مکانیک مداری

[پیمان اکبرنیا]

سلام دوستان

این تاپیک را ایجاد کردم تا در اون به بررسی معادلات حرکت اجسام در اثر نیروی جاذبه بپردازم. اینجا مکانی است که در اون، سرعت، شتاب، نیرو و روابط و معادلات دینامیکی و سینماتیکی اجسام در مدارهایشان را بررسی خواهیم کرد. این مدارها هم همگی مقاطع مخروطی هستند.

در این تاپیک به بررسی هندسی مدارها نمی پردازیم، هندسه و معادلات هندسی مدارها و مقاطع مخروطی در دستگاههای مختصات را میتونید در تاپیک مقاطع مخروطی از همین تالار دنبال کنید.

برای دنبال کردن مباحث این تاپیک نیاز دارید تا با مبانی مکانیک نیوتونی از جمله مفاهیم سینماتیک و دینامیک یک و دو بعدی، آشنایی داشته باشید. مباحث پیش نیاز، به صورت ساده در فیزیک 2 دبیرستان و به صورت پیشرفته تر در کتابهای فیزیک پایه دانشگاهی مثل فیزیک پایه هالیدی(جلد 1)موجود است!

:welcome:

از دوستان خواهش می کنم قبل از خواندن پست مورد نظر ، پست های قبلی را نیز مرور بفرمایند . چون هر مطلب پیش نیاز مطالب بعدی است .

لیست برخی از مطالب مهم و آموزشی این تاپیک به همراه لینک به مطلب:
مفاهیم پایه حرکت دایره ای (http://forum.avastarco.com/forum/showthread.php?792-%D9%85%DA%A9%D8%A7%D9%86%DB%8C%DA%A9-%D9%85%D8%AF%D8%A7%D8%B1%DB%8C&p=20268&viewfull=1#post20268) ، تعریف سرعت زاویه ای (http://forum.avastarco.com/forum/showthread.php?792-%D9%85%DA%A9%D8%A7%D9%86%DB%8C%DA%A9-%D9%85%D8%AF%D8%A7%D8%B1%DB%8C&p=20330&viewfull=1#post20330) ، روابط سرعت زاویه ای و شتاب و نیروی مرکز گرا (http://forum.avastarco.com/forum/showthread.php?792-%D9%85%DA%A9%D8%A7%D9%86%DB%8C%DA%A9-%D9%85%D8%AF%D8%A7%D8%B1%DB%8C&p=20412&viewfull=1#post20412) ، حرکت تحت نیروی گرانش (http://forum.avastarco.com/forum/showthread.php?792-%D9%85%DA%A9%D8%A7%D9%86%DB%8C%DA%A9-%D9%85%D8%AF%D8%A7%D8%B1%DB%8C&p=32419&viewfull=1#post32419) ، انرژی مدار (http://forum.avastarco.com/forum/showthread.php?792-%D9%85%DA%A9%D8%A7%D9%86%DB%8C%DA%A9-%D9%85%D8%AF%D8%A7%D8%B1%DB%8C&p=32475&viewfull=1#post32475) ، سرعت شعاعی و مماسی (http://forum.avastarco.com/forum/showthread.php?792-%D9%85%DA%A9%D8%A7%D9%86%DB%8C%DA%A9-%D9%85%D8%AF%D8%A7%D8%B1%DB%8C&p=32578&viewfull=1#post32578) ، مداری دایروی (http://forum.avastarco.com/forum/showthread.php?792-%D9%85%DA%A9%D8%A7%D9%86%DB%8C%DA%A9-%D9%85%D8%AF%D8%A7%D8%B1%DB%8C&p=32666&viewfull=1#post32666) ، حرکت تحت نیروی گرانش خطی (http://forum.avastarco.com/forum/showthread.php?792-%D9%85%DA%A9%D8%A7%D9%86%DB%8C%DA%A9-%D9%85%D8%AF%D8%A7%D8%B1%DB%8C&p=32679&viewfull=1#post32679) ، مدار بیضی (http://forum.avastarco.com/forum/showthread.php?792-%D9%85%DA%A9%D8%A7%D9%86%DB%8C%DA%A9-%D9%85%D8%AF%D8%A7%D8%B1%DB%8C&p=32732&viewfull=1#post32732) ، مدار سهمی (http://forum.avastarco.com/forum/showthread.php?792-%D9%85%DA%A9%D8%A7%D9%86%DB%8C%DA%A9-%D9%85%D8%AF%D8%A7%D8%B1%DB%8C&p=32863&viewfull=1#post32863) ، مدار هذلولی (http://forum.avastarco.com/forum/showthread.php?792-%D9%85%DA%A9%D8%A7%D9%86%DB%8C%DA%A9-%D9%85%D8%AF%D8%A7%D8%B1%DB%8C&p=33029&viewfull=1#post33029) ، مدت زمان گذشته از حضیض (http://forum.avastarco.com/forum/showthread.php?792-%D9%85%DA%A9%D8%A7%D9%86%DB%8C%DA%A9-%D9%85%D8%AF%D8%A7%D8%B1%DB%8C&p=33203&viewfull=1#post33203) ، آنومالی خروج از مرکزی (http://forum.avastarco.com/forum/showthread.php?792-%D9%85%DA%A9%D8%A7%D9%86%DB%8C%DA%A9-%D9%85%D8%AF%D8%A7%D8%B1%DB%8C&p=33354&viewfull=1#post33354) ، آنومالی میانگین و معادله زمانی کپلر (http://forum.avastarco.com/forum/showthread.php?792-%D9%85%DA%A9%D8%A7%D9%86%DB%8C%DA%A9-%D9%85%D8%AF%D8%A7%D8%B1%DB%8C&p=33542&viewfull=1#post33542) ، حل مساله از معادله کپلر (http://forum.avastarco.com/forum/showthread.php?792-%D9%85%DA%A9%D8%A7%D9%86%DB%8C%DA%A9-%D9%85%D8%AF%D8%A7%D8%B1%DB%8C&p=33790&viewfull=1#post33790) ، معادله زمانی مدارهای سهمی (http://forum.avastarco.com/forum/showthread.php?792-%D9%85%DA%A9%D8%A7%D9%86%DB%8C%DA%A9-%D9%85%D8%AF%D8%A7%D8%B1%DB%8C&p=44387&viewfull=1#post44387)

[پیمان اکبرنیا]

در یک حرکت دایره ای دلخواه، میشه گفت که شتاب حرکت یک جسم میتونه 2 مولفه داشته باشه، یکی در راستای شعاعی و دیگری در راستای مماسی ( دو راستای عمود بر هم). به شکل زیر دقت کنید:

2747

همون طور که مشخصه، راستای سرعت در جهات مماس بر دایره است ( اندازه اش در حالت کلی میتونه متغییر باشه) ولی راستای شتاب یک راستای دلخواهه. پس شتاب در حرکت دایره ای در حالت کلی دو مولفه داره.

اما بیایید مساله گرانش را در نظر بگیریم، در مساله دو جسم که به هم نیروی گرانش وارد می کنند، نیروی گرانش همواره در راستای خط واصل دو جسم است، میدانیم برای جسم: F=ma ، چون نیرو در راستای خط واصل دو جسمه، پس شتاب هم حتما در راستای دو جسمه. به شکل زیر نگاه کنید:

2748

همون طور که مشخصه، شتاب در راستای مرکز است ( جسم مرکزی که عامل گرانش و شتاب است رسم نشده است.)

پس نتیجه بسیار مهم: در حرکت یک جسم به دور جسمی دیگر در اثر نیروی گرانش، شتاب همواره به سمت مرکز است. دقت کنید که مهم نیست حرکت دایره ای باشه یا بیضوی یا سهمی و هذلولی، به دلیل مرکز گرا بودن نیروی گرانش، شتاب همواره به سمت مرکز گرانش هست.

برگردیم به مساله دایره ای خودمون: به دلیل این که شتاب در جهت مرکز دایره است، اندازه سرعت هیچ وقت عوض نمیشه. پس شتاب که یعنی تغییرات سرعت بر زمان، باعث تغییرات چه چیز بر زمان میشه؟

در حرکت دایره ای یکنواخت، شتاب باعث تغییر راستای سرعت میشه! به شکل زیر نگاه کنید:

2749

بردارهای سرعت V1 و V2 با اندازه مساوی را در نظر بگیرید. شتاب یعنی تغییرات بردار سرعت به زمان یعنی:
2750

چون بردار تغییرات سرعت یعنی V2-V1 = Δv در راستای مرکز دایره هست، پس شتاب هم به سمت مرکز دایره است.

نتیجه گیری: در حرکت دایره ای یکنواخت اندازه سرعت ثابت است و جهت سرعت همواره عوض میشود. جهت سرعت همواره عمود به راستای شعاعی است.

[Amin-Mehraji]

آقای اکبرنیا ... با تشکر بسیار از مطالبی که میگذارید ...

" در مسیر های دایره ای بواسطه ی تغییر اندازه ی بردار سرعت جسم همواره شتابی به نام شتاب مماسی خواهد داشت . این شتاب همواره بر مسیر دایره ای مماس خواهد بود "

3 سوال

1 - این جمله درسته یا نه ؟

2 - تغییر اندازه ی بردار سرعت با تغییر اندازه ی سرعت فرق دارند ؟ ( چون 2 جا اشاره کردید که سرعت ثابته )

3 - شتاب مماسی ؟:crazy:

[پیمان اکبرنیا]

آقای اکبرنیا ... با تشکر بسیار از مطالبی که میگذارید ...

" در مسیر های دایره ای بواسطه ی تغییر اندازه ی بردار سرعت جسم همواره شتابی به نام شتاب مماسی خواهد داشت . این شتاب همواره بر مسیر دایره ای مماس خواهد بود "

3 سوال

1 - این جمله درسته یا نه ؟

2 - تغییر اندازه ی بردار سرعت با تغییر اندازه ی سرعت فرق دارند ؟ ( چون 2 جا اشاره کردید که سرعت ثابته )

3 - شتاب مماسی ؟:crazy:


سلام

1- جمله شما برای حالت کلی درسته. یعنی اگر در حرکت دایره ای، اندازه بردار سرعت تغییر کند. علاوه بر شتاب در راستای شعاع (شتاب شعاعی). یک شتاب دیگر خواهیم داشت به نام شتاب مماسی. بگذارید مثالی بزنم. فرض کنید جسمی بر روی مسیر دایره ای در حال حرکته و اندازه سرعتش هست 5 متر بر ثانیه و ثابته. در این حالت جسم فقط شتاب شعاعی داره (به سمت مرکز) و فقط جهت بردار سرعتش عوض میشه. اما اگر اندازه سرعت جسم هم در طول زمان عوض بشه. یعنی مثلا از 5 متر بر ثانیه، برسه به 6 متر در ثانیه. اونوقت شتاب مماسی هم خواهد داشت. شتاب مماسی در حرکت دایره ای اندازه سرعت را عوض میکنه.

2- در حرکت دایره ای هرجا گفتم سرعت ثابته، منظورم اندازه بردار سرعت بوده. وگرنه جهتش تغییر میکنه.

3- شتاب مماسی یعنی شتاب در راستای مماس بر دایره. این شتاب در حرکت دایره ای باعث تغییر اندازه سرعت میشه. در حرکت دایره ای یک جسم به دور یک جسم دیگه که حاصل از نیروی گرانش مرکزی باشه. این شتاب همواره برابر صفر است.

[پیمان اکبرنیا]

در این پست میخواهیم با مفهومی به نام سرعت زاویه ای آشنا بشیم. مفهوم سرعت زاویه ای شبیه به مفهوم سرعت خطی است. در مبحث سرعت خطی میدونستیم که سرعت متوسط عبارت است از جابه جایی بخش بر زمان.
2713

سرعت متوسط را می توانستیم به کمک واحدهای مختلفی همانند: متر بر ثانیه، کیلومتر بر ساعت و ... بیان کنیم.
حال برسیم به مفهوم سرعت زاویه ای. سرعت زاویه ای متوسط یعنی زاویه طی شده بر حسب زمان. به شکل زیر نگاه کنید:
2714

جسمی، زاویه ی Δθ (دلتا تتا) را در مدت زمان Δt طی کرده است. سرعت زاویه ای متوسط این جسم که با حرف یونانی امگا کوچک (ω) نمایش داده می شود، از رابطه زیر به دست می آید:

2715

سرعت زاویه ای هم مانند سرعت خطی میتواند با واحد های مختلفی بیان شود. مثل: درجه بر ثانیه، درجه بر دقیقه، درجه بر ساعت، رادیان بر ثانیه و ... .

یک مثال بزنیم: سرعت زاویه ای متوسط عقربه ی ثانیه شمار ساعت چقدر است؟

جواب: عقربه ثانیه شمار 360 درجه را در 60 ثانیه طی میکند پس سرعت زاویه ای آن 6 درجه بر ثانیه است.
همین جواب را می توان بر حسب واحد دیگری نیز بیان کرد. مثلا اگر بخواهیم بر حسب رادیان بر ثانیه بیان کنیم:
عقربه ثانیه شمار در 60 ثانیه 360 درجه، معادل 2π (دو پی) رادیان را طی میکند. پس سرعت زاویه آن بر حسب رادیان بر ثانیه برابر است با:

ω= 2π /60 = 0.1047 rad/ s


یک مثال دیگر: سرعت زاویه زمین در مدارش به دور خورشید چقدر است؟
جواب: زمین 360 درجه را در 365.25 روز طی میکند پس سرعت زاویه ای آن برابر است با:

ω= 360 /365.25

یا حدودا 0.98 درجه بر روز است.

[پیمان اکبرنیا]

در پست قبلی مفهوم سرعت زاویه ای را مطرح کردم. در این پست یک قدم جلو میرویم و روابط سرعت و شتاب را به دست می آوریم و آن را به نیرو ربط میدهیم.

فرض کنید جسمی روی یک مسیر دایره ای به طور یکنواخت (با سرعت ثابت) حرکت میکند. اگر این جسم یک دور کامل دایره را در زمان T طی کند، سرعت زاویه ای اون چقدر خواهد بود؟ خب ما میدونیم سرعت زاویه ای میشه زاویه طی شده بر حسب زمان، اگر زاویه طی شده را بر حسب رادیان در نظر بگیریم، یک دور کامل معادل 2π رادیان خواهد بود و سرعت زاویه ای از رابطه زیر به دست می آید:

2726

سرعت زاویه در این رابطه بر حسب رادیان بر ثانیه خواهد بود. ( از این به بعد همیشه هر جا حرف از سرعت زاویه ای شد بر حسب رادیان بر ثانیه بیانش میکنیم).حال ببینیم سرعت از چه رابطه ای به دست می آید؟ سرعت بنا به تعریف هست: مسافت طی شده بر واحد زمان. فرض کنید جسمی یک دور کامل را روی دایره طی کند. سرعتش میشه مسافت طی شده یعنی محیط دایره(2πr) تقسیم بر زمان(T) یا:

2727

حال از دو رابطه بالا به رابطه پایین میرسیم:

2728

رابطه بالا بسیار مهمه و بیان میکنه که سرعت خطی برابره با سرعت زاویه ای، ضرب در شعاع دایره.

حال ببینیم شتاب در حرکت دایره ای یکنواخت چگونه به دست می آید؟ شتاب یعنی تغییرات بردار سرعت بر حسب زمان:
2729

بدون این که اثبات کنم (چون اینجا جاش نیست ولی یک محاسبه برداری ساده است که از شکل بالا به دست می آید) میشه به دست آورد که شتاب برابر است با:

2730

اگر اثباتش را متوجه نمی شوید فعلا خیلی مهم نیست. نتیجه را ببینید:

2731

رابطه بالا خیلی مهمه! داره میگه که شتاب برابر است با سرعت به توان دو، تقسیم بر شعاع دایره! (در آینده از این رابطه مثال خواهم زد)

حال میدانیم که نیوتون خدا بیامرز گفت F=ma پس مینویسیم:

2732

از این رابطه، نیروی مرکزگرا بر حسب سرعت، شعاع و جرم به دست می آید.

2733

نیروی مرکزگرا، مانند شتاب، به سمت مرکز دایره و عمود بر سرعت جسم است.

2734

دقت کنید که دلیل تغییر نکردن اندازه سرعت همینه، نیرو به سرعت عموده و فقط میتونه جهتش رو عوض کنه.
رابطه زیر هم با جایگذاری v=r*w در رابطه قبلی به دست می آید:

2735

در پست بعد از این روابط مثال خواهم زد و کاربردشون را بررسی میکنم.

[Scorpius]

يکي از کاربردهاي روابط مکانيک مداري محاسبه ي دوره تناوب اجرامي هستش که تحت تاثير نيروي گرانش هستند.منظور از تناوب ، گردش اونها به دور جرم ثانويه اي هست که جرم بيشتري داره.اجرامي مثل سيارات که به دور ستاره ها مي گردند و يا ستاره ها که حول محور کهکشانشون و یا ماهواره ها که به دور زمين و يا سياره هاي ديگه در حال گردش هستند.

