک و بینشی حاصل بشه که فهمیدن رخ بده.

پس باید یک مطالعه و دانشی داشته باشیم که به موضوعی برخوردیم بتونیم درست حلاجی کنیم
شرط اولیه این هست که پایه و پیش زمینه ای از کوانتوم داشته باشیم
...و من خوشحال میشم فرهیختگان حاضر در جمع با حضور سبزشان ما را مشعوف بفرمایند.

تاپیک قرار نیست ساختار اموزشی و سلسله مراتبی منظمی داشته باشه .بلکه هر کسی هر قسمتی رو که براش در این زمینه مبهم هست ,میاد یک توضیح مناسبی پیرامون موضوع میده تا بقیه هم بدونند چی به چی هست و بعد سوال وابهامش رو میپرسه , و خلاصه سعی کنیم با کمک هم کوانتوم رو انچنان که حقش هست بفهمیم

[narcissus flower]

خب شروع میکنیم...
اگر ما یک عملگر تقارنی داشته باشیم و این عملگر به نحوی باشه که هامیلتونی تحت اون ناوردا باشه , این وسط خود هامیلتونی با مولد اون عملگر تقارنی جابه جا میشه . و بر اساس تصویر هایزنبرگ اگر این مولد وابستگی صریح زمانی نداشته میشه ثابت حرکت.
حالا سوال من

اینکه این مولد با عملگر تحول زمانی هم جابه جا میشه به این دلیل هست که هامیلتونی مولد عملگر تحول زمانیه و چون مولد تقارن با هامیلتونی جابه جا میشه , با این هم جابه جا میشه ؟؟
یا اینکه چون از نظر اینکه مولد تقارن ثابت حرکت هست و وابستگی صریح به زمان نداره از دید عملگر تحول زمانی هم یک جورایی ثابت هست از نظر زمانی وبنابراین باهاش جابه جا میشه؟؟
یا هر دو ؟؟

[narcissus flower]

بزارید سوالم رو بیشتر توضیح دهم و کمی هم ریاضی تر اینکه میگم هامیلتونی تحت این عملگر ناوردا باشه یعنی


واین عملگر گاما , دارای مولدی به نام G باشه و جابه جایی با هامیلتونی داشته باشه یعنی اینکه


اگر توی معادله ی حرکت بگذاریم چون G وابسته به زمان نیست پس جمله ی زمانی صفر میشه وجابه جایی با هامیلتونی هم که صفره پس G هست .به این صورت



بنابراین سمت راست کلا صفر میشه و در نتیجه G ثابت هست.



و دوباره همون سوال قبلی چرا Gبا عملگر تحول زمان جابه جا میشه؟؟

البته به صورت مشابه موردی رو دیدم ولی نمیدونم میشه به زمان هم تعمیم داد یا نه ؟میدونیم تکانه ی زاویه ای کل هم مولد دوران هست .و چون عملگر دوران با عملگری نظریه پاریته جابه جا میشه , پس مولد دوران یعنی تکانه ی زاویه ای هم با پاریته جابه جا میشه...
منتظر هم فکری شما هستم زیاد

[Ehsan]

آیا سوالِ شما در باره ی صحتِ این قضیه است که:

«اگر G مولد ِ یک عملگر یکانی مثلِ gamma باشد و A عملگری دلخواه باشد داریم:
A و gamma جا به جا می‌شوند اگر و فقط اگر A با G جا به جا شود»

یا کلا چیزِ دیگری رو مطرح می‌کنید؟ (البته من نگفتم این قضیه درسته ها، فقط میگم سوالِ شما مطرح کردنِ این قضیه است یا نه)

[narcissus flower]

آیا سوالِ شما در باره ی صحتِ این قضیه است که:

«اگر g مولد ِ یک عملگر یکانی مثلِ gamma باشد و a عملگری دلخواه باشد داریم:
A و gamma جا به جا می‌شوند اگر و فقط اگر a با g جا به جا شود»

یا کلا چیزِ دیگری رو مطرح می‌کنید؟ (البته من نگفتم این قضیه درسته ها، فقط میگم سوالِ شما مطرح کردنِ این قضیه است یا نه)

ببینید شما یک عملگر a دارید که مولدش h هست
یک عملگر دیگه هم داریدمثل گاما(که هرمیتی هست) که مولدش gهست.
که در مورد سوال من g ثابت حرکت هم شده و پایسته هست.

