بله 100 درصد به سهمی و هذلولی هم خواهیم رسید اما فعلا فکر کنم تا مدت حدود دو ماه در مبحث بیضی باقی خواهیم ماند و بعد وارد سهمی می شویم. اگر سوال ضروری داشتید به صورت پیغام برای من ارسال کنید.
نمایش نسخه قابل چاپ
در یک مدار بیضی، دو نقطه وجود دارد که در آن نقاط، فاصله جسم تا یکی از کانونها به حداقل و حداکثر خود می رسد.
در نجوم، به نزدیک ترین فاصله دو جسم از هم در یک مدار بیضوی، حضیض و به دورترین فاصله، اوج می گویند. به شکل زیر نگاه کنید که در آن جسمی در مداری بیضوی به دور زمین میگردد:
فایل پیوست 2958
هنگامی که جسم در نزدیکترین فاصله از زمین است، میگوییم که در حضیض مدارش قرار دارد و هنگامی که در دورترین فاصله است، می گوییم که در اوج است.
جالب است که در زبان انگلیسی، اوج و حضیض بسته به این که مدارها، به دور چه جسمی و متعلق به چه جسمی باشند، اسمهای گوناگونی دارند! به جدول زیر که از ویکیپدیا گرفتم نگاه کنید! اسامی اوج و حضیض اجسام مختلف آسمانی در آن آمده است.
فایل پیوست 2959
اگر دقت کنید به طور مشترک، تمام اوجها با Apo و تمام حضیضها با Peri شروع می شوند. واقعا نمیدونم برای چی برای یک مفهوم مشترک این همه کلمه اختراع کردند! :yaeh am not durnk:
در پست بعدی روابط ریاضی اوج و حضیض مدارها را به دست خواهم آورد.
در پست قبل با تعاریف اوج و حضیض آشنا شدیم. حال ببینیم فاصله اوج(max) و حضیض(min) چقدر است؟
اول با شکل زیر یادآوری میکنم که نصف فاصله بین کانونها برابر است با نیم قطر بزرگ ضرب در خروج از مرکز (a*e):
فایل پیوست 2962
به شکل زیر دقت کنید، میخواهیم مقدار حضیض و اوج را به دست آوریم:
فایل پیوست 2963
با دقت در شکل میبینید که فاصله حضیض برابر است با اندازه نیم قطر بزرگ(a)، منهای نصف فاصله کانونها(a*e). پس داریم:
(r(min)= a-ae=a(1-e
و به همین صورت فاصله اوج برابر است با نیم قطر بزرگ به اضافه نصف فاصله کانونها:
(r(max)= a+ae=a(1+e
بعضی وقتها حضیض را با نماد (per) و اوج را با (ap) نمایش می دهند. با این تعاریف داریم:
فایل پیوست 2965
فایل پیوست 2966
مثالی خاص از روابط بالا: مثلا یک مدار دایره را فرض کنید. خروج از مرکز آن صفر است(e=0) پس حضیض و اوج با هم برابرند! (خیلی بدیهی است البته!)
هرچه خروج از مرکز بیشتر شود فاصله اوج بیشتر و فاصله حضیض کمتر می شود. دقت کنید که اگر دو رابطه بالا را با هم جمع کنیم خروج از مرکز حذف میشود و رابطه زیر را داریم:
فایل پیوست 2967
یعنی اندازه نیم قطر بزرگ مدار برابر میانگین فاصله اوج و حضیض است که از نظر شهودی هم درست به نظر
می آید.
و اگر دو رابطه بالا را از هم کم کنیم با حذف a رابطه زیر حاصل می شود:
فایل پیوست 2968
یعنی خروج از مرکز عبارت است از اختلاف فاصله اوج و حضیض تقسیم بر مجموع آنها. به صورت زیر نیز میتوان نوشت:
فایل پیوست 2969
مثال: فاصله یک دنباله دار از خورشید در اوج مداری معادل 10 واحد نجومی و فاصله حضیض آن 2 واحد نجومی است، خروج از مرکز مدار آن چقدر است؟ اندازه نیم قطر بزرگ مداری آن چقدر است؟
جواب : خروج از مرکز یعنی (اوج - حضیض) تقسیم بر (اوج+حضیض) یا 8 تقسیم بر 12 که معادل است با:
e=0.67
نیم قطر بزرگ مدار هم برابر است با میانگین فاصله اوج و حضیض که میشود 6 واحد نجومی:
a=6 Au
در پست بعدی به معادلات بیضی در دستگاه مختصات کارتزین خواهیم پرداخت. :wink:
سوالی نیست؟ :rambo:
سلام به همه
در پستهای قبل با مشخصات هندسی بیضی به طور مفصل آشنا شدیم. حالا بیاییم و ببینیم معادلات بیضی در دستگاه های مختصات چگونه است؟ از دستگاه دکارتی شروع میکنیم. یک بیضی را در نظر بگیرید که مرکز آن، مرکز مختصات است و قطرهای آن، منطبق بر محورهای مختصات هستند:
فایل پیوست 2974
معادله نقاط روی این بیضی به این صورت است:
فایل پیوست 2975
در این معادله اگر اندازه نیم قطر بزرگ(a) و کوچک(b) معلوم باشد، معادله قابل حل است.