تمامي اين اجرام در فاصله اي از يک مرکز ثقل قرار گرفتند که بر آيند نيرو هاي وارد بر اونها ، حرکتي پايدار(نميگم يکنواخت،البته طبق قانون اول نيوتن بايد بگم يکنواخت)رو باعث ميشه . در هر صورت در بازه هاي دوره هاي تناوبي میشه گفت حرکت يکنواخته.این همون عامليه که باعث ميشه زمين ميلياردها سال حول يک ستاره در حال گردش باشه.طبق قانون اول نيوتن بايد بر آيند نيروهاي وارد بر اين اجرام صفر باشه.ما اين مسله رو در حالي فرض مي کنيم که مدار حرکت، دايره اي هستش چون در حرکت بيضوي هميشه بر آيند نيروها صفر نيست و چون دايره هم حالتي خاص از بيضيه اين رابطه بدست اومده رو در بازه هاي تناوبي ميشه تعميم داد
براي جرمي مثل زمين دو نيروي اصلي وجود داره که بر اون وارده :
يکي نيروي گرانشي که از جانب خورشيد بهش اعمال ميشه
و از رابطه ي معروف گرانش يعني :

[/URL]http://up98.org/upload/server1/01/y/nval08e682zbr9kqzhq8.gif (http://up98.org/upload/server1/01/y/nval08e682zbr9kqzhq8.gif)

بدست مياد.
و نيروي ديگه نيروي گريز از مرکز زمينه که بردار اون بر مدار حرکت انتقالي زمين به جز مواقعی خاص کاملا مماس نيست (اگه همواره مماس بود حرکت انتقالي زمين کاملا دايروي مي شد). البته دقت داریم که نیروی گریز از مرکز یک نیروی مجازی است. یعنی در واقع به صورت درست تر این است که بگوییم نیروی مرکز گرا. جهت نيرو هميشه عمود بر شتاب مرکز گراي زمينه (تو کتاباي دبيرستان در باره ي شتاب مرکز گرا و حرکت دوراني توضيح داده) طبق رابطه ي شتاب مرکز گرا داریم:

http://up98.org/upload/server1/01/y/4ked1twp4ak7hua1ndi.png (http://up98.org/upload/server1/01/y/4ked1twp4ak7hua1ndi.png)


پس طبق فرمول نیوتن نیروی مرکزگرا برابر ميشه با:

http://up98.org/upload/server1/01/y/11sb240b6spkrsppd55h.gif (http://up98.org/upload/server1/01/y/11sb240b6spkrsppd55h.gif)


که عامل ایجاد شتاب مرکز گراست .حالا طبق قانون اول نیوتن بايد نیروی مرکزگرا برابر باشد با نیروی گرانش زیرا در واقع همین نیروی گرانش هست که به جسم، شتاب مرکزگرا وارد میکنه. با مساوي قرار دادن دو رابطه ،نهايتا به یک فرمول مي رسيم:


http://up98.org/upload/server1/01/y/g54sbe945p39xknghqdc.png (http://up98.org/upload/server1/01/y/g54sbe945p39xknghqdc.png)



http://up98.org/upload/server1/01/y/umzjqmlg1ei7bssofwn.gif (http://up98.org/upload/server1/01/y/umzjqmlg1ei7bssofwn.gif)

حالا یک متغییرجدید تعریف می کنیم

[URL="http://up98.org/upload/server1/01/y/bbitc073d0mdswjynqzj.gif"]http://up98.org/upload/server1/01/y/bbitc073d0mdswjynqzj.gif (http://up98.org/upload/server1/01/y/bbitc073d0mdswjynqzj.gif)

پس:
http://up98.org/upload/server1/01/y/s4j1406ty27jrmphcow.gif (http://up98.org/upload/server1/01/y/s4j1406ty27jrmphcow.gif)
رابطه ی بالا سرعت مداری را به ما ميده و ميگه که در يک ثانيه، جرم چند متر از مدار خودش رو طي ميکنه.

پس کافيه طول مدار جرم رو داشته باشیم تا بتونيم به دوره تناوب اجرام سماوي دست پيدا کنيم
جالبه که دوره تناوب اجرام در اين نوع حرکت به جرم اونا بستگي نداره و تنها تابع فاصله ي مرکز ثقل هر کدوم اونها از همديگست.یعنی فرقی نمیکنه یه زباله ی فضایی دور زمین بگرده یا مثلا ایستگاه فضایی بین المللی.

[Scorpius]

حالا می خواهیم از رابطه ی بدست اومده استفاده کنیم و کاربرد اون رو در واقعیت ببینیم .
می خواهیم دوره تناوب تنها قمر زمین یعنی ماه رو حساب کنیم .برای محاسبه ی این مقدار باید متغیرr یعنی فاصله ی مرکز ماه از مرکز زمین برامون معلوم باشه.
میدونیم ماه در مداری بیضی شکل به دور زمین می گرده و اوج و حضیض داره .ما می تونیم پارامتر ها رو با دقت های دلخواه بدست بیاریم.برای محاسبه ی دقیق باید محیط بیضی ای که ماه اون رو در مدت یک دوره طی میکنه ، دراختیار داشته باشیم .همچنین تابع تغییر سرعت ماه بر حسب فاصله از کانونها رو داشته باشیم.
بنظرم در اینجا بهتره که برای سادگی و درک بهتر تقریب بزنیم و مدار ماه رو دایروی فرض کنیم .این کار دوره تناوب ماه رو با دقت خوبی بهمون میده.فاصله ی میانگین ماه از زمین چیزی در حدود380000 کیلومتره.از اونجایی که فاصله ی مرکز دو جرم برامون ملاکه باید شعای ماه و زمین رو هم به این مقدار اضافه کنیم .شعاع میانگین زمین 6400 کیلومتر و شعاع میانگین ماه 1730 کیلومتره.پس اول r رو حساب می کنیم:



http://up98.org/upload/server1/01/y/pyjpgotd3xh5cuv6uw6.gif


حالا از فرمول کمک می گیریم و سرعت ماه رو بر حسب کیلومتر بر ثانیه محاسبه می کنیم:

http://up98.org/upload/server1/01/y/dvq8l6x8hp38vubdi4z.gif

یعنی ماه در هر ثانیه 1 کیلومتر در مدارش دور زمین پیش میره.همونطور که گفتم حالا به راحتی میشه دوره ی گرش ماه رو با تقریب خوبی بدست آورد

http://up98.org/upload/server1/01/y/robpiz9mj24t2bcll9nd.gif

این مقدار دوره تناوب گردش ماه به دور زمین بر حسب ثانیه است.البته این عدد برای ما زیاد جالب نیست. بهتره که دوره گردش ماه رو بر حسب روز بدست بیاریم.می دونیم هر روز 86400 ثانیست پس کافیه عدد بدست اومده رو بر 86400 تقسیم کنیم.داریم:


http://up98.org/upload/server1/01/y/0utww6lr8t5ai2qum2.gif


عدد بدست اومده دوره تناوب ماه رو عددی در حدود 27 یا 28 روز زمینی نشون میده که با تقریب مناسب با واقعیت سازگاره.می بینیم که روابط تئوری و واقعیت همدیگرو تایید میکنند.البته می تونیم با اعمال جزئیات بیشتر پارامترها مثلا احتساب بیضی بودن مدار ماه دقت محاسباتمون رو تا جایی که می خوایم بالا ببریم.

[mosayeb7141]

سلام
با تشکر از شما
سوالی در مورد نحوه حرکت انتقالی یک سیاره دور یک ستاره یا سیاره دیگر داشتم. مثلا گردش ماه دور زمین.
اگه فرض کنیم ماه دور خودش نمیچرخد(حرکت وضعی نداشته باشد) اونوقت گردشت ماه به دور زمین طبق مکانیک مداری چگونه خواهد بود؟
اگه فرضا" در ابتدای حرکت، یک نقطه از ماه را با حرف a نشان دهیم و این نقطه رو به زمین باشد با فرض بالا آیا نقطه a در تمام مدت گردش ماه دور زمین، رو به زمین است یا حالت دیگری (مثلا شکل شماره 2 ) دارد؟37663768

[mahshid yaali]

سلام
با تشکر از شما
سوالی در مورد نحوه حرکت انتقالی یک سیاره دور یک ستاره یا سیاره دیگر داشتم. مثلا گردش ماه دور زمین.
اگه فرض کنیم ماه دور خودش نمیچرخد(حرکت وضعی نداشته باشد) اونوقت گردشت ماه به دور زمین طبق مکانیک مداری چگونه خواهد بود؟
اگه فرضا" در ابتدای حرکت، یک نقطه از ماه را با حرف a نشان دهیم و این نقطه رو به زمین باشد با فرض بالا آیا نقطه a در تمام مدت گردش ماه دور زمین، رو به زمین است یا حالت دیگری (مثلا شکل شماره 2 ) دارد؟37663768
سلام؛
پاسخ پرسش شما در همین تصاویری که نهاده اید وجود دارد . اگر ماه حرکت وضعی (حول خود ) نداشت قطعاً ناظران زمینی قادر به مشاهده ی بخش عظیمی از سطوح آن بودند . و ثبوت نقطه ای رو به روی زمین (اتفاقی که در واقعیت رخ می دهد ) ، در گرو چرخش ماه حول محور خود ، آن هم با دوره تناوبِ _تقریباً_ برابر با گردش انتقالی آن به دور زمین است .

[mahshid yaali]

سلام
ویدئوی زیر نیز به سادگی _و در عین حال _ وضوح ، بیانگر چگونگی حرکات وضعی و انتقالی ماه است . (مقصود بنده سومین نوع چرخش ماه در این فیلم است )
لینک دانلود ویدئو (http://uplod.ir/344u7vwzteza/___Synchronous_Rotation_of_the_Moon_______-_YouTube.flv.htm)

[shariatzadeh]

نیروی گرانش یک نیروی مرکزی است . یعنی جهت بردار نیرو همیشه به سمت مرکز مختصات است . پس نیروی گرانش مولفه ای در جهت مماسی ندارد .مولفه های شعاعی و مماسی نیرو در مختصات قطبی به ترتیب عبارتند از :
(1) http://www.wikiastro.ir/images/a/a2/Mypi1.png (http://www.wikiastro.ir/index.php/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:Mypi1.png)
و
(2 )http://www.wikiastro.ir/images/a/a0/M3_%281%29.png (http://www.wikiastro.ir/index.php/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:M3_(1).png)
صفر بودن مولفه شعاعی نیرو در میدان گرانش باعث صفر شدن شتاب در این راستا می شود .ترکیب این نتیجه با معادله قبلی نتیجه زیر را دربر دارد :
(3) http://www.wikiastro.ir/images/3/37/M3_%282%29.png (http://www.wikiastro.ir/index.php/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:M3_(2).png)
که این یعنی حاصلضرب اندازه بردار مکان در سرعت مماسی برابر یک مقدار ثابت است . یا اندازه تکانه زاویه ای در میدان نیروی مرکزی ثابت است .از اینجا به بعد پارامتر جدیدی به نام تکانه زاویه ای ویژه یا تمانه زاویه ای بر واحد جرم را تعریف می کنیم و آن را با h نشان می دهیم .پس
( 4) http://www.wikiastro.ir/images/3/37/M4-1.png (http://www.wikiastro.ir/index.php/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:M4-1.png)
که در آن : u=1/rبا دو بار مشتق گیری از u و قرار دادن نتایج حاصل در معادله (1) و استفاده ازمعادله (4) معادله زیر به دست می آید :
(5) http://www.wikiastro.ir/images/a/a8/M6_%281%29.png (http://www.wikiastro.ir/index.php/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:M6_(1).png)
با حل معادله دیفرانسیل بالا برای هر نیروی مرکزی می توان رابطه بین r و θ را به دست آورد .در اینجا می خواهیم معادله دیفرانسیل بالا را برای نیروی گرانش حل کنیم . پس :
(6)http://www.wikiastro.ir/images/8/83/M6_%282%29.png (http://www.wikiastro.ir/index.php/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:M6_(2).png)
و با قرار دادن در معادله (5) داریم :
(7) http://www.wikiastro.ir/images/8/83/M8_%282%29.png (http://www.wikiastro.ir/index.php/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:M8_(2).png)
این معادله یک نوسانگر است که حل آن به معادله زیر می انجامد :
(8) http://www.wikiastro.ir/images/0/09/M8_%281%29.png (http://www.wikiastro.ir/index.php/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:M8_(1).png)
که A و θ0 ثوابتی هستند که مقدار آنها را شرایط اولیه تعیین می کند .پس :
(9) http://www.wikiastro.ir/images/1/13/M10_%282%29.png (http://www.wikiastro.ir/index.php/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:M10_(2).png)
معادله (9) معادله یک مقطع مخروطی را نشان می دهد که خروج از مرکز آن e ،از رابطه زیر به دست می آید :
e=(h^2 *A)/(GM)همچنین با مقایسه صورت کسر معادله 9 با معادله کلی یک مقطع مخروطی به نتیجه زیر میرسیم :
(10)http://www.wikiastro.ir/images/e/ea/M10_%281%29.png (http://www.wikiastro.ir/index.php/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:M10_(1).png)
که a نیم قطر بزرگ مدار مقطع مخروطی است .

[shariatzadeh]

طبق تعریف تکانه زاویه ای (http://wiki.avastarco.com/index.php/%D8%AA%DA%A9%D8%A7%D9%86%D9%87_%D8%B2%D8%A7%D9%88% DB%8C%D9%87_%D8%A7%DB%8C) ، سرعت مماسی یک جسم با تکانه زاویه ای (http://wiki.avastarco.com/index.php/%D8%AA%DA%A9%D8%A7%D9%86%D9%87_%D8%B2%D8%A7%D9%88% DB%8C%D9%87_%D8%A7%DB%8C) ویژه l برابر است با : l / r
در نتیجه انرژی (http://wiki.avastarco.com/index.php/%D8%A7%D9%86%D8%B1%DA%98%DB%8C) مکانیکی را می توان به شکل زیر بازنویسی کرد :
(1) http://wiki.avastarco.com/images/6/66/S1%21.png (http://wiki.avastarco.com/index.php/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:S1!.png)
که در آن V(r) تابع انرژی (http://wiki.avastarco.com/index.php/%D8%A7%D9%86%D8%B1%DA%98%DB%8C) پتانسیل است، که برابر است با :
(2) http://wiki.avastarco.com/images/d/d1/S2%21.png (http://wiki.avastarco.com/index.php/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:S2!.png)
حال انرژی (http://wiki.avastarco.com/index.php/%D8%A7%D9%86%D8%B1%DA%98%DB%8C) پتانسیل موثر را به شکل زیر تعریف می کنیم :
(3) http://wiki.avastarco.com/images/a/af/S3.png (http://wiki.avastarco.com/index.php/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:S3.png)
برای نیروی (http://wiki.avastarco.com/index.php/%D9%86%DB%8C%D8%B1%D9%88) گرانش (http://wiki.avastarco.com/index.php/%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%86%D8%B4) که به شکل F=-k/r^2 است انرژی (http://wiki.avastarco.com/index.php/%D8%A7%D9%86%D8%B1%DA%98%DB%8C) پتانسیل موثر به شکل زیر درمی آید :
(4) http://wiki.avastarco.com/images/9/9b/S4.png (http://wiki.avastarco.com/index.php/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:S4.png)

