پرسش و پاسخ نجوم کروی

[افسانه مهاجري]

با سلام

اين تاپيك برای مطرح نمودن سوالات مربوط به نجوم کروی ایجاد شده است. می توانید سوالات خود را مطرح نموده و با کمک اساتید و دوستان گرامی به جواب خود برسید.

موفق باشيد

[Ehsan]

اگر 100 عدد الکترون روی یک سطح کروی بطور یکنواخت توزیع کنیم در اینصورت فاصله زاویه ای هر الکترون تا الکترون مجاور آن چند درجه خواهد بود؟

(توضیح: باتوجه به اینکه الکترونها قطبهای همنام هستند و همدیگر را دفع می کنند بنابراین توزیع آنها بر روی کره باید یک توزیع یکنواخت و منتظم باشد و در نتیجه فاصله الکترونها از هم باید یک مقدار ثابتی باشد. حالا به نظر شما این مقدار ثابت چقدر است؟)

از اونجایی که آدمِ تبنلی هستم این مسئله رو در متلب شبیه سازی کردم تصویرش رو می‌تونید ببینید:



شخصا نمی‌تونم هیچ الگوی منظمی توش تشخیص بدم!

من این مسئله رو حتی برای شش تا بار هم شبیه سازی کردم اما در کمالِ تعجب حتی در این مورد هم جوابِ یکتایی به دست نیومد در حالی که می‌دونیم برای این مورد دیگه جوابِ منظمی وجود داره، اما گویا الزاما تنها جواب نیست.

این هم کد شبیه سازی (البته اگر بخواهید مطمئن بشید )

clear;clc
n=100;%number
R=1;

ph=2*pi*rand(1,n);
th=pi*rand(1,n);

    x=R.*cos(ph).*sin(th);
    y=R.*sin(ph).*sin(th);
    z=R.*cos(th);


%velocities
vx=zeros(size(ph));
vy=zeros(size(ph));
vz=zeros(size(ph));
k=-10;
ts=1/25;%time scale
rsc=1.3;%scale of free space
for s=1:500

    for l=1:n
        for m=1:n
            if l~=m;
                acx(m)=k*((x(m)-x(l))/((x(l)-x(m))^2+(y(l)-y(m))^2+(z(l)-z(m))^2)^(2/2));%force(k/r)
                acy(m)=k*((y(m)-y(l))/((x(l)-x(m))^2+(y(l)-y(m))^2+(z(l)-z(m))^2)^(2/2));
                acz(m)=k*((z(m)-z(l))/((x(l)-x(m))^2+(y(l)-y(m))^2+(z(l)-z(m))^2)^(2/2));
            else
                acx(m)=0;acy(m)=0;acz(m)=0;
            end
        end
        vx(l)=vx(l)+ts*(sum(acx));
        vy(l)=vy(l)+ts*(sum(acy));
        vz(l)=vz(l)+ts*(sum(acz));
    end
    for l=1:n
        x(l)=x(l)+ts*vx(l);
        y(l)=y(l)+ts*vy(l);
        z(l)=z(l)+ts*vz(l);
    end
    ph=atan2(y,x);
    th=atan2(sqrt(x.^2+y.^2),z);
    x=R.*cos(ph).*sin(th);
    y=R.*sin(ph).*sin(th);
    z=R.*cos(th);

    plot3(x,y,z,'r.','MarkerSize',15),grid on;view([1,1,1]);xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');
    hold on
    sphere
    axis square;
    axis([-rsc*R rsc*R -rsc*R rsc*R -rsc*R rsc*R]);
    colormap gray
    hold off
    drawnow;
end

[smhm]

ظاهر سوال به نظر میاد خیلی ساده است (مساحت کره تقسیم بر 100) اما حلش به این راحتی ها هم نیست.