اما اثبات این معادله مقداری طولانی است. البته از همان روابطی که قبلا به دست آوردیم اثبات میشود. اگر به اثباتش علاقه دارید اینجا را ببینید:
http://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_...ng_the_ellipse
توجه: در مسائل نجومی معمولا معادلات بیضی در دستگاه دکارتی چندان کاربرد ندارد. معادلات در دستگاه قطبی مهم است که در پست آینده به آن میپردازم.
جناب آقاي اكبرنيا ما همچنان پيگير و مشتاق مطالب خوب شما در اين تاپيك عالي هستيم .
يك پيشنهاد دارم ...
اگر صلاح ميدونيد ، در يك پست همه تعاريف و روابط مهمي كه تا آخر تاپيك مد نظرتون هست رو بذاريد تا ما بتونيم مرور كنيم و اينجا سوالاتمون رو بپرسيم
بعد از یک وقفه ادامه میدیم:
بعد از بررسی معادله دکارتی بیضی، برسیم به مهمترین معادله بیضی در نجوم: معادله در دستگاه قطبی
در این معادله، مرکز دستگاه مختصات روی کانون بیضی قرار داره.(نه مرکز)
در نجوم، اون کانونی را میگذاریم در مرکز دستگاه مختصات، که جسم اونجا قرار داره. مثلا در حرکت یک دنباله دار به دور خورشید، میدونیم که خورشید در کانون بیضی هست و دنباله دار به دورش میچرخه، پس خورشید میشه مرکز دستگاه مختصات و اون کانون مد نظرمون هست.
حالا با این فرض شکل زیر را در نظر بگیرید:
فایل پیوست 3173
در این شکل F کانون بیضی(اون کانون به درد بخور!) هست و C مرکز بیضی. پاره خطی که سمت راست F قرار داره، حضیض بیضی هست. برای هر خط دلخواه دیگر که از نقطه ای روی بیضی به کانون رسم بشه(مثل اون خط مایل بالای حضیض)، معادله ای به شکل زیر وجود داره(بدون اثبات فقط ذکرش میکنم، اثباتش بمونه برای ریاضی دوستان!) :
فایل پیوست 3174
این همون معادله قطبی بسیار به درد بخور هست که بسیار باهاش کار داریم. پارامترها چیا هستند؟
در سمت راست، r فاصله جسم از کانون (مرکز دستگاه مختصات) هست که در شکل معلومه.
در سمت چپ:
تتا(θ): زاویه بین خط واصل جسم تا کانون و خط واصل کانون تا حضیض هست که در شکل معلومه. این زاویه در نقطه حضیض صفر هست و تا رسیدن به اوج به 180 درجه میرسه.
a: همون نیم قطر بزرگ مداره.
e: همون خروج از مرکزه.
برای یک دایره مقدار e مساوی است با صفر و معادله تبدیل میشه به r=a که همون معادله دایره است!
اما برای بیضی:
در تتا(θ) مساوی صفر(حضیض): کسینوس تتا میشه چقدر؟ 1. پس مخرج میشه (1+e) صورت هم میشه به صورت مزدوج نوشت:( a(1+e)(1-e . پس عبارت (1+e) از صورت و مخرج حذف میشه و داریم:
(r(min)= a(1-e
این رو قبلا هم از راهی دیگر به دست آورده بودیم.
برای اوج مقدار تتا، 180 درجه خواهد بود و کسینوس آن 1- میشه و در مخرج عبارت 1 منهای e ایجاد میشه و باز با مزدوج نوشتن صورت و ساده کردن با مخرج میرسیم به این که:
(r(max)=a(1+eکه همون فاصله اوجه که قبلا حساب کرده بودیم.
برای هر زاویه بین اوج و حضیض هم مقدار کسینوس تتا بین 1 تا 1- متغیره و فواصلی که از فرمول به دست میاد، یک چیزی بین فاصله اوج تا حضیض میشه.
فعلا این از خود رابطه. در پست بعد ازش مثال میزنم.
تا اینجا سوالی نیست؟ ;)
خيلي ممنون جناب اكبرنيا
من يك سوال دارم
در معادلات مكانيك سماوي مثلآ داريم Gm1m2/r^2=mv^2/r ... كه البته مربوط به مدار دايره اي ميشه ...درسته ؟
حالا در مدار هاي بيضي كه r متغير است ، آيا ميتونيم a ( نيم قطر بزرگ ) رو به جاي r بذاريم و با اين روش سرعت متوسط رو به دست بياريم ؟
يعني آيا اين معادله براي بيضي به اين شكل درسته ؟ : Gm1m2/a^2=mv^2/a
ممنون