حالا این دو تا مولد h,gبا هم جابه جا میشوند.یک توجیه و توضیحی میخوام چرا g باید با a جابه جا بشه؟
البته چون گاما یک عملگری هست که تقارنی هست با مولد Aیعنی H(هامیلتونی) جابه جا میشه.
صرفا چون g,h جابه جا میشه باید aهم که تابع hهست باgجابه جا باید بشه؟؟توضیحی غیر از فرمول میخوام

[Ehsan]

مستحضر هستید که توضیحِ بدون فرمول اونم توی کوانتم چه قدر سخته

راستش من یه توضیحی توی جیبم دارم اما نمی‌دونم تا چه حد صحیح باشه و بیشتر برای قانع کردن خودم بوده، واسه همین هر گونه نقدِ جدی بر این نگاه رو می‌پذیرم ( و حتی بسیار استقبال می‌کنم)

داستان از این جا شروع می‌شه که سعی کنیم معنی صفر شدنِ جا به جا گرِ دو عملگر رو درک کنیم، اگر نگاهِ کاملا جبری داشته باشیم و بخواهیم معنی AB=BA رو شرح بدیم باید واردِ این فضا بشیم که بگیم این دو ماتریس در یک پایه‌ی مشترک قطری می‌شوند و باقی داستانها

اما یک نگاهِ خیلی صوری از این قراره که بگیم AB=BA یعنی دو عملگرِ A و B می‌تونن از توی همدیگه رد بشن و این یعنی اَعمالی که این عملگرها روی فضای هیلبرتِ سیستم انجام می‌دن ربطی به هم نداره و چون هر عملگر نماینده‌ی یک مشاهده پذیر هستش معنی این حرف اینه که من می‌تونم هر دو مشاهده پذیرِ a و b رو با دقتِ بسیار زیاد مشاهده کنم بدونِ این که به محدودیت‌هایی از جنس روابطِ عدم قطعیت برخورد کنم (فراموش نکنید روابطِ عدم قطعیت وقتی به وجود میان که جابه‌جا گرِ بینِ دو عملگر غیر صفر باشه) غیر صفر بودنِ جابه‌جا گر یعنی عملگر‌ها توانایی عبور از همدیگر رو ندارند، یعنی تقریبا دارند یک چیز رو توصیف می‌کنند (به همین خاطر هستش که از روی توزیع مکان به سرعت توزیع تکانه حساب می‌شه و برعکس یعنی تکانه و مکان مستقل از هم نیستند، البته فقط از لحاظِ جبرِ کوانتمی)

بیاید یه طورِ دیگه نگاه کنیم، از نگاهِ خودِ کوانتم و از اون طرف سعی کنیم واردِ مسئله بشیم

فرض کنید دو تا مشاهده پذیر برای یک سیستم پیدا کردیم مثلِ a و b ، حالا اگر بدونیم که این دو مشاهده پذیر هیچ ربطی به هم ندارند (مثلا یکی دما و دیگری اسپینِ سیستم هستش) حالا ما یک فضا برای توصیفِ سیستم داریم که با هر دوی این متغیرها ساخته میشه (برای توصیفِ کاملِ سیستم به هر دوی این متغیرها نیازمندیم) توی کوانتم این فضا رو با ویژه بردارها میسازن در نتیجه بردارهای توصیف سیستم میشه

