سلام
ویدئوی زیر نیز به سادگی _و در عین حال _ وضوح ، بیانگر چگونگی حرکات وضعی و انتقالی ماه است . (مقصود بنده سومین نوع چرخش ماه در این فیلم است )
لینک دانلود ویدئو
نمایش نسخه قابل چاپ
سلام
ویدئوی زیر نیز به سادگی _و در عین حال _ وضوح ، بیانگر چگونگی حرکات وضعی و انتقالی ماه است . (مقصود بنده سومین نوع چرخش ماه در این فیلم است )
لینک دانلود ویدئو
نیروی گرانش یک نیروی مرکزی است . یعنی جهت بردار نیرو همیشه به سمت مرکز مختصات است . پس نیروی گرانش مولفه ای در جهت مماسی ندارد .مولفه های شعاعی و مماسی نیرو در مختصات قطبی به ترتیب عبارتند از :
(1) http://www.wikiastro.ir/images/a/a2/Mypi1.png
و
(2 )http://www.wikiastro.ir/images/a/a0/M3_%281%29.png
صفر بودن مولفه شعاعی نیرو در میدان گرانش باعث صفر شدن شتاب در این راستا می شود .ترکیب این نتیجه با معادله قبلی نتیجه زیر را دربر دارد :
(3) http://www.wikiastro.ir/images/3/37/M3_%282%29.png
که این یعنی حاصلضرب اندازه بردار مکان در سرعت مماسی برابر یک مقدار ثابت است . یا اندازه تکانه زاویه ای در میدان نیروی مرکزی ثابت است .از اینجا به بعد پارامتر جدیدی به نام تکانه زاویه ای ویژه یا تمانه زاویه ای بر واحد جرم را تعریف می کنیم و آن را با h نشان می دهیم .پس
( 4) http://www.wikiastro.ir/images/3/37/M4-1.png
که در آن : u=1/rبا دو بار مشتق گیری از u و قرار دادن نتایج حاصل در معادله (1) و استفاده ازمعادله (4) معادله زیر به دست می آید :
(5) http://www.wikiastro.ir/images/a/a8/M6_%281%29.png
با حل معادله دیفرانسیل بالا برای هر نیروی مرکزی می توان رابطه بین r و θ را به دست آورد .در اینجا می خواهیم معادله دیفرانسیل بالا را برای نیروی گرانش حل کنیم . پس :
(6)http://www.wikiastro.ir/images/8/83/M6_%282%29.png
و با قرار دادن در معادله (5) داریم :
(7) http://www.wikiastro.ir/images/8/83/M8_%282%29.png
این معادله یک نوسانگر است که حل آن به معادله زیر می انجامد :
(8) http://www.wikiastro.ir/images/0/09/M8_%281%29.png
که A و θ0 ثوابتی هستند که مقدار آنها را شرایط اولیه تعیین می کند .پس :
(9) http://www.wikiastro.ir/images/1/13/M10_%282%29.png
معادله (9) معادله یک مقطع مخروطی را نشان می دهد که خروج از مرکز آن e ،از رابطه زیر به دست می آید :
e=(h^2 *A)/(GM)همچنین با مقایسه صورت کسر معادله 9 با معادله کلی یک مقطع مخروطی به نتیجه زیر میرسیم :
(10)http://www.wikiastro.ir/images/e/ea/M10_%281%29.png
که a نیم قطر بزرگ مدار مقطع مخروطی است .
طبق تعریف تکانه زاویه ای ، سرعت مماسی یک جسم با تکانه زاویه ای ویژه l برابر است با : l / r
در نتیجه انرژی مکانیکی را می توان به شکل زیر بازنویسی کرد :
(1) http://wiki.avastarco.com/images/6/66/S1%21.png
که در آن V(r) تابع انرژی پتانسیل است، که برابر است با :
(2) http://wiki.avastarco.com/images/d/d1/S2%21.png
حال انرژی پتانسیل موثر را به شکل زیر تعریف می کنیم :
(3) http://wiki.avastarco.com/images/a/af/S3.png
برای نیروی گرانش که به شکل F=-k/r^2 است انرژی پتانسیل موثر به شکل زیر درمی آید :
(4) http://wiki.avastarco.com/images/9/9b/S4.png
به شکل زیر که انرژی پتانسیل و پتانسیل موثر را برای نیروی گرانش نشان می دهد توجه کنید :
- مدار دایروی دارای شعاع ثابت است یعنی تغییرات r در این مدار صفر است . درنتیجه این نوع مدار وقتی به وجود می آید که انرژی مکانیکی کمینه باشد .
http://upload.wikimedia.org/wikipedi.../fe/Figman.png
انرژی مدار دایروی را به عنوان مینیموم انرژی انتخاب می کنیم .
