ببخشيد آقاي اكبرنيا
من خيلي به اين بحث مقاطع مخروطي علاقه دارم
آيا كتابي هست كه به صورت جامع و كامل كل مطلب مقاطع مخروطي رو آموزش داده باشه ؟ ( ترجيحا كتابي اختصاصي كه فقط براي مقاطع باشه نه كل رياضيات )
با تشكر
نمایش نسخه قابل چاپ
ببخشيد آقاي اكبرنيا
من خيلي به اين بحث مقاطع مخروطي علاقه دارم
آيا كتابي هست كه به صورت جامع و كامل كل مطلب مقاطع مخروطي رو آموزش داده باشه ؟ ( ترجيحا كتابي اختصاصي كه فقط براي مقاطع باشه نه كل رياضيات )
با تشكر
کلا برای مقاطع مخروطی یه تعریف دیگه هم داریم:
مجموعه نقاطی که نسبت فاصله انها از یک نقطه(کانون)به فاصله ی انها از یک خط برابر مقداری ثابت(خروج از مرکز) بشه که مثلا این نسبت برای سهمی 1 هستش و یا برای بیضی بین 0و1
سلام
راستش من کتاب مجزا تا به حال ندیدم از این مبحث. معمولا به صورت فصلی در کتابهای ریاضی و مکانیک سماوی وجود داره. مثلا در کتابهای ریاضی 1 و 2 دانشگاه میتونید این مبحث را پیدا کنید. خیلی مبحث مفصلی نیست و من کلیاتش را در این تاپیک خواهم گفت. البته کاربردهاش در علوم مختلف زیاده که هر جا لازم باشه بهش اشاره میکنند.
پی نوشت: البته اگر زبانتون خوب باشه، سایتهای ویکیپدیا و wolfram به خوبی و به صورت مفصل مبحث مقاطع مخروطی را توضیح دادند.
خب بیاییم و معادله سهمی در دستگاه مختصات کارتزین را به دست آوریم. شکل زیر را نگاه کنید:
فایل پیوست 3521
در این شکل یک سهمی را میبینید که کانون آن در نقطه ای با مختصه (a,0) قرار و خط هادی آن نیز خطی عمودی با مختصه x برابر با a- است. حال برای یک نقطه دلخواه روی سهمی با مختصات x و y، میدانیم که مقدار فاصله از کانون با مقدار فاصله از خط هادی برابر است. پس می توانیم بنویسیم:
فایل پیوست 3522
که در آن طرف راست معادله مقدار فاصله از خط هادی، و طرف چپ فاصله از کانون است که از رابطه فیثاغورس به دست آمده است. حال طرفین را به توان 2 رسانده و ساده می کنیم.
فایل پیوست 3523
فایل پیوست 3524
و در نهایت به معادله زیر میرسیم:
فایل پیوست 3525
این معادله سهمی است که در شکل قبل نشان داده شده، برای یک سهمی که نسبت به این سهمی 90 درجه دوران کرده باشد، یا به عبارتی، محور تقارن آن محور yها باشد، معادله به صورت زیر است:
فایل پیوست 3526
که شکل آن به این صورت است
فایل پیوست 3527
اگر محل کانون سهمی عوض شود ولی جهت آن به همین صورت باقی بماند معادله آن به صورت زیر خواهد بود:
فایل پیوست 3528
و در حالت کلی برای یک سهمی که ممکن است نسبت به محورها به صورت مایل باشد، میتوان کلی ترین معادله سهمی را اینگونه نوشت:
فایل پیوست 3529
در پست بعدی به اراثه مثالی از کاربرد معادله دکارتی سهمی در فیزیک میپردازیم.
خب دوستان، برسیم به بررسی معادله سهمی در دستگاه قطبی. شکل زیر را نگاه کنید:
فایل پیوست 3598
در این شکل، نقطه آبی روی سهمی با مختصات قطبی r و θ نشان داده شده است. دقت کنید که در این شکل مبدا اندازه گیری زاویه از محور x و در جهت مثبت مثلثاتی است. ولی در بیضی این مبدا از نقطه ای که کمترین فاصله از کانون را دارد(حضیض) بود.
برای این شکل، میتوان رابطه قطبی زیر را برای معادله سهمی به دست آورد.
فایل پیوست 3599
در این فرمول a فاصله بین کانون تا نزدیکترین نقطه روی سهمی است که روی محور تقارن سهمی قرار دارد. با استفاده از این رابطه میتوان مقدار فاصله را بر حسب زاویه به دست آورد. فقط دقت کنید که برای نیمه پایینی سهمی مقدار θ عددی بین 180 تا 360 است. یا اگر در در جهت خلاف مثلثاتی در نظر بگیرید، مقدار تتا منفی خواهد شد.
رابطه قطبی سهمی در مکانیک سماوی پرکاربرد است.
در پست بعد به کاربردهای سهمی در فیزیک و نجوم خواهیم پرداخت.
خب یک مقدار از ریاضی خارج بشیم و جو را شادابتر کنیم ;)
اولین چیزی که درباره سهمی به نظرم رسید شکل زیره:
فایل پیوست 3605
یادتونه تو مدرسه بعضی وقتا از اینا میکشیدیم؟ اگر تعداد نقاط را زیاد کنیم میشه اثبات کرد که منحنی به وجود آمده یک سهمی است. کسی میتونه اثبات کنه؟