<a,b|

حالا توی مکانیکِ کوانتمی به جای این که عملگر های A و B رو کشف کنند، خودشون بر اساسِ پایه‌هایی که ساختند (یعنی ویژه بردارها) این عملگرها رو میسازند (در واقع عملگرها ذاتی طبیعت نیستند بلکه ما فقط این عملگرها رو میسازیم تا جبرِ موردِ نیازِ ما رو ایجاد کنه) اما این که a و b به هم ربطی ندارند معنیش اینه که بردارهای بیان شده برای هر دو عملگر ویژه بردار محسوب می‌شن و این که A و B ویژه بردارهای مشترک دارند تنها بیانش میشه این که A و B با هم جا به جا می‌شن. و صد البته از جهتِ اصولِ موضوعه ویژه مقادیرِ A و B باید مقادیرِ قابل مشاهده باشه

حالا فرض کنید من توابعی تحلیلی از مشاهده پذیرهای a و b رو در نظر بگیرم و فرض کنم اینها مشاهده پذیراند (یعنی (f(a و (f(b مشاهده پذیرهای جدیداند) عملگرهای متناظر رو هم Af و Bf در نظر بگیرید. این عملگرها باید تو این دو تا شرط صدق کنند

1. چون a و b مشاهده پذیرهای مستقل از هم هستند توابعی از اونها هم مشاهده پذیرِ مستقل اند بنا بر این ماتریسهای Af و Bf باید با هم جا به جا بشوند (شرطِ مشاهده پذیرِ کامل بودن)

2. ویژه مقادیرِ Af و Bf باید به ترتیب (f(a و (f(b باشه تا در شرطِ مشاهده‌پذیر بودن برای متغیر جدید صدق کنند.

با توجه به این که پایه ها با این عمل (یعنی نگاشت با توابع تحلیلی) عوض نمیشن (شاید عناوین و نشانه های بیانِ پایه عوض بشه ولی پایه ها همون قلبی هستند) به راحتی میشه از لحاظِ جبری نشون داد که (f(A و (f(B دقیقا دو شرطِ بالا رو ارضا می‌کنند و شهودا هم این اتفاق باید بی‌افته یعنی وقتی A و B با هم جا به جا میشه هر تابعی از این دو تا هم باید با هم جا به جا بشه

نمی‌دونم قانع شدید یا نه

بعد نوشت: الان که فکر می‌کنم منظورمو خوب نرسوندم! بیشتر شبیهِ پرت و پلاست!

[narcissus flower]

بزارید من برداشتم رو از فرمایشتون با عملگر های شهودی تر بگم.
دو تا عملگر مثل h هامیلتونی و p تکانه میگیرم.خب اینها با هم جابه جایی دارند .من قبول ندارم جابه جا پذیر بودن لزوما بی ارتباط بودن دو کمیت نسبت به هم رو بیان کنه.بلکه جابه جا پذیر بودن به نظر یعنی اینکه اعمال اندازه گیری یکی , عملکرد دیگری رو دچار اختلال نمیکنه . چون شما تو هامیلتونی هم تکانه دارید ...ندارید؟
همین یک ابهام شد
به فرض این دوتا عملگر میان پایه های ما رو میسازن یعنی پایه هایی منصوب به هامیلتونی و تکانه ...میشه؟
که اگر هر کدام از اینها به پایه مشترک اعمال بشوند میان قسمتی رو به حساس هستند رو اندازه میگیرند و به نوعی در اندازه گیری اون یکی عملگر دخالت نمی کنند.و جابه جا پذیر بودن هامیلتونی و تکانه به ما میگه فرقی نداره اول کدوم اعمال بشه .اما این درسته؟؟واقعا اعمال عملگر تکانه سیستم رو عوض نمیکنه و به دنبالش هامیلتونی دچار تغییر نمیشه؟؟

راستی ممنون از توضیحاتتون.
در ضمن منظور من از فرمول نگفتن این هست که یک هو نگیم این فرمول و قضیه هست و همینی ی که هست!!