مدار (http://wiki.avastarco.com/index.php/%D9%85%D8%AF%D8%A7%D8%B1) دایروی دارای شعاع ثابت است یعنی تغییرات r در این مدار صفر است . درنتیجه این نوع مدار وقتی به وجود می آید که انرژی (http://wiki.avastarco.com/index.php/%D8%A7%D9%86%D8%B1%DA%98%DB%8C) مکانیکی کمینه باشد .
به شکل زیر که انرژی (http://wiki.avastarco.com/index.php/%D8%A7%D9%86%D8%B1%DA%98%DB%8C) پتانسیل و پتانسیل موثر را برای نیروی (http://wiki.avastarco.com/index.php/%D9%86%DB%8C%D8%B1%D9%88) گرانش (http://wiki.avastarco.com/index.php/%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%86%D8%B4) نشان می دهد توجه کنید :
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fe/Figman.png (http://wiki.avastarco.com/index.php/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:Figman.png)
انرژی (http://wiki.avastarco.com/index.php/%D8%A7%D9%86%D8%B1%DA%98%DB%8C) مدار (http://wiki.avastarco.com/index.php/%D9%85%D8%AF%D8%A7%D8%B1) دایروی را به عنوان مینیموم انرژی (http://wiki.avastarco.com/index.php/%D8%A7%D9%86%D8%B1%DA%98%DB%8C) انتخاب می کنیم .
برای محاسبه بیشترین و کمتریم فاصله جسم از مرکز نیرو (http://wiki.avastarco.com/index.php/%D9%86%DB%8C%D8%B1%D9%88) کافی است مشتق (http://wiki.avastarco.com/index.php/%D9%85%D8%B4%D8%AA%D9%82) r را برابر با صفر قرار دهیم ، در نتیجه پس از مرتب کردن جملات در معادلات (1) و (4) خواهیم داشت :
(5) http://wiki.avastarco.com/images/8/8e/S5%21.png (http://wiki.avastarco.com/index.php/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:S5!.png)
که یک معادله درجه 2 از r است و جواب آن عبارتست از :
(6) http://wiki.avastarco.com/images/0/01/S6.png (http://wiki.avastarco.com/index.php/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:S6.png)
r1 و r0 به ترتیب بیشترین و کمترین فاصله جسم از مرکز نیرو (http://wiki.avastarco.com/index.php/%D9%86%DB%8C%D8%B1%D9%88) هستند .برای مداردایروی با توجه به توضیحات بالا عبارت زیر رادیکال صفر می شود و مدار (http://wiki.avastarco.com/index.php/%D9%85%D8%AF%D8%A7%D8%B1) فقط دارای یک شعاع خواهد بود .برای مدار (http://wiki.avastarco.com/index.php/%D9%85%D8%AF%D8%A7%D8%B1) های بیضوی چون E مقداری منفی است ( انرژی (http://wiki.avastarco.com/index.php/%D8%A7%D9%86%D8%B1%DA%98%DB%8C) مکانیکی برای مدار های بسته کوچکتر از صفر است) معادله بالا شامل دو ریشه مثبت است . که به ترتیب اوج و حضیض نامیده می شوند .
طبق تعریف بیضی مجموع فاصله هر نقطه روی آن از دو کانون برابر با قطر بزرگ بیضی است . پس با جمع کردن دو ریشه بالا داریم :
(7) http://wiki.avastarco.com/images/a/a0/S7.png (http://wiki.avastarco.com/index.php/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:S7.png)
که مقداری ثابت است .
برای مدارهای هذلولی (http://wiki.avastarco.com/index.php/%D9%87%D8%B0%D9%84%D9%88%D9%84%DB%8C) چون E مقداری مثبت دارد (برای مدار های باز انرژی (http://wiki.avastarco.com/index.php/%D8%A7%D9%86%D8%B1%DA%98%DB%8C) مکانیکی بزرگتر از صفر است) پس معادله (6) فقط یک جواب قابل قبول دارد که کمترین فاصله از مرکز نیرو را نشان می دهد و نشان دهنده حضیض مدار هذلولی است .برای محاسبه انرژی مدار هذلولی معادله (1) را برای نقطه حضیض به کار میبریم و با قرار دادن r=a(e-1) و h=(GMa(e^2-1))^(1/2) به E=k/2a می رسیم .

[shariatzadeh]

توی پست 12 معادله مدار رو به شکل زیر به دست آوردیم:

(1) http://up.avastarco.com/images/srqmr7mzuojcxdb6olbt.png (http://up.avastarco.com/images/srqmr7mzuojcxdb6olbt.png)
دقت داشته باشید که در اینجا μ=GM و پارامتر گرانش نامیده می شود.
همچنین طبق تعریف تکانه زاویه ای ، سرعت مماسی عبارتست از : http://up.avastarco.com/images/jswysssym5ys9qb6gotg.png (http://up.avastarco.com/images/jswysssym5ys9qb6gotg.png)
پس با ترکیب دو معادله بالا به نتیجه زیر میرسیم :

(2) http://up.avastarco.com/images/7qtdznawv4bwe0uxzx5i.png (http://up.avastarco.com/images/7qtdznawv4bwe0uxzx5i.png)

برای محاسبه سرعت شعاعی می توان از رابطه شماره 1 بر حسب زمان مشتق گرفت و به نتیجه زیر رسید :
(3) http://up.avastarco.com/images/kg8w2krple1ko9q3zq1t.png (http://up.avastarco.com/images/kg8w2krple1ko9q3zq1t.png)
لازم به یادآوری است که در آخربن مرحله از رابطه dθ/dt=h/2 استفاده شده است. با جایگذاری معادله 1 در معادله بالا نتیجه می گیریم:
(4) http://up.avastarco.com/images/16fy2f2pf8wo0t1yu5rf.png (http://up.avastarco.com/images/16fy2f2pf8wo0t1yu5rf.png)
در نهایت با توجه به شکل زیر می توانیم زاویه مسیر را به صورت زیر به دست آوریم :
(5) http://up.avastarco.com/images/2i9a0vbqj7tz8dwlz7jz.png (http://up.avastarco.com/images/2i9a0vbqj7tz8dwlz7jz.png)

http://up.avastarco.com/images/yudg26qqmwafub0man7e.png (http://up.avastarco.com/images/yudg26qqmwafub0man7e.png)

[shariatzadeh]

همانطور که در پست شماره 12 نشان دادیم ، مسیر یک ذره تحت نیروی گرانش یک مقطع مخروطی است.

اولین نوع مدار که می خواهیم در اینجا به بررسی آن بپردازیم مدار دایروی است .البته در پست های قبل به تفصیل در این باره صحبت شده و من فقط خلاصه رابطه های قبلی و یک مثال رو میگم :

http://up.avastarco.com/images/zqh61nemz54zl483miti.png (http://up.avastarco.com/images/zqh61nemz54zl483miti.png)




اگریک ماهواره همواره در نقطه ای ثابت در سرسوی ناظری دراستوا باشد ، آنگاه می گوییم ماهواره در مدار استوایی و زمین ثابت (geostationaryequatorial orbit) یا GEOقرار دارد .

این ماهواره به این دلیل در نقطه ای ثابت از آسمان رویت میشود که سرعت زاویه ای حرکت آن به دور زمین با سرعت زاویه ای حرکت وضعی زمین برابراست . به عبارتی دیگر دوره تناوب مداری ماهواره های GEO برابر بایک روز نجومی است (یک روزنجومی برابر با 86164 ثانیه است).

برای محاسبه سرعت و ارتفاع ماهواره از سطح زمین می توانیم به روش زیر عمل کنیم :

http://up.avastarco.com/images/6tf4drvrr98ykg17pgnd.png (http://up.avastarco.com/images/6tf4drvrr98ykg17pgnd.png)

حال می خواهیم بیشترین عرض جغرافیایی که در آن یک ماهواره GEO قابل رویت است را محاسبه کنیم .

با استفاده از شکل زیر می توانیم این عرض جغرافیایی (φ) را محاسبه کنیم . برای این کار از ماهواره به کره زمین خطی مماس رسم می کنیم .

http://up.avastarco.com/images/e48mtsj4ulcbggwwa7sw.png (http://up.avastarco.com/images/e48mtsj4ulcbggwwa7sw.png)

شکل زیر تصویری که توسط یک ماهواره زمین ثابت گرفته شده را نمایش می دهد.

http://up.avastarco.com/images/sec1o4tka8lpv99b1ogd.png (http://up.avastarco.com/images/sec1o4tka8lpv99b1ogd.png)

[ata moradi]

حرکت ستارگان در کهکشان تحت اثر نیروی عکس مجذوری معروف نیست بلکه به دلیل تغییر جرم مرکزی در حین حرکت در کهکشان نیرو به شکل kr- خوهد بود . حال می خواهیم ببینیم شکل این نوع حرکت چگونه است.

دانلود درس نامه (http://s2.picofile.com/file/7252147418/%D8%AF%D8%B1%D8%B3_%D9%86%D8%A7%D9%85%D9%87_%D9%85 %DA%A9%D8%A7%D9%86%DB%8C%DA%A9_%D8%B3%D9%85%D8%A7% D9%88%DB%8C1.pdf.html)( حرکت تحت نیروی kr- )

[shariatzadeh]

درباره شکل بیضی آقای اکبرنیا در تاپیک مقاطع مخروطی (http://forum.avastarco.com/forum/showthread.php?768-%D9%85%D9%82%D8%A7%D8%B7%D8%B9-%D9%85%D8%AE%D8%B1%D9%88%D8%B7%DB%8C&p=20858&viewfull=1#post20858) توضیحات بسیار کاملی راارائه داده اند ، ما در اینجا به خواص دینامیکی این مدار ها می پردازیم .

معادله مدار در اینجا به شکل

(1)http://up.avastarco.com/images/i5csoowl37h56jarid07.png (http://up.avastarco.com/images/i5csoowl37h56jarid07.png)

است که hتکانه زاویه ای ویژه مدار (تکانه زاویه ای بر واحد جرم) و μ=GM

شکل زیر مشخصات یک مدار بیضی را نشان می دهد :

http://up.avastarco.com/images/fvevquoubjplfgvv4f.png (http://up.avastarco.com/images/fvevquoubjplfgvv4f.png)
جرم جاذب در یکی از کانون های بیضی (F) قرار دارد . همچنین زاویه θ از نقطه حضیض و در جهت گردش جسم بهدور جرم جاذب اندازه گیری شده و آنومالی واقعی نامیده می شود .

برای محاسبه فاصله اوج و حضیض کافی است θ را در معادله مدار به ترتیب برابر باصفر و 180˚ قرار دهیم.

(2)http://up.avastarco.com/images/825t382xasdfdxvaj2wq.png (http://up.avastarco.com/images/825t382xasdfdxvaj2wq.png)

همچنین می توانیم از معادله 10 پست 12 استفاده کنیم و روابط را بر حسب نیم قطراطول و خروج از مرکز بازنویسی کنیم :

(3)http://up.avastarco.com/images/kqqvbq1ehk60tje4sbp.png (http://up.avastarco.com/images/kqqvbq1ehk60tje4sbp.png)

نقطه Bدر شکل محل برخورد قطر کوچک بیضی با بیضی است که از دو کانون به یک فاصله است.پسطبق معادلات بالا با قرار دادن r=a می توانیم زاویه β را به صورت زیر به دست آوریم :

(4) http://up.avastarco.com/images/y4xvm81iccns2gwj572l.png (http://up.avastarco.com/images/y4xvm81iccns2gwj572l.png)

همانطور که در پست 13 نشان دادیم ، انرژی مدار بیضی از رابطه زیر به دست میآید : (ε انرژی ویژه مدار یا انرژی بر واحد جرم است)

(5http://up.avastarco.com/images/ffvaci2ivl4aqtdboiri.png (http://up.avastarco.com/images/ffvaci2ivl4aqtdboiri.png)

همچنین معادله بالا سرعت مدار را به صورت تابعی از فاصله (r) به دست می دهد .

همچنین با استفاده از معادله (2)و(4) پست 14 می توان سرعت را به صورت زیر بهدست آورد :

(6) http://up.avastarco.com/images/5j80kvgg51fhigt78r3x.png (http://up.avastarco.com/images/5j80kvgg51fhigt78r3x.png)

[shariatzadeh]

در ادامه به معرفی خواص دینامیکی مدار سهمی می پردازیم که یکی دیگر از مقاطع مخروطی است . (برای اطلاعات بیشتر درباره خواص هندسی سهمی می توانید به تاپیک مقاطع مخروطی (http://forum.avastarco.com/forum/showthread.php?768-%D9%85%D9%82%D8%A7%D8%B7%D8%B9-%D9%85%D8%AE%D8%B1%D9%88%D8%)مراجعه کنید)

خروج از مرکز مدار سهمی برابر یک است ، در نتیجه معادله مدار به شکل زیر تبدیل می شود :

(1)http://up.avastarco.com/images/djfk2hb14rhu000ii8g.png (http://up.avastarco.com/images/djfk2hb14rhu000ii8g.png)

برای محاسبه انرژی در این نوع مدار با توجه به اینکه انرژی پایسته است مقدارآن را در حضیض محاسبه می کنیم. چون در نقطه حضیض سرعت مولفه ای در راستای شعاع ندارد می توانیم مقدار آن را با h/r برابر قرار دهیم . پس :

(2) http://up.avastarco.com/images/ym6lca4hm2izev0abw3.png (http://up.avastarco.com/images/ym6lca4hm2izev0abw3.png)
همچنین مقدار θ را در معادله 1 برابر صفر می گذاریم تا فاصله حضیض را به دست آوریم.

(3) http://up.avastarco.com/images/bs19ldorqr2ltcj6h5r.png (http://up.avastarco.com/images/bs19ldorqr2ltcj6h5r.png)
با ترکیب معادله 2و3 به نتایج زیر میرسیم :

(4) http://up.avastarco.com/images/x03ji4fi9i3zhcatj0p.png (http://up.avastarco.com/)
سرعت به دست آمده در معادله بالا را سرعت فرار نیز می نامیم .

با توجه به توضیحاتی که در پست 14 داده شده زاویه مسیر یک جسم در مدار سهمی عبارتست از :

(5) http://up.avastarco.com/images/6cq8b229e0v0ryys9jc4.png (http://up.avastarco.com/images/6cq8b229e0v0ryys9jc4.png)
حال با استفاده از اتحاد های مثلثاتی زیر معادله 5 را ساده می کنیم :

(6)http://up.avastarco.com/images/d2tu617mtst32x2ahpmc.png (http://up.avastarco.com/images/d2tu617mtst32x2ahpmc.png)

در نتیجه :

(7) http://up.avastarco.com/images/w7a2e2i4hq6kzbqrx1a.png (http://up.avastarco.com/images/w7a2e2i4hq6kzbqrx1a.png)
*با توجه به نتیجه بالا می توان نشان داد که اگر یک دسته پرتو نور موازی بامحور اصلی آینه ای سهموی بتابند ، در کانون آینه کانونی می شوند.*

http://up.avastarco.com/images/i78a3qlrdme9om9460v.png (http://up.avastarco.com/images/i78a3qlrdme9om9460v.png)

[shariatzadeh]

هذلولی مقطع مخروطی با خروج از مرکز بزرگ تر از 1 است . برای این نوع مدار، معادله مدار به شکل زیر است که h تکانه زاویه ای ویژه مدار (تکانه زاویه ای بر واحد جرم) و μ=GM :

(1)http://up.avastarco.com/images/sxr52ga3v3rzre7xme65.png (http://up.avastarco.com/images/sxr52ga3v3rzre7xme65.png)

شکل زیر تمام مشخصات یک مدار هذلولی را نشان می دهد .

http://up.avastarco.com/images/bb9c2bows5p9czaz1th.png (http://up.avastarco.com/images/bb9c2bows5p9czaz1th.png)

توجه داشته باشید که a و b به ترتیب قطر های بزرگ و کوچک هذلولی هستند و ra و rp به ترتیب فاصله اوج و حضیض مدار را نشان می دهد .
زاویه ای که در آن فاصله جسم از کانون بی نهایت می شود و زاویه خط مجانب با محور اصلی را می توان با استفاده از معادله 1 به دست آورد .

(2) http://up.avastarco.com/images/dtmmqul6aitz6gzt7.png (http://up.avastarco.com/images/dtmmqul6aitz6gzt7.png)

با توجه به معادله 1 می توان فاصله حضیض و اوج را به دست آورد .(زاویه θ برای حضیض ، صفر و برای اوج برابر 180 درجه است).

(3) http://up.avastarco.com/images/5ct4ijxbzbgsd5d7cvb.png (http://up.avastarco.com/images/5ct4ijxbzbgsd5d7cvb.png)

حال با استفاده از تعریف هذلولی می توانیم معادله مدار را بر حسب a و e بازنویسی کنیم .

(4)http://up.avastarco.com/images/wlbuxak897lygk41ecle.png (http://up.avastarco.com/images/wlbuxak897lygk41ecle.png)

برای محاسبه نیم قطر کوچک هذلولی با توجه به شکل و معادله 2 می توانیم بنویسیم :

(5) http://up.avastarco.com/images/mh2votz9foj3dmohoeq7.png (http://up.avastarco.com/images/mh2votz9foj3dmohoeq7.png)
همچنین فاصله بین خط مجانب تا خطی موازی آن که از کانون F می گذرد نیز برابر با b است .

(6)http://up.avastarco.com/images/0fwsw0iue7edvflig0ic.png (http://up.avastarco.com/images/0fwsw0iue7edvflig0ic.png)

انرژی مدار هذلولی را نیز در پست 13 به صورت زیر به دست آوردیم :

(7) http://up.avastarco.com/images/dpdorpzayaid5x2r5wee.png (http://up.avastarco.com/images/dpdorpzayaid5x2r5wee.png)

[shariatzadeh]

در پست های قبل ویژگی انواع مدارها در میدان نیروی گرانش را بررسی کردیم و منتظر سوالات دوستان هستیم .

با استفاده از معادله مدار می توانیم مکان جسم را به صورت تابعی از آنومالیواقعی (θ) به دست آوریم . حال می خواهیم مکان جسم را به صورت تابعی از زمان محاسبهکنیم .