می تونید اینطور تصور کنید که 100 تا نقطه ریختیم روی کره، بعد هر کدوم از این نقاط آرام آرام رشد می کنند و قطرشون زیاد میشه تا جاییکه این دایره ها با هم مماس میشن و دیگه جایی برای افزایش قطر ندارند و رشدشون متوقف میشه. در اینصورت نقاط ما که در مرکز دایره ها قرار دارند بطور یکنواخت روی سطح کره توزیع شده اند و فاصله هر کدوم از یکدیگر برابر است با قطر دایره ها.

به نظر میاد اینکار شدنی است و جواب داره. اما من میتونم ثابت کنم که چنین توزیعی روی سطح کره امکان پذیر نیست.!!
بهتره بگم فقط برای تعداد خاصی نقاط اینکار شدنی است و نه برای هر تعداد دلخواه.

اثبات به روش برهان خلف:
فرض کنید 100 تا دایره صغیره با قطرهای مساوی روی کره داریم که همگی با هم مماس هستند.
در اینصورت هر سه دایره کنار هم تشکیل یک مثلث کروی متساوی الاضلاع را میدهند که هر ضلع مثلث برابر است با قطر دایره ها.


از طرفی می دانیم که مجموع زوایای داخلی یک مثلث کروی بیشتر از 180 درجه هست. بنابراین هر یک از زاویه های داخلی این مثلث باید بیشتر از 60 درجه باشد.
با این توضیح به نظر شما از هر نقطه چند ضلع می تواند خارج شود؟ یا بعبارتی در اطراف هر دایره چند دایره می تواند مماس شود؟
واضحه که حداکثر 5 ضلع (یا 5 دایره). چون اگر قرار باشد در اطراف یک دایره 6 دایره یا بیشتر وجود داشته باشد لازم است که زاویه هر رأس مثلث 360/6=60 درجه یا کمتر باشد که چنین مثلث کروی متساوی الاضلاعی وجود ندارد.
در واقع در اطراف هر دایره فقط 3 یا 4 یا 5 دایره می تواند قرار گیرد نه بیشتر و نه کمتر. یعنی سه حالت بیشتر وجود ندارد.

حالا بیایید حالت حداکثر را در نظر بگیریم. یعنی 5 دایره:
اگر کنار هر دایره 5 دایره مماس باشد در اینصورت زاویه هر رأس از مثلث ما برابر است با 360/5=72 درجه یا 1.26 رادیان.
طبق فرمول مساحت مثلث کروی، مساحت مثلث ما برابر است با: (r^2*(1.26+1.26+1.26-pi
= r^2*pi/5
حالا مساحت کره را تقسیم بر مساحت مثلث می کنیم تا ببینیم چند تا از این مثلث روی کره وجود دارد: 4pi*r^2 تقسیم بر pi*r^2/5 مساوی است با 20
یعنی کره ما تبدیل شده است به یک 20 وجهی که هر وجه آن یک مثلث متساوی الاضلاع است و نقاط ما در محل رأس های این 20 وجهی قرار دارند.
چون هر مثلث از سه رأس تشکیل شده پس 20*3=60 رأس وجود دارد و چون هر رأس با 5 مثلث مشترک است پس در کل 60/5= 12 رآس بر روی کره وجود دارد.
یعنی این 20 وجهی ما فقط 12 رأس دارد. بعبارتی دیگر در حالت حداکثر فقط 12 نقطه را می توان بر روی کره بطور یکنواخت توزیع نمود نه 100 نقطه!!!

حالت های دیگر را هم میتونید بررسی کنید:
در حالتی که هر دایره با 4 دایره محاط شده باشد یک 8 وجهی داریم با 6 رأس
در حالتی که هر دایره با 3 دایره محاط شده باشد یک 4 وجهی داریم با 4 رأس

در واقع بیشمار چند ضلعی منتظم می توانیم داشته باشیم اما بیشمار چند وجهی منتظم وجود ندارد.