[Ehsan]

بزارید من برداشتم رو از فرمایشتون با عملگر های شهودی تر بگم.
دو تا عملگر مثل h هامیلتونی و p تکانه میگیرم.خب اینها با هم جابه جایی دارند .من قبول ندارم جابه جا پذیر بودن لزوما بی ارتباط بودن دو کمیت نسبت به هم رو بیان کنه.بلکه جابه جا پذیر بودن به نظر یعنی اینکه اعمال اندازه گیری یکی , عملکرد دیگری رو دچار اختلال نمیکنه . چون شما تو هامیلتونی هم تکانه دارید ...ندارید؟
همین یک ابهام شد
به فرض این دوتا عملگر میان پایه های ما رو میسازن یعنی پایه هایی منصوب به هامیلتونی و تکانه ...میشه؟
که اگر هر کدام از اینها به پایه مشترک اعمال بشوند میان قسمتی رو به حساس هستند رو اندازه میگیرند و به نوعی در اندازه گیری اون یکی عملگر دخالت نمی کنند.و جابه جا پذیر بودن هامیلتونی و تکانه به ما میگه فرقی نداره اول کدوم اعمال بشه .اما این درسته؟؟

راجع به این که این ایده (جابه‌جایی پذیر بودن هم ارز هستش با بی ربط بودن) به نظرم حق با شماست! راستش نکته اینه که هر عملگری با هر تابعی از خودش جا به جا میشه اما شاید اگر برگردیم به شهودِ اولیه‌ای که گفتم مشکل حل بشه، شهودِ اولیه این بود که جا به جایی پذیر بودن یعنی این که عملگرها می‌تونن از توی هم رد بشن، حالا فرض کنید من دو تا عملگر دارم A و (f(A چون (f(A ترکیبی خطی از توانهای A هستش فرقی نخواهد کرد که اول A اعمال بشه یا اول (f(A . اما در موردِ دو مشاهده پذیری که می‌دونیم تابعی از هم نیستند این رد شدن از توی هم می‌تونه مستقل بودن رو تداعی کنه، خاصه این که ما برای توصیفِ کاملِ سیستم به هر دو مشاهده پذیر نیاز داریم.

قبلا هم اشاره کردم باز هم می‌گم از نظرِ من در کوانتم این عملگرها نیستند که از روشون پایه ها به دست میاد، بلکه این پایه ها هستند که عملگرها رو (در اون پایه ی خاص) میسازند (گرچه در جبرخطی کاملا وارونه عمل میشه یعنی همیشه در جبر ما عملگرها رو داریم و از روی اونها ویژه بردارها و ویژه مقدارها رو استخراج می‌کنیم و البته همین نگاه در «ربط داشتن و نداشتن» هم وارونه می‌شه به این معنی که در جبرِ خطی به ازای یک عملگرِ مشخص، عملگرِ دیگه باید خیلی خاص باشه تا با عملگر اولی جا به جا بشه) روابطِ جا به جایی فقط برای ما اطلاعاتی فراهم می‌کنند که عملگرها رو چه طور در اون پایه‌های خاص بنویسیم مثلا رابطه‌ی جا به جایی تکانه و مکان به ما کمک می‌کنه که بتونیم این عملگرها رو در پایه‌ی همدیگه بنویسیم (تکانه در پایه‌ی مکان یک مشتق هستش، رجوع کنید به درسنامه‌‎ی دکتر کریمی‌پور)

واقعا اعمال عملگر تکانه سیستم رو عوض نمیکنه و به دنبالش هامیلتونی دچار تغییر نمیشه؟؟

این سوالتون باعث شد چیزی به ذهنم برسه: اندازه گیری باعث میشه تابع موج سیستم به یکی از پایه‌ها فرو بریزه، اگر قرار باشه انرژی فقط تابع تکانه باشه با فرو ریزش تکانه به یکی از ویژه‌پایه‌هاش طبیعتا انرژی هم باید به ویژه‌پایه‌ی متناظر بره (برعکس صحیح نیست چون انرژی تبهگنی داره و با دونستنِ انرژی هنوز دو مقدار برای تکانه محتمله)