برای این کار از معادله 4 پست 12 استفاده می کنیم :

(1) 3972

حال با جایگزاری r(θ)(معادله مدار) در رابطه بالا داریم :

(2) 3973

از دو طرف معادله بالا انتگرال می گیریم . دقت داشته باشید در اینجا مبدا زمانرا نقطه حضیض فرض کرده ایم . در نتیجه در نقطه 0=θ ، t=0 و انتگرال به شکل زیر خواهد شد :

(3) 3974

برای به دستآوردن رابطه ای بین t و θ باید انتگرال سمت راست را برایمداری دل خواه حل کنیم . حل این انتگرال کمی طولانی است و در عین حال روش مناسبیمحسوب نمی شود . اما حل حالت کلی آن را می توانید در جدول های انتگرال به شکل زیر مشاهده کنید :
(4) 3975
:stupido:
در ادامه معادله بالا را با روشی ساده تر برای انواع مدارها حل می کنیم .
منتظر باشید :wink:

[shariatzadeh]

آنومالی خروج از مرکزی(Eccentric Anomaly)زاویه ای کمکی است که به وسیله دایره کمکی در بیضی تعریف می شود.
دایره کمکی ، دایره ای است که بر بیضی مماس بوده و شعاع آن برابر با نیم قطر اطول مدار بیضی است .
به شکل زیر توجه کنید :

http://up.avastarco.com/images/xuv6sntvhsxugaqeoox.png (http://up.avastarco.com/images/xuv6sntvhsxugaqeoox.png)

در شکل بالا F کانون بیضی ،O مرکز بیضی و θ آنومالی واقعی بیضی است .
همانطور که در شکل بالا نیز نشان داده شده است ، برای محاسبه آنومالی خروج از مرکزی از مکان جسم در مدار خطی به محور اصلی عمود می کنیم(خط SV) و سپس خط را در خلاف جهت ادامه می دهیم تا دایره کمکی را در نقطه Q قطع کند . حال زاویه ای که خط OQ با محور اصلی می سازد را آنومالی خروج از مرکزی می نامیم و آن را با (E) نشان می دهیم .حال با توجه به شکل می توانیم روابط زیر را نتیجه بگیریم :

(1)http://up.avastarco.com/images/bzhi9wqj4istj1b7km3.png (http://up.avastarco.com/images/bzhi9wqj4istj1b7km3.png)

و درنهایت :

(2)http://up.avastarco.com/images/pod46you5w7qw5qq7py7.png (http://up.avastarco.com/images/pod46you5w7qw5qq7py7.png)

می توانیم با استفاده از معادله بالا نتایج زیر را بگیریم :

(3) http://up.avastarco.com/images/m1g9nbrebg6su66qk75t.png (http://up.avastarco.com/images/m1g9nbrebg6su66qk75t.png)
حال با توجه به اتحاد زیر

(4)http://up.avastarco.com/images/moh5fv91fghyatbey5n7.png (http://up.avastarco.com/images/moh5fv91fghyatbey5n7.png)

و معادلات (3) نتیجه زیر به دست می آید:

(5)http://up.avastarco.com/images/skl1insd2rhdan97vhx7.png (http://up.avastarco.com/images/skl1insd2rhdan97vhx7.png)

حال معادله (2) را به صورت زیر بازنویسی می کنیم :

(6)http://up.avastarco.com/images/z63ddc0tnefpca290kp.png (http://up.avastarco.com/images/z63ddc0tnefpca290kp.png)

و با توجه به معادله قطبی بیضی داریم :
(7) http://up.avastarco.com/images/9zkl2xbw7o8gxzxormyf.png (http://up.avastarco.com/images/9zkl2xbw7o8gxzxormyf.png)



در ادامه کاربرد آنومالی خروج از مرکزی در محاسبه زمان را نشان خواهیم داد .:thumbsup:

[shariatzadeh]

از تعریف حرکت زاویه ای میانگین ω=2π/T چنین بر می آید که حاصلضرب ωt نمایشگر زاویه پیموده شده در مدت t توسط یک بردار شعاعی است که با سرعت زاویه ای ثابت حول مرکز نیرو می چرخد.کمیت ωt را با عنوان آنومالی میانگین تعریف می کنیم و با M نشان می دهیم .

(1) http://up.avastarco.com/images/z22rh363d100vdr0xn8w.png (http://up.avastarco.com/)

در اینجا می خواهیم معادله ای را به دست بیاوریم که آنومالی خروج از مرکزی را به آنومالی میانگین مربوط سازد . با محاسبه آنومالی میانگین و معادله 1 آنگاه مجهول مسئله یعنی زمان به دست می آید.
برای شروع از معادله شماره 4 پست 12 شروع می کنیم :

(2) http://up.avastarco.com/images/jda5ipbjwvu2hbaj7lg0.png (http://up.avastarco.com/)

حال باید در معادله بالا dθ را به dE تبدیل کنیم و سپس از آن انتگرال بگیریم .
برای این کار به صورت زیر عمل می کنیم :

(3) http://up.avastarco.com/images/k6y611age169afsiv8.png (http://up.avastarco.com/)

همچنین با استفاده از معادله 5 پست 21 داریم :

(4) http://up.avastarco.com/images/qa7lz9bv61fyiu0nmuns.png (http://up.avastarco.com/)

و در نهایت با جایگذاری dθ از معادله بالا در معادله 2 به نتیجه زیر میرسیم :

(5) http://up.avastarco.com/images/ctqwb5l2eu2tzsjm2jk.png (http://up.avastarco.com/)

معادله بالا را معادله زمانی کپلر می گویند .

[shariatzadeh]

نمیدونم چرا احساس می کنم این چندتا پست قبلی سخت بوده و کسی خیلی سردر نیاورده ، هیچ کسی هم که سوال نمیکنه. اصلا این مطالب رو کسی می خونه ؟؟؟؟؟؟؟؟ :banghead:


اما حالا جدا از این ابهاماتی که برام پیش اومده می خوام یه مثال از مطالبی کهگفته شده حل کنم :


مثال : ماهواره ای دارای ارتفاع حضیض 500 کیلومتر و ارتفاع اوج 5000 کیلومتر است . همچنین محور اصلی مدار این ماهواره در راستای خط واصل زمین –خورشید و نقطه اوج آن به سمت خورشید قرار دارد .
مدت زمانی راکه ماهواره درون سایه زمین قرار دارد محاسبه کنید ؟


حل :

http://up.avastarco.com/images/jvc5zmf4ip9b1ro933m.png (http://up.avastarco.com/images/jvc5zmf4ip9b1ro933m.png)


ابتدا با توجه به داده های مسئله خروج از مرکز، نیم قطر اطول و دوره تناوب مدار را به دست می آوریم . توجه داشته باشید که مقدار های داده شده نشان دهنده ارتفاع ماهواره است و ما باید این مقادیر را با شعاع زمین (6378کیلومتر) جمع کنیم . هم چنین در معادله سوم مقدار μ برای زمین 398600 (km3/s2) قرار داده شده است .

http://up.avastarco.com/images/gvb5adfnzidxrbdgekv6.png (http://up.avastarco.com/images/gvb5adfnzidxrbdgekv6.png)



با توجه به شکل داریم :



http://up.avastarco.com/images/iuh5pa5depxi0mryiy9o.png (http://up.avastarco.com/images/iuh5pa5depxi0mryiy9o.png)


همانطور که مشاهده کردید با ترکیب معادله اول و معادله دوم یک معادله مثلثاتی نوع اول به دست آمد که دو جواب دارد ، یکی از جواب ها مربوط به نقطه b (که مورد نیاز ما است) و دیگری مربوط به نقطه c است .


حال مقدار آنومالی خروج از مرکزی و آنومالی میانگین را به ترتیب از معادله 5پست21 و معادله 5 پست 22 به دست می آوریم :



http://up.avastarco.com/images/lf6hj4azbxlyjrsnvqp.png (http://up.avastarco.com/images/lf6hj4azbxlyjrsnvqp.png)


درنهایت از معادله 1 پست 22 مدت زمان بین نقطه حضیض و نقطه b (tb)به دست می آید باید دقت کنیم که مدت زمانی که ماهواره در سایه زمین قرار دارد دو برابر tbاست :

http://up.avastarco.com/images/crzkh05k9q5d1dglp54h.png (http://up.avastarco.com/images/crzkh05k9q5d1dglp54h.png)


دیدین چقدر آسون بود !!!:thumbsup:

حالا شما اگر دوست داشتید این سوال رو برای حالتی حل کنید که حضیض مدار به سمت خورشید قرار داره و نشون بدین که جواب میشه 2716 ثانیه .

[mosayeb7141]

سلام
چرا همیشه یک طرف ماه رو به زمین قرار دارد؟ آیا ماه دور خودش می چرخد؟
می بخشید از پاسخ قبلی قانع نشدم. 4144 4143
شما گفتید که اگه ماه دور خودش نچرخد همه قسمتهای ماه از روی زمین قابل مشاهده است. آیا "ثبوت نقطه ای رو به روی زمین" به علت خمش مسیر حرکت ماه به واسطه جاذبه زمین نیست؟
اگه به صورت قوانین حرکت مداری برام http://forum.avastarco.com/forum/%5C توضیح بدید ممنوم میشم.

[fateme.kokabi]

در جواب اينكه چرا ما فقط يك روي ما رو ميبينيم بايد بگم
چون مدت زمان گردش ماه به دور خودش برابر با مدت زمان گردشش به دور زمين براي همين ما فقط يك روي ماه رو ميبينيم

[shariatzadeh]

سلام
چرا همیشه یک طرف ماه رو به زمین قرار دارد؟ آیا ماه دور خودش می چرخد؟
می بخشید از پاسخ قبلی قانع نشدم. 4144 4143
شما گفتید که اگه ماه دور خودش نچرخد همه قسمتهای ماه از روی زمین قابل مشاهده است. آیا "ثبوت نقطه ای رو به روی زمین" به علت خمش مسیر حرکت ماه به واسطه جاذبه زمین نیست؟
اگه به صورت قوانین حرکت مداری برام http://forum.avastarco.com/forum/%5C توضیح بدید ممنوم میشم.


سلام دوست عزیز


ماه به دور خودش می چرخد ودوره تناوب این چرخش برابر با دوره تناوب چرخش ماه به دور زمین هست .


در مدت زمان Δt مقدار چرخش ماه به دور خودش برابر است با :


Δθ=(2π/T)*Δt


که T مدت زمان یک دور چرخش ماه به دورخودش است .


همچنین فرضکنید مدار ماه به دور زمین دایروی باشد . مقدار چرخش ماه به دور زمین در همان مدتزمان Δt برابر است با :


Δα=(2π/P)*Δt


که Pمدت زمان یک دور چرخش ماه به دور زمین است که چون P=T پس Δθ= Δα .
به شکل زیر نگاه کنید که حرکت شاخصی روی ماه را در این مدتزمان نشان داده است :


http://up.avastarco.com/images/x7rte6ij0o4e8r538rdz.png (http://up.avastarco.com/)


البته به دلیل بیضی بودن مدار ماه و حرکت غیر یکنواخت آن بهدور زمین ، گاهی سرعت زاویه ای آن از سرعت زاویه ای وضعی آن بیشتر می شود و گاهیکمتر ، این باعث می شود که ناظر زمین کسری از پشت ماه (سمت چپ و راست ماه) را نیزببیند . همچنین به دلیل هم صفحه نبودن مدار ماه با صفحه دایره البروج مقداری ازپایین و بالای ماه نیز دیده می شود .به شکل زیر نگاه کنید :

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/ba/Lunar_libration_with_phase_Oct_2007_450px.gif/220px-Lunar_libration_with_phase_Oct_2007_450px.gif (http://en.wikipedia.org/wiki/File:Lunar_libration_with_phase_Oct_2007_450px.gif )

[المپیاد نجوم]

آقای شریعت زاده من 2 تا اشکال دارم.
1.چرا تو نیروی عکس فاصله حق نداریم مبدا پتانسیل رو تو بی نهایت بگیریم؟و باید چی بذاریم مبدا رو؟
2.تو مدار هذلولی شما یه قسمتی یه دلتا نوشتین که من اصلا نفهمیدم چیه وچه کاربردی داره؟میشه لطفا یه خرده توضیح بدین؟
ممنون!

[shariatzadeh]

آقای شریعت زاده من 2 تا اشکال دارم.
1.چرا تو نیروی عکس فاصله حق نداریم مبدا پتانسیل رو تو بی نهایت بگیریم؟و باید چی بذاریم مبدا رو؟
2.تو مدار هذلولی شما یه قسمتی یه دلتا نوشتین که من اصلا نفهمیدم چیه وچه کاربردی داره؟میشه لطفا یه خرده توضیح بدین؟
ممنون!

1- برای محاسبه پتانسیل ما باید یک مبدا انتخاب کنیم و مقدار پتانسیل توی اون نقطه کاملا دلخواه است . به صورت کلی برای هر تابع نیروی پایستار F(r) تابع انرژی پتانسیل رو میتونیم از رابطه زیر بدست بیاریم :

http://up.avastarco.com/images/4uph3awwufm2ldb3s74x.png (http://up.avastarco.com/images/4uph3awwufm2ldb3s74x.png)

که r0 مبدا پتانسیل است و U(r0) هم مقدار پتانسیل در نقطه r0 . که اگر به جای r0 بینهایت را به عنوان مبدا انتخاب کنیم داریم :


http://up.avastarco.com/images/3oah5duergs92yyzac2.png (http://up.avastarco.com/images/3oah5duergs92yyzac2.png)

حالا برای نیروی F(r)=K/r از معادله بالا داریم :

http://up.avastarco.com/images/jpyctxcuwfr2xr3b5md.png (http://up.avastarco.com/images/jpyctxcuwfr2xr3b5md.png)

خوب همون طور که می بینید سمت راست معادله بالا جمله ای داریم که از بینهایت ، لوگاریتم میگیره و علامتش منفی هست پس سمت راست معادله مستقل از مقدار r میشه منفی بینهایت در حالی که برای سمت چپ معادله ما باید یک مقدار داشته باشیم در واقع مشکل اینجا به وجود میاد و باید درستش کنیم. برای همین بهتره که مبدا پتانسیل رو یک جای دیگه بزاریم مثلا توی فاصله 1 از مرکز بگیریم و مقدارش رو هم صفر بزاریم اون وقت داریم :

http://up.avastarco.com/images/x2gqbfv1btxmr8jpoup.png (http://up.avastarco.com/images/x2gqbfv1btxmr8jpoup.png)

دقت داشته باشید که مبدا پتانسیل رو توی این نیرو در مرکز نیرو (در فاصله صفر) هم نمیتونیم بگیریم ، چون لوگاریتم صفر تعریف نشده هست .
بسیاری از نیرو ها هستند که مارو با چنین مشکلاتی رو به رو می کنند برای همین انتخاب یک مبدا پتانسیل در چنین مسئله هایی خیلی مهمه .

2- دلتا برابر با نیم قطر کوچک هذلولی هست . توی بعضی مسئله ها راحت تره که این مقدار رو اندازه بگیریم . همون طور که توی شکل هم نشان دادم دلتا فاصله بین مجانب هذلولی و خطی موازی مجانب هست که از مرکز نیرو عبور می کنه .

[المپیاد نجوم]

و یک سوال دیگه اگه عناصر مداری برداری نبود و می خواستیم طول فصل رو پیدا کنیم برای نوشتن معادله کپلر و... احتیاج به تتا داریم دیگه نه؟حالا بدون برداری بودن مساله چه طوری تتا رو پیدا کنم؟مثل سوال 173 مجموعه سوال های آقای چرتاب سلطانی!!!

[shariatzadeh]

و یک سوال دیگه اگه عناصر مداری برداری نبود و می خواستیم طول فصل رو پیدا کنیم برای نوشتن معادله کپلر و... احتیاج به تتا داریم دیگه نه؟حالا بدون برداری بودن مساله چه طوری تتا رو پیدا کنم؟مثل سوال 173 مجموعه سوال های آقای چرتاب سلطانی!!!


طبق تعریف ، فصل بهار وقتی شروع میشه که طول سماوی خورشید 0 درجه باشه ، فصل تابستان وقتی شروع میشه که طول سماوی خورشید 90 درجه باشه ، فصل پاییز وقتی که طول سماوی خورشید 180 درجه باشه و فصل زمستان وقتی شروع میشه که طول سماوی خورشید 270 درجه باشه .
حالا ما می خواهیم برای یک سیاره طول فصل زمستان رو حساب کنیم . یعنی از وقتی که طول سماوی خورشید میشه 270 درجه تا وقتی که طول سماوی خورشید میشه 0 درجه .

یه نکته ای که هست اینه که سوال هایی از این قبیل که پارامترهای مداری توش وارد میشه رو باید از راه برداری رفت و تمام بردار ها رو هم دردستگاه مختصات ECEF نوشت .