[smhm]

این مسأله من را بیاد یک نظریه قدیمی می اندازد. بله اجسام افلاطونی

Tetrahedron


Cube or hexahedron



Octahedron


Dodecahedron


Icosahedron


افلاطون بر این باور بود که تمام ذرات کیهانی از این چند عنصر ساخته شده اند!. البته این نظریه خیلی وقتهاست که کنار گذاشته شده و الان همه به آن می خندیم.

ولی من فکر میکنم این سخن چندان بی ربط هم نیست. باید جور دیگه ای به این قضیه نگاه کرد.
به نظر من هرگونه توزیع ماده در کیهان که از این الگوهای پنج گانه پیروی نکند یک توزیع غیریکنواخت و ناپایدار است و تمایل دارد خودش را به این الگوها برساند حالا با افزایش ماده یا از دست دادن ماده.
.
.
.
شاید اصلا جهان ما در اصل یک 4 وجهی منتظم است که در آینده با افزایش چگالی یکدفعه تبدیل به 8 وجهی شود.
(البته اینکه شوخی بود ولی کلا این احجام قابل تأمل هستند)

[fatemeh.zar]

سلام
من یه سوال داشتم
میشه حرکت ماه در طول یک شبانه روز رو تشریح کنید؟ و اینکه سمت و ارتفاعشو چجوری میتونیم بدست بیاریم؟

[s.mz]

سلام، يه سوال داشتم، براي محاسبه زاويه كشيدگي اجرام در هر لحظه از فرمول كسينوس هاي در مثلثات كروي ميشه استفاده كرد ؟
اگه اين راه جواب نميده، ميتونيد راهنمائي كنيد از چه راهي بايد برم؟

[celestial boy]

سلام.

سلام
من یه سوال داشتم
میشه حرکت ماه در طول یک شبانه روز رو تشریح کنید؟ و اینکه سمت و ارتفاعشو چجوری میتونیم بدست بیاریم؟

بستگی به مقدار تقریبی داره که میتونید بزنید.اگه مدار ماه رو دایروی و در صفحه دایره البروج فرض کنید خیلی راحت میشه.دو راه به نظرم می رسه.یکی اینکه از فاز ماه استفاده کنید و با توجه به مکان اون لحظه خورشید، مکان ماه رو به دست بیارید.
یکی اینکه به صورت برداری بنویسید و هر دو حرکت (حرکت غرب به شرق خود ماه و حرکت شرق به غرب آسمون) رو توش لحاظ کنید.البته در اون صورت هم باید تاریخ دقیق مقارنه یا مقابله یا فاز ماه رو داشته باشید.(همون راه اول بهتره اصلا )

سلام، يه سوال داشتم، براي محاسبه زاويه كشيدگي اجرام در هر لحظه از فرمول كسينوس هاي در مثلثات كروي ميشه استفاده كرد ؟
اگه اين راه جواب نميده، ميتونيد راهنمائي كنيد از چه راهي بايد برم؟

بستگی داره اطلاعات مسئله چی باشه.اگه یه موقعیت خاصی از خود جرم آسمونی (مثلا فاز) رو داده باشه باید مثلث مسطحه زمین-جرم-خورشید رو حل کنید.
اگه مختصات جرم و خورشید رو داده باشه می تونید از همون کسینوس ها استفاده کنید.
بازم میگم بستگی به مسئله داره. ممکنه یه راه خاص تری داشته باشه.

[s.mz]

من منظورم همون با داشتن مختصات بود، الان ديگه مطمئن شدم!
مرسي!

[fatemeh.zar]

سلام.

بستگی به مقدار تقریبی داره که میتونید بزنید.اگه مدار ماه رو دایروی و در صفحه دایره البروج فرض کنید خیلی راحت میشه.دو راه به نظرم می رسه.یکی اینکه از فاز ماه استفاده کنید و با توجه به مکان اون لحظه خورشید، مکان ماه رو به دست بیارید.
یکی اینکه به صورت برداری بنویسید و هر دو حرکت (حرکت غرب به شرق خود ماه و حرکت شرق به غرب آسمون) رو توش لحاظ کنید.البته در اون صورت هم باید تاریخ دقیق مقارنه یا مقابله یا فاز ماه رو داشته باشید.(همون راه اول بهتره اصلا )

الان باید می فهمیدم؟؟ خب نفهمیدم!!! هم راه هاتون رو توضیح بدید هم حرکت ماه تو آسمون زمین رو!! ینی مثلا از شرق طلوع میکنه یه مسیر دایره ای طی میکنه و میره به سمت غرب یا ... هیچ جا ندیدم اینو توضیح داده باشه

[celestial boy]

الان باید می فهمیدم؟؟ خب نفهمیدم!!! هم راه هاتون رو توضیح بدید هم حرکت ماه تو آسمون زمین رو!! ینی مثلا از شرق طلوع میکنه یه مسیر دایره ای طی میکنه و میره به سمت غرب یا ... هیچ جا ندیدم اینو توضیح داده باشه

حرکت ماهو اگه بخواید خیلی دقیق بررسی کنید و خروج از مرکز و میل مداری رو در نظر بگیرید، فک نکنم دستی حل بشه.مخصوصا این که گره مداریش هم جابجا میشه.واسه همین جایی توضیح نمیدن.نرم افزار که هست دیگه کسی دنبال این چیزا نمیره

اما اگه تقریب بزنید و e و i رو بیخیال شید٬ حرکت ماه عین حرکت خورشید میشه. خورشید هر روز یه دور از شرق به غرب آسمون طی می کنه.بعلاوه هر روز حدوداً یک درجه هم از غرب به شرق میره.میلش هم متغیره.واسه همین هر روز طلوع خورشید چند دقیقا با روز قبل اختلاف دار.
ماه هم همینه.هر «یک روز منهای ۵۰ دقیقه» یک دور از شرق به غرب میره. ۵۰ دقیقه مال اینه که ماه دور زمین از غرب به شرق حرکت می کنه.حدودا روزی 13 درجه جابجا میشه که معادل ۵۰ درجس.میلش هم در یک روز خیلی تغییر می کنه.اگه بهتون فاز و مکان خورشید رو بدن (توی رصد) به راحتی و بدون محاسبه می تونید زمان طلوع و مکان فعلی ماه رو تخمین بزنید!!
اگه بخواید یه معادله بنویسید که برای هر لحظه مکان ماه رو بده٬ بهترین کار اینه که نسبت به خورشید بنویسید. 1: کشیدگی ماه رو به صورت یه تابعی از فاز ماه بنویسید 2: میل ماه رو بر حسب «میل اون لحظه خورشید» و «کشیدگی ماه» بنویسید 3: بُعد ماه رو بر اساس میلش بنویسید.
کار جالبی نیست. سه تا معادله و سه تا مجهول!! ولی بهترین تقریبه به نظرم.
امیدوارم تونسته باشم منظورمو برسونم

[mohsen4465]

الان باید می فهمیدم؟؟ خب نفهمیدم!!! هم راه هاتون رو توضیح بدید هم حرکت ماه تو آسمون زمین رو!! ینی مثلا از شرق طلوع میکنه یه مسیر دایره ای طی میکنه و میره به سمت غرب یا ... هیچ جا ندیدم اینو توضیح داده باشه

حرکت ماه پیچیده‌ست و مکانش تابع عوامل زیادیه. از شرق طلوع میکنه و در عین حال حرکت انتقالی از غرب به شرق داره. مسیر حرکتش تو آسمون یه خط کاملاً صاف نیست و بصورت مواج حرکت میکنه. ضمناً بیضوی بودن مدار رو هم باید مدنظر قرارداد. بنظر من بهترین روش برای تعیین سمت و ارتفاع ماه شبیه سازیه؛ چون عوامل زیادی روی مکانش نسبت به افق تأثیر میذارن.