برای محاسبه بیشترین و کمتریم فاصله جسم از مرکز نیرو کافی است مشتق r را برابر با صفر قرار دهیم ، در نتیجه پس از مرتب کردن جملات در معادلات (1) و (4) خواهیم داشت :
(5) http://wiki.avastarco.com/images/8/8e/S5%21.png
که یک معادله درجه 2 از r است و جواب آن عبارتست از :
(6) http://wiki.avastarco.com/images/0/01/S6.png
r1 و r0 به ترتیب بیشترین و کمترین فاصله جسم از مرکز نیرو هستند .برای مداردایروی با توجه به توضیحات بالا عبارت زیر رادیکال صفر می شود و مدار فقط دارای یک شعاع خواهد بود .برای مدار های بیضوی چون E مقداری منفی است ( انرژی مکانیکی برای مدار های بسته کوچکتر از صفر است) معادله بالا شامل دو ریشه مثبت است . که به ترتیب اوج و حضیض نامیده می شوند .
طبق تعریف بیضی مجموع فاصله هر نقطه روی آن از دو کانون برابر با قطر بزرگ بیضی است . پس با جمع کردن دو ریشه بالا داریم :
(7) http://wiki.avastarco.com/images/a/a0/S7.png
که مقداری ثابت است .
برای مدارهای هذلولی چون E مقداری مثبت دارد (برای مدار های باز انرژی مکانیکی بزرگتر از صفر است) پس معادله (6) فقط یک جواب قابل قبول دارد که کمترین فاصله از مرکز نیرو را نشان می دهد و نشان دهنده حضیض مدار هذلولی است .برای محاسبه انرژی مدار هذلولی معادله (1) را برای نقطه حضیض به کار میبریم و با قرار دادن r=a(e-1) و h=(GMa(e^2-1))^(1/2) به E=k/2a می رسیم .
توی پست 12 معادله مدار رو به شکل زیر به دست آوردیم:
(1) http://up.avastarco.com/images/srqmr7mzuojcxdb6olbt.png
دقت داشته باشید که در اینجا μ=GM و پارامتر گرانش نامیده می شود.
همچنین طبق تعریف تکانه زاویه ای ، سرعت مماسی عبارتست از : http://up.avastarco.com/images/jswysssym5ys9qb6gotg.png
پس با ترکیب دو معادله بالا به نتیجه زیر میرسیم :
(2) http://up.avastarco.com/images/7qtdznawv4bwe0uxzx5i.png
برای محاسبه سرعت شعاعی می توان از رابطه شماره 1 بر حسب زمان مشتق گرفت و به نتیجه زیر رسید :
(3) http://up.avastarco.com/images/kg8w2krple1ko9q3zq1t.png
لازم به یادآوری است که در آخربن مرحله از رابطه dθ/dt=h/2 استفاده شده است. با جایگذاری معادله 1 در معادله بالا نتیجه می گیریم:
(4) http://up.avastarco.com/images/16fy2f2pf8wo0t1yu5rf.png
در نهایت با توجه به شکل زیر می توانیم زاویه مسیر را به صورت زیر به دست آوریم :
(5) http://up.avastarco.com/images/2i9a0vbqj7tz8dwlz7jz.png
http://up.avastarco.com/images/yudg26qqmwafub0man7e.png
همانطور که در پست شماره 12 نشان دادیم ، مسیر یک ذره تحت نیروی گرانش یک مقطع مخروطی است.
اولین نوع مدار که می خواهیم در اینجا به بررسی آن بپردازیم مدار دایروی است .البته در پست های قبل به تفصیل در این باره صحبت شده و من فقط خلاصه رابطه های قبلی و یک مثال رو میگم :
http://up.avastarco.com/images/zqh61nemz54zl483miti.png
اگریک ماهواره همواره در نقطه ای ثابت در سرسوی ناظری دراستوا باشد ، آنگاه می گوییم ماهواره در مدار استوایی و زمین ثابت (geostationaryequatorial orbit) یا GEOقرار دارد .
این ماهواره به این دلیل در نقطه ای ثابت از آسمان رویت میشود که سرعت زاویه ای حرکت آن به دور زمین با سرعت زاویه ای حرکت وضعی زمین برابراست . به عبارتی دیگر دوره تناوب مداری ماهواره های GEO برابر بایک روز نجومی است (یک روزنجومی برابر با 86164 ثانیه است).