(دوستان برای آشنایی با عناصر مدار و محاسبات مربوطه به پست زیر مراجعه بفرمایید :

http://forum.avastarco.com/forum/showthread.php?583-سيستم-هاي-مختصات-(پيشرفته)&p=26238&viewfull=1#post26238 )

خوب طول سماوی خورشید یعنی زاویه ای که خورشید از دید سیاره با نقطه اول حمل می سازه . به عبارتی زاویه بردار مکان جسم و محور X که به سمت نقطه اعتدال بهاری هست .حالا بردار مکان جسم رو بر حسب تتا داریم ، چون تمام عناصر مداری رو سوال داده .

برای ابتدای فصل زمستان باید زاویه خورشید و اعتدال بهاری 90 درجه باشه . در واقع بردار مکان جسم ما باید در صفحه Y-Z قرار داشته باشه و مولفه X اش صفر باشه . از اینجا دو تا جواب برای تتا بدست میاد که یکی اول زمستان هست و دیگری اول تابستون . باید با توجه به داده های مسئله جواب درست رو انتخاب کنیم .
برای انتهای فصل زمستان یعنی ابتدای فصل بهار باید خورشید و اعتدال بهاری در یک راستا باشن . دراینجا بردار مکان جسم ما مولفه Y ندارد و باز هم مثل بالا دو تتا بدست می آوریم که یکی از آنها مورد قبول است .

در نهایت با استفاده از معادله کپلر مدت زمان بین این دو تتا را محاسبه می کنیم .

اگه دوست داشتید می تونید سوال زیر رو حل کنید و راه حلش رو اینجا بزارید . (سوال 173 مجموعه سوال های آقای چرتاب سلطانی):

سیاره ای با طول حضیض 100 درجه و میل مداری 20 درجه و خروج از مرکز 0.5 در نظر بگیرید . اگر طول گره صعودی این سیاره 30 درجه و نیم قطر بزرگ آن 3 واحد نجومی باشد ، طول فصل زمستان در این سیاره چقدر است ؟

[المپیاد نجوم]

آقای شریعت زاده میشه لطفا راه حل اون سوال 173 رو چک کنید تا اگه درست بود من جواب آخرمو بگم؟
اول بردار مکان تو دستگاه perifocal رو می نویسیم که چون تکانه زاویه ای ویژه رو نداریم از رابطه ی (a(1-e استفاده می کنیم .بعد ماتریس دوران که حول تتای بزرگ و میل مداری و امگای کوچک است را می نویسیم و در بردارمون ضرب می کنیم تا به دستگاه ECEFبرود.حالا یه ماتریس به دست میاد که توش چن تا sintetaوcostetaداره.حالا شرایط اولیه رو می ذاریم که اول مولفه ی x و بار دوم مولفه ی y را صفر می کنیم و تتا ها رو در میاریم و بعد رابطه بین Eوeو تتا رو می نویسیم و رادیان و معادله کپلر و دو بار برای جفت تتاها این کارو می کنیم و M رو پیدا می کنیم و M رو برابر با 2P/T میذاریم و جفت tها رو پیدا می کنیم و کم می کنیم . من این کارو کردم ولی دو تا تتاهام فاصله شون کمتر از 10 درجه شد!!!!! راه حل اشتباه داره یا اشکال محاسباتی بوده؟؟؟

ممنون

[المپیاد نجوم]

سلام ببخشید خیلی دیر شد کار پیش اومد.راه حلمو نوشتم ولی این قدر محاسبات عددی داشت که احتمال زیاد باز تو محاسبات مشکل باشه!لطفا اشتباهات عددی رو بهم بگید اگه ممکنه تا اصلاح کنم و خودم هم یاد بگیرم!!!


<a href="http://s3.picofile.com/file/7411678816/img059.jpg" target="_blank">http://s3.picofile.com/file/7411678816/img059.jpg (http://s3.picofile.com/file/7411678816/img059.jpg)

شریعت زاده : دوستان این راه حل مشکل محاسباتی دارد (در محاسبه آنومالی میانگین تبدیل زاویه ها به رادیان فراموش شده است) که در پست بعدی این مشکل برطرف شده است .
با تشکر از المپیاد نجوم عزیز به خاطر زحمتی که کشیده .

[المپیاد نجوم]

http://up.avastarco.com/images/h749sntw4qeui00i6o.jpgجواب اون قسمتی که رادیان و درجش اشتباه شده بود رو درست کردم! حالا یه سوال دیگه بدین!(از این آموزنده ها باشه!)

[المپیاد نجوم]

یه سوال وقتی یه جسم تو مدار دایره ای حرکت کنه ومرکز نیرو روی مرکز مختصات نباشه چه فرقی می کنه با این که باشه؟؟؟

[shariatzadeh]

یه سوال وقتی یه جسم تو مدار دایره ای حرکت کنه ومرکز نیرو روی مرکز مختصات نباشه چه فرقی می کنه با این که باشه؟؟؟

این اتفاق برای نیروی گرانش رخ نمیده . با توجه به شرایط مسئله باید تابع نیرو رو بدست بیاری و اونوقت تمام معادلات رو بازنویسی کنی .

مثلا اگر مرکز نیرو یک جایی روی محیط دایره باشه می تونیم اثبات کنیم که نیرو به شکل F=-k/r^5 هست .

دوست دارید اثبات کنید؟

[المپیاد نجوم]

من درست صورت مساله رو متوجه نشدم.یعنی میگید نیروی ما گرانشی نباشه (مثلا عکس فاصله باشه)؟بعد تابع نیرو و اینا بنویسیم یا برعکس؟

[shariatzadeh]

ما الان هیچ اطلاعی از شکل نیرو نداریم ، فقط می دونیم معادله مسیر چه شکلیه و همینطور نیرو فقط مرکزگرا هست .
حالا می خواهیم یک نیرویی پیدا کنیم که معادله مسیری که می دونیم رو تولید کنه .
یعنی برعکس کاری که ما توی پست 12 انجام دادیم . اونجا شکل نیرو رو می دونستیم و به معادله مسیر رسیدیم . اما این جا معادله مسیر رو داریم و به دنبال تابع نیرو می گردیم .
الان سوال اینه :
مدار حرکت یک ذره که در یک میدان نیروی مرکزگرا حرکت می کند ، دایره ای است که از مبدا می گذرد . نشان دهید نیرو از نوع معکوس توان پنجم است . (مکانیک تحلیلی فولز فصل 6 تمرین 11 )

[shariatzadeh]

سوال اینه :
مدار حرکت یک ذره که در یک میدان نیروی مرکزگرا حرکت می کند ، دایره ای است که از مبدا می گذرد . نشان دهید نیرو از نوع معکوس توان پنجم است . (مکانیک تحلیلی فولز فصل 6 تمرین 11 )

از دوستانی که روی سوال بالا فکر کردند تشکر می کنم . اماپاسخ :

ابتدا معادله مسیر جسم در دستگاه قطبی را به دست می آوریم.


http://up.avastarco.com/images/1tfwkm106wm0xg4tjwj.png (http://up.avastarco.com/images/1tfwkm106wm0xg4tjwj.png)


در شکل بالا نقطه C مرکز نیرو ، نقطه O مرکز دایره ،نقطه Sمحل جسم است . هم چنین قطر دایره برابر با d است . توجه داشته باشید که زاویه تتا را همیشه از مرکز نیرو اندازه می گیریم .
با توجه به شکل داریم :


http://up.avastarco.com/images/n1h3tofoemofcx4rg4lj.png (http://up.avastarco.com/images/n1h3tofoemofcx4rg4lj.png)


ما به دنبال نیرویی می گردیم که مدار بالا را تولید کند .با استفاده از معادله 5 پست 12 (http://forum.avastarco.com/forum/showthread.php?792-مکانیک-مداری&p=32419&viewfull=1#post32419)این نیرو را به صورت زیر بدست می آوریم :


http://up.avastarco.com/images/0jpu2h6bb0r3rtu9m.png (http://up.avastarco.com/images/0jpu2h6bb0r3rtu9m.png)


از آنجایی که تکانه زاویه ای درمداری که تحت نیروی مرکزگرا تولید شده ثابت است (معادله 3 پست 12) و همچنین قطر دایره نیز تغییر نمی کند صورت کسر بالا یک مقدار ثابت است . این نیرو را می توانیم به شکل
f(r)=-k/r^5 بازنویسی کنیم .

[المپیاد نجوم]

انصافا مساله ی سختی بود ولی یه چیز ذهن منو مشغول کرده.مگه نمیگیم حرکت دایره ای که مرکزش روی مرکز نیرو باشه تحت اثر نیروی عکس مجذوری هست پس الان این نیرو چیه؟

[shariatzadeh]

انصافا مساله ی سختی بود ولی یه چیز ذهن منو مشغول کرده.مگه نمیگیم حرکت دایره ای که مرکزش روی مرکز نیرو باشه تحت اثر نیروی عکس مجذوری هست پس الان این نیرو چیه؟

خوب اینجا که مرکزدایره روی مرکز نیرو نیست .برای همین نیرو شکلش عوض شده.
ببینید الان اگر مرکز نیرو رو یه جایی روی شعاع دایره قرار بدید اونوقت یه نیروی دیگه به دست میارید .
یه نکته : نیروی جاذب عکس مجذوری فقط مدارهایی تولید می کنه که مقطع مخروطی هستند . اما نیروهای دیگری هم هستند که مقطع مخروطی تولید می کنند . نمونه اش رو در بالا می بینید .

[المپیاد نجوم]

سلام یه سوال دیگه داشتم: وقتی می خواهیم تعدیل زمان رو با در نظر گرفتن بیضی بودن مدار به دست بیاریم چه کنیم؟؟ معادله کپلر و... باید بنویسیم؟

[shariatzadeh]

سلام یه سوال دیگه داشتم: وقتی می خواهیم تعدیل زمان رو با در نظر گرفتن بیضی بودن مدار به دست بیاریم چه کنیم؟؟ معادله کپلر و... باید بنویسیم؟



می دانیم خورشید روی صفحه دایره البروج حرکت می کند ، درحالی که این صفحه از صفحه استوای سماوی به اندازه ε=23.5˚ انحرافدارد .
تعریف خورشید میانگین : یک خورشید فرضی که با سرعت زاویهای ثابت روی استوای سماوی حرکت می کند . دوره تناوب خورشید میانگین و خورشید واقعیبرابر است .


تعریف تعدیل زمان (Equation of time) : اختلاف بعد خورشید میانگین و خورشید واقعی را تعدیل زمان میگویند و با E نشان می دهند .
می توان نشان داد لحظه اذان ظهر برابر است با 12– E . که البته در نیمه اول سال باید 1 ساعت به آن اضافه کرد .


نحوه محاسبه تعدیل زمان :
ابتدا باید مقدار جابه جایی خورشید از اعتدال بهاری را بهدست آوریم که برابر است با طول سماوی خورشید یا λ . توجه داشته باشید که مدار زمینیک بیضی با خروج از مرکز eاست که حضیض آن با نقطه اعتدال بهاری ω درجه اختلاف زاویه ای دارد . (طول حضیضمدار زمین ω است.)


برای محاسبه λ باید آنومالی واقعی مدار زمین(θ) را به دستآوریم و سپس بنویسیم : λ=θ-ω
خوب برای محاسبه θ ابتدا زمان گذشته از لحظه حضیض را به دستمی آوریم ، سپس از روی آن آنومالی میانگین (M) را محاسبه می کنیم . سپس با استفادهاز معادله کپلر (معادله 5 پست22) آنومالی خروج از مرکزی و سپس با استفاده ازمعادله 5 پست 21 آنومالی واقعی را محاسبه می کنیم .حال طول دایره البروجی خورشیدبه دست آمد .


توجه داشته باشید که بعد خورشید میانگین برابر است با RAMS=M-ω .(چرا؟)
حال با استفاده از λ و ε و رابطه زیر بعد خورشید واقعی رامحاسبه می کنیم .


tan (RA)=cos ε . tan λ
و در نهایت E =RAMS-RA



من نمودار تعدیل زمان در یک سال رو برای مدار زمین بامشخصات

e=0.0167

ω=1.3336 rad

tp=6537180مدت زمان گذشته از حضیض تا لحظه تحویل سال برحسب ثانیه.

رسم کردم که به شکل زیر در میاد :



http://up.avastarco.com/images/5dv9g01ibufu73c33hva.jpg (http://up.avastarco.com/)


دوستان اگر خیلی خلاصه توضیح دادم ببخشید ، این مبحث دو جلسه کلاس نیاز داره .

[rocky]

سلام دوستان.
چند وقت پیش یه سوال دیدم که میگفت :"سیارات در مسیر حرکتشون به دور خورشید با شهابواره ها برخورد میکنند وبه جرمشون اضضافه میشه .حالا اگر یه ابر شهابواره با جرم و سرعت vوm از بی نهایت به سمت زمین بیاد 1-شرط لازم برای جذب شدن به زمین و2-آهنگ افزایش جرم زمین رو بگید."میخواستم بدونم چطوری حل میشه .مثلا در بخش دوم اگر آهنگ افزایش نیرو نسبت به فاصله از زمین رو محاسبه کنیم درسته؟

[shariatzadeh]

سلام دوستان.
چند وقت پیش یه سوال دیدم که میگفت :"سیارات در مسیر حرکتشون به دور خورشید با شهابواره ها برخورد میکنند وبه جرمشون اضضافه میشه .حالا اگر یه ابر شهابواره با جرم و سرعت vوm از بی نهایت به سمت زمین بیاد 1-شرط لازم برای جذب شدن به زمین و2-آهنگ افزایش جرم زمین رو بگید."میخواستم بدونم چطوری حل میشه .مثلا در بخش دوم اگر آهنگ افزایش نیرو نسبت به فاصله از زمین رو محاسبه کنیم درسته؟


اگر سرعت ذرات ابر که از کنار زمین عبور می کنند کمتر ازسرعت فرار باشد ، ذرات از ابر جدا می شوند . در اینجا شما نباید فقط ذراتی که بهزمین بر خورد می کنند را در نظر بگیرید، بلکه منظور سوال هر گونه ذره ای است که ازابر جدا می شود و به زمین می پیوندد .


حال برای محاسبه نرخ افزایش جرم از شرط استفاده می کنیم .یعنی v<V(r)
که vسرعت ذرات ابر و V(r)سرعت فرار از سطح زمین در فاصله rاز مرکز زمین است . با توجه به معادله 4 پست 18 داریم :


v<sqrt(2GM/r)
r<2GM/v^2


یعنی اگر سرعت هر ذره v باشه فاصله اش از زمین باید کمتر از r باشه تا جذب بشه .
خوب حالا یک استوانه داریم باشعاع r و طول v.Δt . پس جرم داخل استوانه میشه ΔM=π.r^2.v.Δt.m.n


که mجرم هر ذره و n چگالی عددی ذرات هست . کاملا مشخصهست که اگر n زیاد باشد یعنی تعداد شهابواره ها دریک حجم مشخص زیاد است ودر نتیجه نرخ جرمی که توسط زمین جذب میشه (ΔM/Δt) هم افزایش پیدا می کنه . حالا عبارتها رو داخل هم قرار بدید و ساده کنید .

[Astronomy]

سوالی داشتم:

اگر به جای نیروی گرانش نیروی دافعه باشه چه بلایی سر مدار ها میاد؟

برای مثال فرض کنید زمین در حالی که داره به دور خورشید میچرخه یهو نیروی گرانش خورشید تبدیل به نیروی دافعه بشه

اونوقت حرکت زمین چطوری میشه؟

[shariatzadeh]

سوالی داشتم:

اگر به جای نیروی گرانش نیروی دافعه باشه چه بلایی سر مدار ها میاد؟

برای مثال فرض کنید زمین در حالی که داره به دور خورشید میچرخه یهو نیروی گرانش خورشید تبدیل به نیروی دافعه بشه

اونوقت حرکت زمین چطوری میشه؟


سوالتون دقیقا مثل حرکت دوتا پروتون نسبت به همه . نیروی بین دو پروتون که به هر دو بار مثبت دارند ، به شکل F=-ke^2/r^2 هست ، که e واحد بار الکتریکی است .
اما مدار در این حالت فقط می تواند به شکل هذلولی باشد . این مطلب را می توانین با استفاده از معادله 5 پست 12 (http://forum.avastarco.com/forum/showthread.php?792-مکانیک-مداری&p=32419&viewfull=1#post32419)مشاهده کنید . کافی است کاری که ما برای نیروی جاذبه عکس مجذوری انجام دهیم ، برای نیروی دافعه عکس مجذوری انجام دهید . آنوقت سمت چپ معادله 7 علامت منفی دارد و با حل معادله دیفرانسیل به معادله هذلولی در دستگاه قطبی می رسید .
ذره ای به جرم m و بار الکتریکی q را از نزدیک یک ذره سنگین با بار الکتریکی Q عبور می کند ، اثبات کنید معادله مسیر آن به شکل زیر است :


http://up.avastarco.com/images/5yqd21o4dbynd5b6q37l.png (http://up.avastarco.com/images/5yqd21o4dbynd5b6q37l.png)

که در آن l تکانه زاویه ای و E انرژی مکانیکی ذره است .

