در جوابتون باید بگم که همونجور که قبلا گفتم ما برای بررسی هر فضایی به یک بعد بالا تر نیاز داریم یعنی مانمیتونیم مثلا یک کره رو در یک فضای 2 بعدی بررسی کنیم و باید به یک فضای 3 بعدی بریم
همین طور برای بررسی یک کره ی 3 بعدی به یک بعد اضافی نیاز داریم یعنی باید اون رو توی 4 بعد بررسی کنیم که بعد چهارم رو میتونیم بر حسب بقیه مولفه ها بنویسیم در نتیجه اون متریک در فضای 4 بعدی به 3بعد اون برای مشخص کردن حجم بیشتر نیاز نداریم و بعد چهارمش فقط برای مشخص کردن فاصله فضا-زمانی بین 2 رویداد به کار میره و در مشخص کردن حجم کاربردی نداره و کره صرفا در بعد فضایی بررسی میشه و به بعد بعدی فقط برای درکش نیاز داریم
اون انتگرال حجم رو من جایی ندیدم که اثباتش کنه و فکر کنم اثباتش مربوط به کتاب های نسبیت عام پیشرفته تر باشه اما اون جوری که من متوجه شدم اون دترمینان متریک یه جورایی حکمr رو در محاسبات معمولی داره (اگر یک بردار رو به زبان تنسوری بنویسید فکر کنم متوجه شید اون g از کجا میاد) و میگردم اگه توی کتاب های پیشرفته تر اثباتش رو دیدم میذارم
موفق باشید
-------------------------------------
پ.ن:اثبات رابطه رو پیدا کردم اگه خواستید میذارم و مربوط میشه به درس هندسه دیفرانسیل در نسبیت عام