خوب حالا نکته چیه؟ ویژه‌بردارها واقعا بیانگرِ حالتهای سیستم هستند، ما باید جبری رو بسازیم که در اون وقتی می‌گیم« دو تا مشاهده پذیر ربطی به هم ندارن ( ==مقادیر قابل حصول از اندازه‌گیری هر کدام مستقل از هم هستش)» هم ارزِ این باشه که «بردارهایی مثل <a,b| برای حالتِ سیستم هست که میشه باهاشون سیستم رو توصیف کرد»

این بردارها چه عملگری رو می‌سازند؟ عملگرهای جابه‌جا پذیر، به طرز بسیار جالبی روابطِ جابه‌جایی مشاهده پذیر ها دقیقا با روابط کروشه پواسن در مکانیکِ کلاسیک هم‌ارز هستش. از طرفی این توجیه به ما می‌گه که ویژه بردارهایی که مشاهده پذیرهای a و (f(a رو توصیف می‌کنه باید در واقعیت دقیقا یکی باشند و عملگرهای متناظری که هر دوی این مشاهده‌پذیرهای در اصل یکسان رو توصیف می‌کنه باید ویژه‌بردارهاش مشترک باشه که این یعنی A و (f(A باید با هم جا به جا بشن که می‌شن.

ـــــــــــــ

فکر کنم خیلی از بحثِ اصلی منحرف شدیم نه؟!

[narcissus flower]

سلام
ممنون از توضیحات
فقط من یک نکته ای رو عرض کنم .

شما فرض کنید یک ذره دارید که تحت تاثیر یک پتانسیلی باشه.
حالا ما یک عملگر داریم به نام عملگر برگشت زمان .که نام دیگه اش برگش حرکت هم هست.
مکان یا xنسبت به این عملگر زوج هست بنابراین پتانسیل هم که تابع مکان هست , زوج میشه و به همین دلیل هامیلتونی میتونه با این عملگر در اینجا جابه جا بشه.
خود مستحضر هستید که هامیلتونی مولد عملگر تحول زمانی هست .پس عملگر تحول زمانی تابعی از چیزی هست با عملگر برگشت زمان جابه جا میشه .
اما نکته این هست تحول زمانی با برگشت زمان جابه جا نمیشه.
بنابراین وقتی میخواهیم در مورد توابعی که از عملگر ها سررشته میگیرند حرف بزنیم باید محتاط باشیم.
و من فکر میکنم یکانی بودن عملگر نکته ی مهمی برای صحبتها مون باید باشد.نه؟

قبلا هم اشاره کردم باز هم می‌گم از نظرِ من در کوانتم این عملگرها نیستند که از روشون پایه ها به دست میاد، بلکه این پایه ها هستند که عملگرها رو (در اون پایه ی خاص) میسازند (گرچه در جبرخطی کاملا وارونه عمل میشه

جا داره در ادامه ی فرمایشتون این رو هم اضافه کنیم که:
تغییر پایه و یا حتی نوع فضا میتونه موجود رو تغییر هویت بده .مثلا در یک فضای خارجی موجود یک بردار تعریف بشه در حالیکه در فضای هیلبرت (یک فضا با بعد بی نهایت که ما تو ذهنمون میسازیم تا یک سری محاسبات رو با ازادی بیشتری انجام بدیم)نقش یک اپراتور رو بازی کنه .بنابراین تعریف پایه اصیل تر از کاربرد موجود به عنوان عملگر میتونه باشه.

[Pale_Rider]

سلام ،
یه سوال دارم که خیلی وقته ذهنم رو مشغول کرده :
از معادله ی موج چطوری به تابع سای شرودینگر می رسیم ؟