[Astronomy]

سوالتون دقیقا مثل حرکت دوتا پروتون نسبت به همه . نیروی بین دو پروتون که به هر دو بار مثبت دارند ، به شکل F=-ke^2/r^2 هست ، که e واحد بار الکتریکی است .
اما مدار در این حالت فقط می تواند به شکل هذلولی باشد . این مطلب را می توانین با استفاده از معادله 5 پست 12 (http://forum.avastarco.com/forum/showthread.php?792-مکانیک-مداری&p=32419&viewfull=1#post32419)مشاهده کنید . کافی است کاری که ما برای نیروی جاذبه عکس مجذوری انجام دهیم ، برای نیروی دافعه عکس مجذوری انجام دهید . آنوقت سمت چپ معادله 7 علامت منفی دارد و با حل معادله دیفرانسیل به معادله هذلولی در دستگاه قطبی می رسید .
ذره ای به جرم m و بار الکتریکی q را از نزدیک یک ذره سنگین با بار الکتریکی Q عبور می کند ، اثبات کنید معادله مسیر آن به شکل زیر است :


http://up.avastarco.com/images/5yqd21o4dbynd5b6q37l.png (http://up.avastarco.com/images/5yqd21o4dbynd5b6q37l.png)

که در آن l تکانه زاویه ای و E انرژی مکانیکی ذره است .
ممنون از پاسخ کاملتون

من برای خودم یک استدلال داشتم که انگار غلط هست! میشه بگید کجاش مشکل داره؟؟

و اما استدلال من:

برای مثال زمین رو میگیم که دور خورشید میگرده

2 تا بردار سرعت میتونیم براش رسم کنیم! 1- بردار سرعت شعاعی 2- بردار سرعت مماسی

حالا میایم برای وارد کردن نیرو دافعه به جای جاذبه بردار سرعت شعاعی رو قرینه میکنیم

میبینیم که برایندشون نشون میده داره از ما دور میشه و کاملا طبیعی هست

میدونیم که اندازه بردار سرعت شعاعی تابع فاصله هست، پس هرچی زمین دورتر بشه اندازه بردار سرعت شعاعی (البته قرینش) کمتر میشه!

و من این نتیجه رو میگیرم که زمین به صورت مارپیچی از خورشید دور میشه!!!

[پیمان اکبرنیا]

ممنون از پاسخ کاملتون

من برای خودم یک استدلال داشتم که انگار غلط هست! میشه بگید کجاش مشکل داره؟؟

و اما استدلال من:

برای مثال زمین رو میگیم که دور خورشید میگرده

2 تا بردار سرعت میتونیم براش رسم کنیم! 1- بردار سرعت شعاعی 2- بردار سرعت مماسی

حالا میایم برای وارد کردن نیرو دافعه به جای جاذبه بردار سرعت شعاعی رو قرینه میکنیم

میبینیم که برایندشون نشون میده داره از ما دور میشه و کاملا طبیعی هست

میدونیم که اندازه بردار سرعت شعاعی تابع فاصله هست، پس هرچی زمین دورتر بشه اندازه بردار سرعت شعاعی (البته قرینش) کمتر میشه!

و من این نتیجه رو میگیرم که زمین به صورت مارپیچی از خورشید دور میشه!!!

شما باید بردار نیروی وارده را بر عکس کنید نه بردار سرعت را ;) بعد ببینید در اثر این نیروی معکوس، سرعت چه تغییری میکنه

[المپیاد نجوم]

http://up.avastarco.com/images/lyhwlveiecbg47ett7n.jpg
تو رابطه ی انرژی به جای Qکا نوشته شده که در ادامه ی راه درست شده و تو رابطه ی خروج از مرکز هم یه دفعه توان منفی تو مخرج گذاشتم که باز هم در ادامه درست شده!

[celestial boy]

سلام
یه سوال مربوط به ھمین سوال.
گفتید مثه حرکت دوتا پروتون نزدیک به ھم.حالا اگه فرض کنیم دوتا پروتون کاملا یکسان در روی یک خط با سرعت مساوی به ھم نزدیک بشن و برھمکنش کنن حالا این مدار چه شکلیه؟؟ھمون ھذلولی؟؟ حالا سوال بعد.ھر پروتون یک مدار ھذلولی داره و دوتا مدار با ھم در دو جا تلاقی دارند.(دارند؟؟) چون فرض کردیم شبیه ھم ھستند پس کانون دوتا ھذلولی روی ھم و روی مرکز جرم دو ذره قرار داره.(درسته؟؟)
یه سوال دیگه:جھت حرکت این دوتا پروتون چه جوریه؟؟اگه مثلا ھر دوتا روی مدارشون پاد ساعتگرد بچرخن میشه گفت در ھر لحظه در دور ترین فاصله از ھم قرار می گیرن.(میشه گفت؟؟؟) در این حالت چه بلایی سر تکانه زاویه ای و پایستگیش میاد؟؟؟ ولی اگه یکی ساعت گرد بچرخه ولی دیگری نه دراین صورت برخورد خواهند داشت.(خواهند داشت؟؟؟)
حالا شاید درباره حرکت پروتون نشه صحبت کنیم.اما به صورت نظری واسه این طور نیرویی این اتفاق رخ میده؟؟؟
ببخشید اگه بی ربط بود با تاپیک...

[المپیاد نجوم]

سلام ببخشید که قبل از جواب داده شدن سوال قبل باز سوال می پرسم.
1.اگر یک نوع میدان نیرو بتواند چند نوع مدار ایجاد کند از کجا تعداد مدار ها را بفهمیم؟کلا تو حل کردن کلی اون معادله دیفرانسیل من مشکل دارم!!!(مثل سوال 11 فصل 6 فاولز)
2.در مورد مفهوم میدان و پتانسیل از کجا (به جز فاولز چون فاولز رو نفهمیدم)می تونم بخونم؟
ممنون!

[shariatzadeh]

سلام
یه سوال مربوط به ھمین سوال.
گفتید مثه حرکت دوتا پروتون نزدیک به ھم.حالا اگه فرض کنیم دوتا پروتون کاملا یکسان در روی یک خط با سرعت مساوی به ھم نزدیک بشن و برھمکنش کنن حالا این مدار چه شکلیه؟؟ھمون ھذلولی؟؟ حالا سوال بعد.ھر پروتون یک مدار ھذلولی داره و دوتا مدار با ھم در دو جا تلاقی دارند.(دارند؟؟) چون فرض کردیم شبیه ھم ھستند پس کانون دوتا ھذلولی روی ھم و روی مرکز جرم دو ذره قرار داره.(درسته؟؟)
یه سوال دیگه:جھت حرکت این دوتا پروتون چه جوریه؟؟اگه مثلا ھر دوتا روی مدارشون پاد ساعتگرد بچرخن میشه گفت در ھر لحظه در دور ترین فاصله از ھم قرار می گیرن.(میشه گفت؟؟؟) در این حالت چه بلایی سر تکانه زاویه ای و پایستگیش میاد؟؟؟ ولی اگه یکی ساعت گرد بچرخه ولی دیگری نه دراین صورت برخورد خواهند داشت.(خواهند داشت؟؟؟)
حالا شاید درباره حرکت پروتون نشه صحبت کنیم.اما به صورت نظری واسه این طور نیرویی این اتفاق رخ میده؟؟؟
ببخشید اگه بی ربط بود با تاپیک...

1- وقتی دو ذره در حال حرکت به سمت یکدیگر هستند و در راستای مماسی هم مولفه سرعت ندارند ، تکانه زاویه ای نداریم . یعنی l=0 . دو ذره روی یک خط به هم نزدیک می شوند و به یک فاصله مینیموم از هم میرسند سپس روی همان خط از هم دور می شوند .
2- ببینید هر دو پروتون روی مدار هذلولی حرکت می کنند و به هیچ وجه این دو مدار همدیگر را قطع نمی کنند و هیچ یک از دو پروتون در کانون مدار قرار ندارند . تجسم حرکت دو پروتون کمی دشوار است . معمولا ما فرض می کنیم یکی از ذرات آنقدر بار دارد و همچنین آنقدر سنگین است که تحت تاثیر ذره کوچک قرار نمی گیرد . اما برای بررسی چنین سیستم هایی که هر دو جسم تحت تاثیر نیروی هم قرار دارند ، معمولا از حرکت نسبی استفاده می کنیم .
یک نکته که باید به آن توجه کنیم این است که وقتی دو ذره در دو مدار تحت تاثیر هم قرار دارند (مثلا همین دو پروتون یا دو ستاره در یک سیستم دوتایی) خروج از مرکز هر دو مدار با هم برابر است و دو جسم در هر لحظه آنومالی واقعی برابری دارند .

[shariatzadeh]

سلام ببخشید که قبل از جواب داده شدن سوال قبل باز سوال می پرسم.
1.اگر یک نوع میدان نیرو بتواند چند نوع مدار ایجاد کند از کجا تعداد مدار ها را بفهمیم؟کلا تو حل کردن کلی اون معادله دیفرانسیل من مشکل دارم!!!(مثل سوال 11 فصل 6 فاولز)
2.در مورد مفهوم میدان و پتانسیل از کجا (به جز فاولز چون فاولز رو نفهمیدم)می تونم بخونم؟
ممنون!


1- مشکل شما با ریاضیات است و به حل معادله دیفرانسیل برمی گردد . برای مثال مدار هایی که یک نیروی جاذب عکس مکعبی می سازند (F=-k/r^3) را می خواهید بررسی کنید . از معادله 2 پست 12 در می یابیم که سمت چپ معادله متناسب است با u . در واقع معادله دیفرانسیل به شکل d^2/dθ^2 u+A.u=0
جواب های این معادله به ضریب A بستگی دارد . در واقع اگر A مثبت ، منفی یا صفر باشد شما سه جواب مختلف برای معادله بدست می آورید که جواب درست را شرایط اولیه تعیین میکنند .

2- کتاب آشنایی مکانیک تحلیلی آ.پ.آریا کتاب بسیار خوبی است .

[المپیاد نجوم]

یه سوال خیلی خیلی سطح پایین دارم!ببخشید.
من نمی تونم مفهوم پتانسیل رو بفهمم (از لحاظ فیزیکی) میشه لطفا کمکم کنین؟
ممنون

[celestial boy]

سلام.
ممنون واسه جواب سوال قبلیم.(و اون جواب یعنی هرچی فکر کرده بودم اشتباه بودن!!!)
یه سوال آسون که البته فک کنم به سوال المپیاد نجوم ربط داره.نمی دونم چه ربطی ولی ربطش بدین.
نیروی خورشید بر ماه حدود دو برابر نیروی زمین به ماهه.پتانسیل گرانشی خورشید در فاصله ماه حدود 860 برابر پتانسیل زمین تو اون فاصلس.چرا ماه کاملا مقید یه حرکت دور زمینه؟؟؟تو کلپنر بود فک کنم.نوشته بود این به گرادیان انرژی پتانسیل مربوطه(اگه اشتباه نکنم)این دقیقا یعنی چی؟؟؟؟

[Ehsan]

یه سوال خیلی خیلی سطح پایین دارم!ببخشید.
من نمی تونم مفهوم پتانسیل رو بفهمم (از لحاظ فیزیکی) میشه لطفا کمکم کنین؟
ممنون
انرژی ِ پتانسیل بیشتر یک مفهوم ِ ریاضی هستش اما توجیه ِ این شکلی داره:
انرژی یک کمیت ِ پایسته است. وقتی به واسطه ی ِ یک نیرو انرژی ِ جنبشی تغییر می کنه، انرژی ِ جنبشی نمی تونه نابود شده باشه یا به وجود اومده باشه بلکه باید از یک جایی تامین شده باشه.
این جایی که انرژی تامین میشه و به جنبشی تبدیل می شه (یا از جنبشی کاسته و به این جا افزوده می شه) می گن انرژی ِ پتانسیل. شاید اعتراض کنید که این طوری انرژی ِ پتانسیل رو خودمون طوری تعریف کردیم که انرژی ِ کل ثابت بمونه! خوب جواب اینه که آره! :دی

اما واقعا مفاهیم ِ جالبی هم پشت ِ قضیه هست مخصوصا وقتی ترمودینامیک و سیستم های ِ بس ذره ای رو بخواهید بررسی کنید.

سلام.
ممنون واسه جواب سوال قبلیم.(و اون جواب یعنی هرچی فکر کرده بودم اشتباه بودن!!!)
یه سوال آسون که البته فک کنم به سوال المپیاد نجوم ربط داره.نمی دونم چه ربطی ولی ربطش بدین.
نیروی خورشید بر ماه حدود دو برابر نیروی زمین به ماهه.پتانسیل گرانشی خورشید در فاصله ماه حدود 860 برابر پتانسیل زمین تو اون فاصلس.چرا ماه کاملا مقید یه حرکت دور زمینه؟؟؟تو کلپنر بود فک کنم.نوشته بود این به گرادیان انرژی پتانسیل مربوطه(اگه اشتباه نکنم)این دقیقا یعنی چی؟؟؟؟
یعنی در جزر و مد تغییرات ِ میدان ِ نیرو مهم هستش نه خود ِ مقدار ِ نیرو.
این چون یکی از سوالات ِ مسابقه دانش آموزی بود تو این تاپیک می تونید جواب ِ مبسوطش رو پیدا کنید:
http://forum.avastarco.com/forum/showthread.php?809-%D9%85%D8%B3%D8%A7%D8%A8%D9%82%D9%87-%D9%85%D9%84%DB%8C-%D8%AF%D8%A7%D9%86%D8%B4-%D8%A2%D9%85%D9%88%D8%B2%DB%8C-%D8%B4%D8%B1%DB%8C%D9%81

[shariatzadeh]

یک سوال دارای بار آموزشی که دوستان را دعوت به بحث می کنیم :


سه جسم با جرم های مساوی mمطابق شکل در یک لحظه روی مثلث متساوی الاضلاع با سرعت های نشان داده شده قرار دارند ، این سه جرم تحت تاثیر گرانش یکدیگر در صفحه حرکت میکنند و نیروی خارجی احساس نمی کنند .
اگر v=u/sqrt(2)باشد(u تقسیم بر رادیکال 2)، که در آن uحداقل سرعتی است که سه جسم را از هم می پاشد . نشان دهید سه جرم حرکت تناوبی انجام می دهند ، همچنین خروج از مرکز و دوره تناوب آنها را محاسبه کنید . جواب را بر حسبm و فاصله اولیه اجرام (d) بنویسید .



http://up.avastarco.com/images/7fzhkx05hat6xzb13gnc.png (http://up.avastarco.com/images/7fzhkx05hat6xzb13gnc.png)

پیشاپیش از دوستانی که به پیشرفت این بحث کمک می کنند تشکر می کنم .

[المپیاد نجوم]

سلام آقای شریعت زاده چون راه حل خیلی طولانیه من اول میگم راه رو واگه شما تایید کردین محاسبات ریاضیشم می نویسم.
مثل مساله ی 65 مجموعه سوالات صدرالدینی میایم اول معادله نیرو رو می نویسیم و با یکم هندسه بازی بالاخره رابطه ی بین a,rرو در میاریم.حالا قانون سوم کپلر می زنیم و بعدم مصل مسائل معمول مدار میایم انرژی وتکانه زاویه ای رو پایسته می گیریم و به دو شکل مداری و معمول می نویسیم. از روی معادله نیرو هم معلومه که مدار بیضی هست پس همه چی برای مدار هرکدوم دور مرکز جرم در میاد و مساله حله!
فقط یه چیزی مرکز جرم همون وسطه دیگه نه؟
ممنون

[shariatzadeh]

سلام آقای شریعت زاده چون راه حل خیلی طولانیه من اول میگم راه رو واگه شما تایید کردین محاسبات ریاضیشم می نویسم.
مثل مساله ی 65 مجموعه سوالات صدرالدینی میایم اول معادله نیرو رو می نویسیم و با یکم هندسه بازی بالاخره رابطه ی بین a,rرو در میاریم.حالا قانون سوم کپلر می زنیم و بعدم مصل مسائل معمول مدار میایم انرژی وتکانه زاویه ای رو پایسته می گیریم و به دو شکل مداری و معمول می نویسیم. از روی معادله نیرو هم معلومه که مدار بیضی هست پس همه چی برای مدار هرکدوم دور مرکز جرم در میاد و مساله حله!
فقط یه چیزی مرکز جرم همون وسطه دیگه نه؟
ممنون

سلام
از تاخیری که داشتم متاسفم من چهار شب گذشته رصد بودم و الان هم تازه رسیدم .

قبل از اینکه بگم راه شما درسته یا نه . یک سوال داشتم :
u سرعتی است که سیستم را از هم می پاشاند ، در حالی که سرعت یکی از اجرام 2v است که از u بیشتر است . پس چه طور ممکن است سیستم از هم نپاشد و حرکت تناوبی انجام دهد ؟

[المپیاد نجوم]

نکته ی خیلی مهمی رو گفتین. حقیقت من خودم فکر می کردم که برآیند مهمه یعنی اگه یکی بیشتر از Uباشه و یکی خلاف جهت مثلا و کمتر خلاصه تو برآیند کمتر از uبشه نمی پاشه که رادیکال 2 تقسیم بر 2 در Uشد.که گفتم نمی پاشه دیگه.ولی الان شک کردم که اگه یه دونشم چنین سرعتی داشته باشه شاید بپاشه سیستم!!!

[shariatzadeh]

چرا هیچکس درباره این سوال (http://forum.avastarco.com/forum/showthread.php?792-%D9%85%DA%A9%D8%A7%D9%86%DB%8C%DA%A9-%D9%85%D8%AF%D8%A7%D8%B1%DB%8C&p=39172&viewfull=1#post39172) (پست57) نظری نداره ؟
خیلی سخت نیست .

به این نکته توجه کنید که چرا با وجود اینکه سرعت یکی از اجسام از سرعت فرار بیشتر است ، سیستم مقید می ماند ؟


بیاید بحث کنید ، نظراتتون رو بگید ...

[soroosh]

چرا هیچکس درباره این سوال (http://forum.avastarco.com/forum/showthread.php?792-%D9%85%DA%A9%D8%A7%D9%86%DB%8C%DA%A9-%D9%85%D8%AF%D8%A7%D8%B1%DB%8C&p=39172&viewfull=1#post39172) (پست57) نظری نداره ؟
خیلی سخت نیست .

به این نکته توجه کنید که چرا با وجود اینکه سرعت یکی از اجسام از سرعت فرار بیشتر است ، سیستم مقید می ماند ؟
بیاید بحث کنید ، نظراتتون رو بگید ...

شک دارم ولی فکر کنم که این u سرعت نسبی باشه، نه ؟؟؟

[المپیاد نجوم]

منم کاملا با سروش موافقم حرکت نسبی رو باید در نظر بگیریم نه؟

[arashgmn]

شک خیلی خوبیه . فقط باید بگید که سرعت نسبت به چی ؟ با حالت دو جرمی مقایسه کنید احتمالا کمکتون خواهد کرد . به جواب بسیار نزدیک شده اید .

[soroosh]

خوب من که جواب سوالو از یه جای دیگه فهمیدم ولی نمیگم که بقیه دوستان هم فکر کنن

[المپیاد نجوم]

خوب مساله ی دو جسم نسبت به مرکز جرم می نوشتیم و ... ولی این جا مرکز جرم یکم قضیش فرق داره!گویا ثابت نیست!!!
من دو تا راه حل تو ذهنم دارم که نمی دونم کدوم درسته(شایدم هیچ کدوم)
یکی همون بود که اون اول گفتم. یکیم تو مایه های سوال دوره ی 6 (البته اون دو تا جرم بود)ولی تو اون مساله می دیدیم که الزاما مبدا و مرکز جرم یک جا نیستن و مدارنسبی می نوشتیم و..(یعنی مساله خیلی دید برداری داشت) کدوم یکی تو این مساله به درد می خوره؟

[celestial boy]

سلام.
من که درست و حسابی نفهمیدم کدوم سرعت نسبی باید باشه.و نسبت به چی باشه.ولی اون جوری که من گرفتم اگه سرعت هر کدومو نسبت به مرکز جرم حساب کنیم مشکل بیشتر بودن سرعت اون یکی حل خواهد شد.سرعت قائم مرکز جرم میشه v و اگه از سرعت اون جرم کم کنیم اون هم سرعت v رو خواهد داشت.پس بیشتر از سرعت فرار نیست.فقط الان خود این سرعت ها نسبت به چی هستن؟؟

[shariatzadeh]

بسیار خوب
با همکاری هم تقریبا به جواب سوال رسیدید .:grin:

تمام حرکت های مداری در دستگاه مختصات مرکز جرم بررسی میشوند . شما برای بررسی یک سیستم چند جرمی که تحت گرانش یکدیگر حرکت می کنند باید ابتدا سرعت مرکز جرم را از تمام دستگاه کم کنید ، اینگونه سرعت اجرام نسبت به مرکز جرم به دست می آید . سپس با استفاده از سرعت ها و ... مجهولات مسئله را به دست می آوریم.
در اینجا پس از کم کردن سرعت مرکز جرم ، شرایط تمام جرم ها یکسان می شود و سه جرم همیشه روی راس های مثلث متساوی الاضلاع باقی می مانند .

حال سوال را به صورت عددی حل کنید .;)

[المپیاد نجوم]

حالا بچه ها بیاین این سوال را باهم حل کنیم.
تعدادی از منجمان ایرانی متوجه شدند که شهاب سنگی نسبتا بزرگ در مسیری مستقیم به سمت مرکز زمین در حال سقوط است.محاسبات اولیه نشان می دهند که این شهاب سنگ در خلیج فارس و به مختصات 26 درجه ی شمالی و 54 درجه ی شرقی برخورد خواهد کرد.اگر این اتفاق روی دهد،سونامی حاصل موجب تخریب سواحل و اسکله های خلیج فارس خواهد شد.وزارت دفاع تصمیم می گیرد که با پرتاب موشکی از پایگاه اصفهان با طول 52 درجه ی شرقی و عرض 32 درجه ی شمالی این شهاب سنگ را پیش از برخورد به زمین منفجر کند.این موشک با زاویه ی 75 درجه نسبت به افق و با سرعت 5 کیلومتر بر ثانیه در ساعت 20 پرتاب می شود.موشک در نهاست به شهاب سنگ برخورد می کند.حالا شما زمان انفجار و سمت وارتفاع دیده شدن آن رت در آسمان تهران محاسبه کنید.(چرخش زمین رو اصلا در نظر نگیرید)



فکری که من خودم کردم این بود که با کمک تکانه زاویه ای و انرژی بیایم a,eرو برای مدارشهاب سنگ در بیاریم بعد برای مدار موشک هم همین کارو انجام بدیم بعد بگیم rمداری این دو تا کجا با هم برابره و تتا رو اون جا در بیاریم.بعد معادله کپلر بنویسیم تا زمان رو پیدا کنیم.برای سمت و ارتفاع هم باید بردار مکان ناظر و بردار مکان موشک؟ رو بنویسیم و درست مثل مسائل کروی برداری حل کنیم.این راه حل که به نظر من اومده به نظر شما درسته یا نه؟ و این که این راه خیلی خیلی طولانی میشه به نظرتون راه حل کوتاه تری هم هست؟ ممنون!

[soroosh]

مدار شهاب سنگ که a,e نداره به طور مستقیم داره میاد بخوره به زمین و چون داره مستقیم میاد پس نقطه‌ی برخورد موشک با شهاب سنگ باید بالای مختصات داده شده(۲۶ درجه‌ی شمالی و ۵۴ درجه‌ی شرقی) باشه از این جا تتای موشک در میاد و بقیه راه هم همون طوری که شما گفتید می‌شه
البته برای سمت و ارتفاع فکر کنم هندسی هم بشه حل کرد!

[celestial boy]

سلام.
فقط دوتا سوال کوچولو.1-واقعا لازمه از اون روابط استفاده کنیم؟؟روابط پرتابه هم درست در میاد.البته اگه از انحنای مسیر چشم پوشی کنیم.
2-لطفا یه توضیح دیگه بدید. :دی گیج شدم.مدار موشک چی میشه آخه؟؟

[arashgmn]

سلام.
فقط دوتا سوال کوچولو.1-واقعا لازمه از اون روابط استفاده کنیم؟؟روابط پرتابه هم درست در میاد.البته اگه از انحنای مسیر چشم پوشی کنیم.
2-لطفا یه توضیح دیگه بدید. :دی گیج شدم.مدار موشک چی میشه آخه؟؟

چون در مسیر حرکت این پرتابه شتاب گرانش ثابت نیست پس مسلما نمیشه موشک رو با یه میدان نیروی ثابت توصیف کرد و باید حالت کلی اون رو (که مقطع مخروطی میشه) در نظر گرفت . در ضمن انحنای مسیر خیلی زیاده . تو این جور مسائل نمی شه ازشون صرف نظر کرد مگر این که خود سوال گفته باشه (که معمولا در این مواقع محاسبه ی چیز سخت تری رو ازتون انتظار دارن :دی)

اما راجع به سوال دوم : مسیر شهاب سنگ که یه خطه (دقت کنید که خط هم جزو مقاطع مخروطیه) . اما ما باید مدار رو از روی علامت انرژی تشخیص بدیم . که اگه منفی بشه ، مدار بیضی ، اگه صفر بشه ، مدار سهمی و اگه مثبت بشه مدار هذلولی خواهد بود.

[celestial boy]

سلام دوستان المپیادی.
واقعا چرا باید همچین تاپیک عالی و المپیادی تو فروم خاک بخوره؟؟

فعلا بنده یه راهنمایی لازم دارم.لطف کنید:مدت زمانی که یه جسم با یه مدار سهمی داخل مدار زمین (فرضا دایره ای) قرار داره چطوری به دست میاد؟؟در مدار هذلولی این مقدار چطوری به دست میاد؟؟
تشکر...

[المپیاد نجوم]

خوب من این سوالو توی فاولز،ماریون و اسمارت دیدم که یعنی سوال مهمیه.راه حل مدار سهمیشو من نوشتم و برای هذلولی پایه ی کار همینه فقط تکانه زاویه ای و شعاع عوض می شه و توی انتگرال گیری هم انتگرال فرق می کنه توی پست های آقای شریعت زاده جواب دور و دراز انتگراله هستش!خودت بنویس اگه نشد باهم حلش می کنیم!
http://up.avastarco.com/images/eqmhnoagijn1o3ppa55.jpg

[shariatzadeh]

سلام دوستان المپیادی.
واقعا چرا باید همچین تاپیک عالی و المپیادی تو فروم خاک بخوره؟؟

فعلا بنده یه راهنمایی لازم دارم.لطف کنید:مدت زمانی که یه جسم با یه مدار سهمی داخل مدار زمین (فرضا دایره ای) قرار داره چطوری به دست میاد؟؟در مدار هذلولی این مقدار چطوری به دست میاد؟؟
تشکر...

برای محاسبه زمانی که یک جسم در مداری با خروج از مرکز e بین دو نقطه با آنومالی θ1 و θ2 سپری می کند باید از معادله 2 پست 20 همین تاپیک استفاده کنیم .
همانطور که قبلا هم گفتم گرفتن این انتگرال فقط به ازای e=1 ساده است (المپیاد نجوم هم توی راه حلش اون رو دونسته فرض کرده!!!) و برای خروج از مرکز های کوچکتر وبزرگتر از 1 کمی پیچیده می شود .
اما برای مدارهای بیضی و هذلولی بهتر است به جای اینکه اون انتگرال رو بگیریم از راه های ساده تر استفاده کنیم . مثل حل معادله کپلر برای مدارهای بیضی یا معادله بارکر برای مدارهای هذلولی (که ما هنوز نگفتیمش) .
معادله 2 پست 20 رو برای مدار های سهمی می تونیم به شکل زیر حل کنیم :

http://up.avastarco.com/images/5kzpid4rmzer0tkpfdx.png (http://up.avastarco.com/)

اگر دوست داشته باشید بقیه انتگرال ها رو هم می گیرم . می تونید روش فکر کنید ولی به دردتون نمی خوره . ولی راه حل بالا رو یاد بگیرید . مثل معادله کپلر برای بیضیه .

[المپیاد نجوم]

با اجازه یه سوالم از ماریون می پرسم!
دو ذره تحت تاثیر نیروس گرانشی متقابلشان حرکت و مسیرهایی دایره ای با دوره تناوب tبه دور یکدیگر طی می کنند.اگر ناگهان در مدارهایشان متوقف شوند و امکان یابند که با جاذبه ی گرانشی به سوی یکدیگر کشیده شوند،نشان دهید که پس از مدتt/radical32 به یکدیگر برخورد می کنند.

[shariatzadeh]

با اجازه یه سوالم از ماریون می پرسم!
دو ذره تحت تاثیر نیروس گرانشی متقابلشان حرکت و مسیرهایی دایره ای با دوره تناوب tبه دور یکدیگر طی می کنند.اگر ناگهان در مدارهایشان متوقف شوند و امکان یابند که با جاذبه ی گرانشی به سوی یکدیگر کشیده شوند،نشان دهید که پس از مدتt/radical32 به یکدیگر برخورد می کنند.

قبلش بیا این سوال رو حل کن یه پله ساده تره :
همین سوال بالا فقط جرم یکی از دیگری خیلی بیشتره . فرض کنید یک سیارک از فاصله d بخواد به درون خورشید سقوط آزاد کنه .

یه راهنمایی هم بکنم : از رابطه مستقل از زمان سرعت رو تابعی از فاصله بدست بیارید بعد ازش انتگرال بگیرید تا فاصله بر حسب زمان بدست بیاد و بعد زمان رو وقتی که فاصله دو جرم صفر میشه حساب کنید .

برای سوال المپیاد نجوم هم همینطوره فقط باید نتیجه بگیرید که چوندو جرم برابر هستن در فاصله d/2 به هم برخورد می کنن .

[celestial boy]

سلام.
اولا که چرا این تاپیک مفید یه مدتیه داره خاک می خوره؟؟حیفه واقعا!!
دوما یه سوال خیلی ساده.در آموزش هایی که جناب شریعت زاده لطف فرمودن و همچنین اوربیتال (البته فرق چندانی ندارن) همه پارامتر ها مستقل از جرم خود جسمه.این وضع فقط برای جرم قابل چشم پوشی (در برابر جرم بیشتر) به کار میره یا همه جا میشه ازش استفاده کرد؟؟اگه نمیشه پس باید همه معادلاتو دوباره بر حسب جرم جسم به دست بیاریم.درسته؟؟
تشکر...

[المپیاد نجوم]

تا جایی که من می دونم این ماجرای بر واحد جرم حساب کردن اصلا تقریب نیست و کاریه برای ساده تر کردن محاسبات ما!مثل وقتی که یه جرم آزمون می ذاشتیم اینم یه انرژی بر واحد جرم تعریف می کنه و اینا!

[shariatzadeh]

ما تمام معادلات را صرفا به دلیل سادگی بر واحد جرم نوشتیم . در واقع شما می تونید جرم جسم رو از معادلات حذف نکنید ، اونوقت در دو طرف تمام رابطه هاتون این پارامتر ظاهر میشه که بعدش ساده میشه .

نکته اینه که تقریب ما در پارامتر گرانش یا همون μ هست که ما اینجا برابر با GM گرفتیم که M برابر با جرم جسم مرکزی هست . در واقع پارامتر گرانشی برابر با G(M+m) هست . که ما اینجا از m در مقابل M چشم پوشی کردیم . اما اگر بخواهیم این معادلات را برای سیستم های ستاره ای مثلا ستاره های دوتایی بنویسیم باید جرم هر دو مولفه رو در نظر بگیریم .

[المپیاد نجوم]

سلام.ببخشید میشه منو تو حل این مساله کمک کنید؟
موشک قاره پیمایی با سرعت اولیه ی 5 کیلومتر بر ثانیه نسبت یه زمین از محلی با طول و عرض جغرافیایی صفر به سوی نقطه ای با ارتفاع 20 درجه و سمت 90 غربی پرتاب میشود!
این موشک کی و کجا(طول و عرض)به زمین می خورد؟
من توی پیدا کردن تتا یکم به راهم شک دارم!

[celestial boy]

سلام.
می تونم چنتا سوال درباره این سوال بپرسم؟؟می پرسم:
"نقطه ای با ارتفاع 20 درجه"؟؟؟دقیقا یعنی چی؟؟منظور همون عرضه درسته؟؟
یه چیزی کم نیست؟زاویه پرتاب موشک.اگه داشته باشیم که مسئله تقریبا آسون میشه.
تشکر...