برای محاسبه سرعت و ارتفاع ماهواره از سطح زمین می توانیم به روش زیر عمل کنیم :
http://up.avastarco.com/images/6tf4drvrr98ykg17pgnd.png
حال می خواهیم بیشترین عرض جغرافیایی که در آن یک ماهواره GEO قابل رویت است را محاسبه کنیم .
با استفاده از شکل زیر می توانیم این عرض جغرافیایی (φ) را محاسبه کنیم . برای این کار از ماهواره به کره زمین خطی مماس رسم می کنیم .
http://up.avastarco.com/images/e48mtsj4ulcbggwwa7sw.png
شکل زیر تصویری که توسط یک ماهواره زمین ثابت گرفته شده را نمایش می دهد.
http://up.avastarco.com/images/sec1o4tka8lpv99b1ogd.png
حرکت ستارگان در کهکشان تحت اثر نیروی عکس مجذوری معروف نیست بلکه به دلیل تغییر جرم مرکزی در حین حرکت در کهکشان نیرو به شکل kr- خوهد بود . حال می خواهیم ببینیم شکل این نوع حرکت چگونه است.
دانلود درس نامه( حرکت تحت نیروی kr- )
درباره شکل بیضی آقای اکبرنیا در تاپیک مقاطع مخروطی توضیحات بسیار کاملی راارائه داده اند ، ما در اینجا به خواص دینامیکی این مدار ها می پردازیم .
معادله مدار در اینجا به شکل
(1)http://up.avastarco.com/images/i5csoowl37h56jarid07.png
است که hتکانه زاویه ای ویژه مدار (تکانه زاویه ای بر واحد جرم) و μ=GM
شکل زیر مشخصات یک مدار بیضی را نشان می دهد :
http://up.avastarco.com/images/fvevquoubjplfgvv4f.png
جرم جاذب در یکی از کانون های بیضی (F) قرار دارد . همچنین زاویه θ از نقطه حضیض و در جهت گردش جسم بهدور جرم جاذب اندازه گیری شده و آنومالی واقعی نامیده می شود .
برای محاسبه فاصله اوج و حضیض کافی است θ را در معادله مدار به ترتیب برابر باصفر و 180˚ قرار دهیم.
(2)http://up.avastarco.com/images/825t382xasdfdxvaj2wq.png
همچنین می توانیم از معادله 10 پست 12 استفاده کنیم و روابط را بر حسب نیم قطراطول و خروج از مرکز بازنویسی کنیم :
(3)http://up.avastarco.com/images/kqqvbq1ehk60tje4sbp.png
نقطه Bدر شکل محل برخورد قطر کوچک بیضی با بیضی است که از دو کانون به یک فاصله است.پسطبق معادلات بالا با قرار دادن r=a می توانیم زاویه β را به صورت زیر به دست آوریم :
(4) http://up.avastarco.com/images/y4xvm81iccns2gwj572l.png
همانطور که در پست 13 نشان دادیم ، انرژی مدار بیضی از رابطه زیر به دست میآید : (ε انرژی ویژه مدار یا انرژی بر واحد جرم است)
(5http://up.avastarco.com/images/ffvaci2ivl4aqtdboiri.png
همچنین معادله بالا سرعت مدار را به صورت تابعی از فاصله (r) به دست می دهد .
همچنین با استفاده از معادله (2)و(4) پست 14 می توان سرعت را به صورت زیر بهدست آورد :
(6) http://up.avastarco.com/images/5j80kvgg51fhigt78r3x.png
در ادامه به معرفی خواص دینامیکی مدار سهمی می پردازیم که یکی دیگر از مقاطع مخروطی است . (برای اطلاعات بیشتر درباره خواص هندسی سهمی می توانید به تاپیک مقاطع مخروطی مراجعه کنید)
خروج از مرکز مدار سهمی برابر یک است ، در نتیجه معادله مدار به شکل زیر تبدیل می شود :
(1)http://up.avastarco.com/images/djfk2hb14rhu000ii8g.png
برای محاسبه انرژی در این نوع مدار با توجه به اینکه انرژی پایسته است مقدارآن را در حضیض محاسبه می کنیم. چون در نقطه حضیض سرعت مولفه ای در راستای شعاع ندارد می توانیم مقدار آن را با h/r برابر قرار دهیم . پس :
(2) http://up.avastarco.com/images/ym6lca4hm2izev0abw3.png
همچنین مقدار θ را در معادله 1 برابر صفر می گذاریم تا فاصله حضیض را به دست آوریم.