[erfan bayat]

سلام.
می تونم چنتا سوال درباره این سوال بپرسم؟؟می پرسم:
"نقطه ای با ارتفاع 20 درجه"؟؟؟دقیقا یعنی چی؟؟منظور همون عرضه درسته؟؟
یه چیزی کم نیست؟زاویه پرتاب موشک.اگه داشته باشیم که مسئله تقریبا آسون میشه.
تشکر...
نه ببینین منظور اینه که یه نقطه تو اسمون که ارتفاع 20 وسمت 90 غربی داره موشکو پرتاب میکنیم
در واقع زاویه بین سرعت پرتاب و سطح عمود بر زمین 20 هستش

[erfan bayat]

سلام.ببخشید میشه منو تو حل این مساله کمک کنید؟
موشک قاره پیمایی با سرعت اولیه ی 5 کیلومتر بر ثانیه نسبت یه زمین از محلی با طول و عرض جغرافیایی صفر به سوی نقطه ای با ارتفاع 20 درجه و سمت 90 غربی پرتاب میشود!
این موشک کی و کجا(طول و عرض)به زمین می خورد؟
من توی پیدا کردن تتا یکم به راهم شک دارم!

چون ناظر تو استواست فقط تغییر تو طول داریم(چرا؟)
پس باید بیای زاویه ی نقطه ی پرتاب با استفاده از معادله قطبی بیضی به دست بیاری(با داشتن شعاع زمین که یک نقطه از پرتاب و سر عت تو این نقطه و زاویه بین سرعت و شعاع که میشه 90+20 میشه تکانه و انرژی مدار و از اینا خروج از مرکز ونیم محور مدارو دراری پس تتا اون نقطه که همون پرتابه به راحتی پیدا میشه حالا یه نقطه به صورت متقارن که نقطه ی فرود باشه هست که میتونی مسئله رو حل کنی)

[celestial boy]

سلام.
یه سوال کوچیک دیگه.اگه همینجا مکان اولیه روی استوا نباشه و به سمت 90 درجه پرتاب بشه چی؟؟از چه تقارنی استفاده کنیم؟؟
تشکر...

[arashgmn]

سلام.
یه سوال کوچیک دیگه.اگه همینجا مکان اولیه روی استوا نباشه و به سمت 90 درجه پرتاب بشه چی؟؟از چه تقارنی استفاده کنیم؟؟
تشکر...
می دونیم که جسممون یه بیضی(یا در حالت کلی یه مقطع مخروطی) رو طی می کنه . اما اگه از استوا پرتاب نشه ، تصویر این بیضی(یا مقطع مخروطی) روی سطح کره ی زمین ، یه دایره عظیمه ایه که تو لحظه ی پرتاب موازی با استواست اما بعدش با صفحه ی موازی با استوا زاویه پیدا می کنه. برعکس حالت قبل که زاویه اش با استوا همیشه صفر می موند .

پ.ن: در نوع سوالا معمولا از یه سری اثرایی که به واسطه چرخش زمین ایجاد میشه صرف نظر می کنیم. مثل نیروی کوریولیس و ... :)

[A.ALAVI]

اگه از اثرات گردش زمین صرف نظر کنیم کار خیلی ساده میشه!!
اوّل بدون در نظر گرفتن سمت پرتاب،با توجّه به همون راهی که آقای بیات گفتن،برد پرتابه رو روی زمین "برحسب زاویه" بدست میاریم.
حالا برای بدست آوردن مکان فرود یک مثّلث کروی باید حل کنیم،که آقای گل محمّدی به حالت خاص اون اشاره کردن!که یکی رئوس آن روی قطب شمال است،دوّمی روی محل پرتاب و سوّمین راس روی محل فرود است که این نقطه برای ما مجهول است!
اجزای معلوم این مثلّث دو ضلع و یک زاویه اند:1:ضلعی به طول 90-phi نقطه ی پرتاب
2:ضلعی به طول برد پرتابه بر حسب زاویه
3:زاویه ای سمت پرتاب
حال با حلّ این مثلّث میتوانیم 90-phi محل فرود و تفاضل طول جغرافیای دو نقطه را برحسب زاویه بدست آوریم!

[A.ALAVI]

5100
البتّه باید به خاطر کیفیّت پایینش منو ببخشید!
با نرم افزار paint بهتر از این نتونستم بکشم!

[A.ALAVI]

برای دیدن رابطه سرعت اوّلیّه و زاویه ی پرتاب با برد،میتونید به لینک زیر مراجعه کنید
http://www.4shared.com/file/UYZs24SF/_____________.html

[A.ALAVI]

به نظر من توی اون سوال پرتاب موشک قاره پیمایی که نسبت به زمین... یکی از نکات مهمّی که حتماً باید رعایت بشه اینه که سرعت خود موشک به تنهایی نیستا!سرعت زمینم باید بهش اضافه کنیم!
از اون مهم تر؛میدونیم که حتماً باید جمع برداری کنیم و نه جمع عددی دیگه!
تازه وقتی سرعت زمینم جمع برداری کنیم دیگه زاویه ی پرتاب نسبت به زمین 20 باقی نمی مونه ها!!

[celestial boy]

سلام.
من حساب کردم دیدم زیاد فرقی نمی کنه.زاویه پرتاب حدود 22 درجه میشه و تو محاسبه تتا خیلی خطا نداریم.حدود چند درجه.با این حساب واقعا لازمه خودمونو اذیت کنیم؟؟
یه سوال حیاتی.انرژی مدار که به صورت k/2a حساب میشه انرژی متوسط مداره.درسته؟؟با این حساب توی معادله انرژی مدار مشکل ایجاد نمی کنه؟؟و اینکه انرژی مدار کاملا ثابت نمی مونه.(من این قضیه انرژی مدارو درست نفهمیدم.تو اوج و حضیض یا هر جای دیگه ای یه عدد در میاد.)

[A.ALAVI]

سلام.
من حساب کردم دیدم زیاد فرقی نمی کنه.زاویه پرتاب حدود 22 درجه میشه و تو محاسبه تتا خیلی خطا نداریم.حدود چند درجه.با این حساب واقعا لازمه خودمونو اذیت کنیم؟؟
ادرسته که شاید در محاسبه ی زاویه زیاد خطا نداریم ولی ببینید این یه سواله مکانیکه ها!! تخمین نیست که حدودی حلّش کنیم!!
اگه میخواین خودتونو به زحمت نندازین یبارکی همون رابطه ای که برای پرتابه تو سینماتیک دبیرستان نوشته رو استفاده کنید!! هیچ سختی هم نداره! ولی نکته ی سوال همین رعایت اثر سرعت زمینه!

[A.ALAVI]

یه سوال حیاتی.انرژی مدار که به صورت k/2a حساب میشه انرژی متوسط مداره.درسته؟؟با این حساب توی معادله انرژی مدار مشکل ایجاد نمی کنه؟؟و اینکه انرژی مدار کاملا ثابت نمی مونه.(من این قضیه انرژی مدارو درست نفهمیدم.تو اوج و حضیض یا هر جای دیگه ای یه عدد در میاد.)
مبحث انرژی مداری مبحث خیلی مبحث مهمّیه!پیشنهاد میکنم برای بار چندمم که شده اونو از روی فصل 9 کلپنر و 6 فالز بخونید و رفع اشکال کنید!
من سعی می کنم در حدّ سواد خودم جواب بدم:
اوّل با استفاده از نیرو انرژی پتانسیل گرانشی در هر نقطه رو بدست میاریم.بعد بازم با استفاده از تکانه زاویه ای و نیرو سرعت اون در هر لحظه رو بدست میاریم(R دات و R ضرب در تتا دات)
حالا اگه انرژی جنبشیو به علاوه ی انرژی پتانسیل گرانشی کنیم می بینیم که در کلّ مدار برابره! پس نتیجه ای که میگیریم اینه که اگه انرژی یک نقطه از مدارو حساب کنیم،برای تمامی نقاط همون انرژی صادقه.
برای راحتی یه نقطه به فاصله ی a از کانون نیرو رو انتخاب می کنیم و می بینیم که انرژی پتانسیل گرانشی اون نقطه برابر k/a- و انرژی جنبشی اون برابر k/2a هست!حالا می تونیم نتیجه بگیریم که انرژی تو تمامی نقاط یه مدار برابر با k/2a- است!
درسته که انرژی پتانسیل گرانشی در نقاطی از مدار کم و زیاد میشه ولی این رابطه به ما میگه که هر چقدر که انرژی پتانسیل گرانشی کم و زیاد میشه،سرعتم متناسب با اون طوری تغییر میکنه که در تمامی نقاط مدار انرژی کلّ اون برابر k/2a- بشه!
پس انرژی کل یه مدار ثابته و چیزی که تغییر میکنه انرژی پتانسیل گرانشی اون بسته به فاصلش از کانون نیرو است!یعنی انرژی کل تو اوج و حضیض تفاوتی نمی کنه و این انرژی پتانسیل گرانشی(k/r-) که تغییر میکنه!
امیدوارم گنگ نگفته باشم!

[celestial boy]

سلام دوباره.
ببخشید بازم سوال می پرسم.نمی فهممشون.
درباره اون پرتابه الان گفته به سمت 90 درجه غربی میشه حرکت پاد ساعتگرد؟؟گیج شدم.

و انرژی مدار.تا اینجاشو کامل فهمیدم.حالا من میگم به جای a شعاع حضیضو بذاریم.انرژی جنبشی میشه k/2a(1-eو پتانسیل k/a(1-e که اگه این دوتا رو از هم کم کنیم میشه منفی k/2a(1-e که این با اونی که گفتید مساوی نیست.(البته احتمال زیاد میدم که سرعتو اشتباه نوشتم.)
مورد بعدی که نمی فهمم:ما چرا اومدیم نقطه ای با شعاع a توی معادله وارد کردیم.مگه سرعت تغییرات شعاعی توش نیست؟؟و توی مدار فقط در دو نقطه اوج و حضیض تغییرات صفره.اون سرعت رادیکال GM/R فقط واسه دایره با شعاع ثابت درسته.نقطه a هم که تغییرات شعاعی داره.پس...؟؟؟!!!!!
تشکر....

[A.ALAVI]

مورد بعدی که نمی فهمم:ما چرا اومدیم نقطه ای با شعاع a توی معادله وارد کردیم.مگه سرعت تغییرات شعاعی توش نیست؟؟و توی مدار فقط در دو نقطه اوج و حضیض تغییرات صفره.اون سرعت رادیکال GM/R فقط واسه دایره با شعاع ثابت درسته.نقطه a هم که تغییرات شعاعی داره.پس...؟؟؟!!!!!

ببینید،در مورد معادله ی مدار حواستون هست که باید سرعت مجموع رو بزاریم دیگه! یعنی با استفاده از فیثاغورث هم سرعت شعاعی و هم سرعت مماسی رو باید باهم جمع کنیم و به جای سرعت قرار بدیم!!
پس احتمالا اشتباه در بدست آوردن سرعت در این بخش اتّفاق افتاده!



و انرژی مدار.تا اینجاشو کامل فهمیدم.حالا من میگم به جای a شعاع حضیضو بذاریم.انرژی جنبشی میشه k/2a(1-eو پتانسیل k/a(1-e که اگه این دوتا رو از هم کم کنیم میشه منفی k/2a(1-e که این با اونی که گفتید مساوی نیست.(البته احتمال زیاد میدم که سرعتو اشتباه نوشتم.)

ببخشید چطوری گفتید انرژی جنبشی میشه (k/2a(1-e؟
من خودم میگم شما در مورد سرعت یکم بازنگری کنید فکر کنم قضیه حل شه.

[shariatzadeh]

اینم اثبات ثابت بودن انرژی در مدار ها
http://www.4shared.com/office/DQ195DCV/Energy_in_orbits_.html
البتّه باید به خاطر اینکه لینکش از 4shared منو ببخشید!

توی پست 13 همین تاپیک هم موجود بود !

[المپیاد نجوم]

یک سوال داشتم.
فرض می کنیم که یه کهکشان داریم که در مرکز اون یک سیاهچاله ی خیلی پرجرم داریم و صفحه ی کهکشانم یه صفحه ی بی نهایت می گیریم که نیروی گرانش هم از طرف صفحه و هم از طرف سیاهچاله به جسم وارد میشه حالا جسمو بر می داریم به اندازه ی hاز کهکشان می بریم بالاتر .حالا جسممون آیا نوسان می کنه؟تناوبش چیه (کلا حرکت چنین جسمیو تحلیل کنین)
من قضیه ی گاوس رو نوشتم برای صفحه و برای سیاهچاله هم که نیروی گرانش در اون راستا رو نوشتم و معادله دیفرانسیل اصلا ساده نیست.امکان داره یه نفر راه حل کامل این مساله تا جواب آخر رو بهم بگه؟ممنون!

[arashgmn]

یک سوال داشتم.
فرض می کنیم که یه کهکشان داریم که در مرکز اون یک سیاهچاله ی خیلی پرجرم داریم و صفحه ی کهکشانم یه صفحه ی بی نهایت می گیریم که نیروی گرانش هم از طرف صفحه و هم از طرف سیاهچاله به جسم وارد میشه حالا جسمو بر می داریم به اندازه ی hاز کهکشان می بریم بالاتر .حالا جسممون آیا نوسان می کنه؟تناوبش چیه (کلا حرکت چنین جسمیو تحلیل کنین)
من قضیه ی گاوس رو نوشتم برای صفحه و برای سیاهچاله هم که نیروی گرانش در اون راستا رو نوشتم و معادله دیفرانسیل اصلا ساده نیست.امکان داره یه نفر راه حل کامل این مساله تا جواب آخر رو بهم بگه؟ممنون!

به این شکل توجه کنید :

http://up.avastarco.com/images/a3kx2485on1tt8zfymx9.jpg

قانون گاوس میگه : اگه از حاصل ضرب داخلی شتاب گرانش در دیفراسیل سطح روی یه سطح بسته انتگرال بگیرید ، حاصل متناسب با جرم داخل سطحه. (اون دایره ی روی علامت انتگرال یعنی رو سطح بسته انتگرال گرفتیم.)
سطح گاوسی یه استوانه عمود بر قرص کهکشانه . dA هم دیفرانسیل بردار مساحته که در شتاب گرانش ضرب داخلی شده . برای سطوح جانبی استوانه ، چون زاویه بین بردارها 90 درجه است ، پس حاصل انتگرال صفر میشه . می مونه قاعده ها ... . l رو هم ضخامت کهکشان فرض کردم که چون برای ستاره های قرص داریم l<h پس جرم داخل سطح گاوسی به استوانه ای با ارتفاع 2h محدود میشه . بقیه شم که ساده سازیه .
براساس رابطه ، آخر ، فرکانس زاویه ای نوسان برابر میشه با : "رادیکال 2 پی جی رو " ! :دی

[المپیاد نجوم]

ممنون بابت توضیحاتتون.اما صورت مساله تاکید کرده بود که یک سیاهچاله هم داریم که نمی تونیم از جرم و گرانشش صرفنظر کنیم منم هردوی گرانش و گاوس رو نوشتم.حل معادله دیفرانسیل هر کدوم به طور جدا سادس اما هردو باهم سخته برام.میشه کمکم کنید؟؟

[arashgmn]

ممنون بابت توضیحاتتون.اما صورت مساله تاکید کرده بود که یک سیاهچاله هم داریم که نمی تونیم از جرم و گرانشش صرفنظر کنیم منم هردوی گرانش و گاوس رو نوشتم.حل معادله دیفرانسیل هر کدوم به طور جدا سادس اما هردو باهم سخته برام.میشه کمکم کنید؟؟

اگه اون طور که سوال گفته جسمو ببریم تو ارتفاع h از صفحه و بعد " رها کنیم " هیچ چیزی وجود نداره که جلوی سقوط کردن جسم به درون سیاهچاله ی مرکزی رو بگیره . اما احتمالا منظور سوال از وجود سیاهچاله ،این بوده که ستاره، عملا حول یک جسم مرکزی در حال دوران به دور مرکز کهکشانه ؛ و علاوه بر این ، صفحه هم نیروی گرانش دیگری بهش وارد می کنه.

شتاب گرانش برآیند رو به دو تا بردار تجزیه می کنیم : شتاب ناشی از صفحه که حرکتش بررسی شد ، و شتاب ناشی از جسم مرکزی . فرض کنید جسم تو یه ارتفاع h بالای صفحه باشه . نیروی جسم مرکزی به اون رو تو دو راستای عمود بر صفحه و راستای صفحه تجزیه کنید . اگه h در مقایسه با فاصله از مرکز کهکشان خیلی کوچیک باشه ، با استفاده از بسط تیلور ، اگه جملات h/R رو تا مرتبه اول نگه دارید، در اون صورت ، تا این مرتبه ، شتاب مرگز گرا ثابت ، و شتاب عمودی هم تابعی خطی از فاصله از صفحه خواهد شد. جمع این شتاب عمودی با شتاب ناشی از صفحه ( که اون هم تابهی خطی از h بود) یک نوسانگر جدید میسازه که در بسامدزاویه ای ، در زیر رادیکال یه جمله ی GM/R^3 هم اضافه میشه .( M جرم سیاهچاله ، و R فاصله از مرکز کهکشان روی صفحه کهکشانه.)

یعنی اومگا میشه : " رادیکال (2 پی جی رو + جی ام / آر ^ 3) " :))