(3) http://up.avastarco.com/images/bs19ldorqr2ltcj6h5r.png
با ترکیب معادله 2و3 به نتایج زیر میرسیم :
(4) http://up.avastarco.com/images/x03ji4fi9i3zhcatj0p.png
سرعت به دست آمده در معادله بالا را سرعت فرار نیز می نامیم .
با توجه به توضیحاتی که در پست 14 داده شده زاویه مسیر یک جسم در مدار سهمی عبارتست از :
(5) http://up.avastarco.com/images/6cq8b229e0v0ryys9jc4.png
حال با استفاده از اتحاد های مثلثاتی زیر معادله 5 را ساده می کنیم :
(6)http://up.avastarco.com/images/d2tu617mtst32x2ahpmc.png
در نتیجه :
(7) http://up.avastarco.com/images/w7a2e2i4hq6kzbqrx1a.png
*با توجه به نتیجه بالا می توان نشان داد که اگر یک دسته پرتو نور موازی بامحور اصلی آینه ای سهموی بتابند ، در کانون آینه کانونی می شوند.*
http://up.avastarco.com/images/i78a3qlrdme9om9460v.png
هذلولی مقطع مخروطی با خروج از مرکز بزرگ تر از 1 است . برای این نوع مدار، معادله مدار به شکل زیر است که h تکانه زاویه ای ویژه مدار (تکانه زاویه ای بر واحد جرم) و μ=GM :
(1)http://up.avastarco.com/images/sxr52ga3v3rzre7xme65.png
شکل زیر تمام مشخصات یک مدار هذلولی را نشان می دهد .
http://up.avastarco.com/images/bb9c2bows5p9czaz1th.png
توجه داشته باشید که a و b به ترتیب قطر های بزرگ و کوچک هذلولی هستند و ra و rp به ترتیب فاصله اوج و حضیض مدار را نشان می دهد .
زاویه ای که در آن فاصله جسم از کانون بی نهایت می شود و زاویه خط مجانب با محور اصلی را می توان با استفاده از معادله 1 به دست آورد .
(2) http://up.avastarco.com/images/dtmmqul6aitz6gzt7.png
با توجه به معادله 1 می توان فاصله حضیض و اوج را به دست آورد .(زاویه θ برای حضیض ، صفر و برای اوج برابر 180 درجه است).
(3) http://up.avastarco.com/images/5ct4ijxbzbgsd5d7cvb.png
حال با استفاده از تعریف هذلولی می توانیم معادله مدار را بر حسب a و e بازنویسی کنیم .
(4)http://up.avastarco.com/images/wlbuxak897lygk41ecle.png
برای محاسبه نیم قطر کوچک هذلولی با توجه به شکل و معادله 2 می توانیم بنویسیم :
(5) http://up.avastarco.com/images/mh2votz9foj3dmohoeq7.png
همچنین فاصله بین خط مجانب تا خطی موازی آن که از کانون F می گذرد نیز برابر با b است .
(6)http://up.avastarco.com/images/0fwsw0iue7edvflig0ic.png
انرژی مدار هذلولی را نیز در پست 13 به صورت زیر به دست آوردیم :
(7) http://up.avastarco.com/images/dpdorpzayaid5x2r5wee.png
در پست های قبل ویژگی انواع مدارها در میدان نیروی گرانش را بررسی کردیم و منتظر سوالات دوستان هستیم .
با استفاده از معادله مدار می توانیم مکان جسم را به صورت تابعی از آنومالیواقعی (θ) به دست آوریم . حال می خواهیم مکان جسم را به صورت تابعی از زمان محاسبهکنیم .
برای این کار از معادله 4 پست 12 استفاده می کنیم :
(1) فایل پیوست 3972
حال با جایگزاری r(θ)(معادله مدار) در رابطه بالا داریم :
(2) فایل پیوست 3973
از دو طرف معادله بالا انتگرال می گیریم . دقت داشته باشید در اینجا مبدا زمانرا نقطه حضیض فرض کرده ایم . در نتیجه در نقطه 0=θ ، t=0 و انتگرال به شکل زیر خواهد شد :
(3) فایل پیوست 3974
برای به دستآوردن رابطه ای بین t و θ باید انتگرال سمت راست را برایمداری دل خواه حل کنیم . حل این انتگرال کمی طولانی است و در عین حال روش مناسبیمحسوب نمی شود . اما حل حالت کلی آن را می توانید در جدول های انتگرال به شکل زیر مشاهده کنید :
(4) فایل پیوست 3975
:stupido:
در ادامه معادله بالا را با روشی ساده تر برای انواع مدارها حل می کنیم .
منتظر باشید :wink: