استخراج ِ تبدیلاتِ لورنتس 2
حالا ما بحث رو تا حدِ یک ضریبِ نامعلومِ گاما که تابعِ سرعت هم بود پیش بردیم. بیاید به جای تابعِ گاما این تابع رو تعریف کنیم (که بُعدش توانِ دومِ سرعته) :
دقت کنید که هــــیـــچ کارِ عجیب و غریبی انجام ندادیم فقط تابعِ جدیدی از سرعت رو بر حسبِ تابعِ گاما تعریف کردیم. گاما بر حسبِ این تابع میشه این:
این طوری شکلِ تبدیلِ چهارم (تبدیلِ زمان) میشه این:
بیایید دو تا تبدیلِ لورنتسِ پشتِ سرِ هم بزنیم، یک بار از ساکن به یه دستگاه با سرعتِ v یک بار هم از اون دستگاه به یک دستگاهِ دیگه با سرعتِ u نسبت به دستگاهِ متحرک اما در همون راستا (یعنی بریم به دستگاهِ ''S که با سرعتِ u داره از 'S دور میشه) خواهیم داشت:
با جایگذاری دو رابطه ی اولی در دو رابطه ی دومی تبدیلِ مستقیم از S به ''S رو خواهیم داشت:
با مرتب سازی معادلاتِ بالا خواهیم داشت:
خوب! حالا ما میدونیم که از دستگاهِ S رفتیم به یک 'S که با سرعتِ v داره از ما دور میشه و از 'S هم رفتیم به یک ''S که داره با سرعتِ u از 'S دور میشه، پس مثلِ اینه که ما با یک سرعتِ w که از جفتِ v و u بزرگتره داریم به سمتِ راست حرکت میکنیم، پس میتونیم تبدیلاتِ بالا رو با تبدیلاتِ مستقیم از S به ''S مقایسه کنیم :دی
این کار رو میگذاریم واسه پستِ آینده :دی
تذکر: همچنان هیچ کاری بیشتر از ضرب و تقسیم انجام ندادیم! :دی پس بازم الکی خوف نکنید!
استخراج ِ تبدیلاتِ لورنتس 3 (پایان)
خوب بحث رو تا اینجا پیش بردیم که قرار شد چهار تا معادله ی پایین رو با هم مقایسه کنیم:
با مقایسه ی رابطه ی بین مختصه های فضایی و زمانی و برابر قرار دادنِ گاماهای دو رابطه به دست میاریم که:
خُب، دو تا گاما که باید حتما برابر باشند دیگه؟! بنا بر این حتما باید f(u)=f(v) l باشد تا این برابری صحیح باشه که نتیجه میده که چی؟ ها؟ صدا نمیاد؟!
نتیجه میده که f تابع نیست بلکه حتما یک عددِ ثابته! پس تبدیل زمان هم میشه این:
حالا با مقایسه ی هر دو رابطه میشه گفت که سرعتِ دستگاهِ ''S از دیدِ S میشه:
این رابطه ی جمعِ سرعتِ نسبیتی هستش، با استفاده از این رابطه میشه گفت که f حتما یک عددِ مثبته چون در غیر این صورت (منفی بودنِ ثابتِ f ) سرعتِ مجموع ،w، میتونه به ازای یک سری از سرعتهای v و u مثبت، منفی بشه (یعنی من سرعتمو به سمتِ "اونور" زیاد میکنم بعد یه هو میبینم که دارم از "این ور" به دستگاهِ ساکنِ قبلی نزدیک میشم و این اتفاق فیزیکی نیست و ناقضِ همگنی و همسانگردیه)
پس حالا که ثابتِ f مثبته من میتونم اون رو بر حسبِ توانِ دومِ یک کمیت با بعدِ سرعت بیان کنم:
f=V^2
و همچنان دقت کنید که من هیچ حرفی غیر از همگنی و همسانگردی نزدم اما شکلِ کلی تبدیلاتِ لورنتس رو به دست آوردم:
تنها مجهولِ من برای این تبدیلات یک ثابت با بعدِ سرعت، V ، هستش که تمامی ناظران در اندازه گیری مقدارِ اون اتفاقِ نظر دارند و هیچ ناظری نمیتونه سریعتر از اون حرکت کنه، این حرفا آشناست نه؟!
و باز هم به خاطرِ اهمیتِ زیادش تاکید میکنم ما تا اینجا هیچ حرفی غیر از همگنی و همسانگردی فضا نزدیم!
این تاکید، یعنی من تا حدِ بسیار خوبی میتونم ساختارِ نسبیتِ خاص رو بدونِ استفاده از اصلِ ثابت بودنِ سرعتِ نور یا بدونِ درخواستِ ناوردا بودنِ ساختارِ نسبتا پیچیده ای مثلِ قوانینِ ماکسول به دست بیارم اون هم تنها با یک سری فرضِ کاملا منطقی راجع به فضا که حتی زمانِ نیوتون هم همین فرضها رو راجع به فضا انجام داده بودند، حالا فرض کنید من کنار این فرضِ منطقی (نسبیتِ فضا یا به طورِ هم ارز: همگنی و همسانگردی) یک فرضِ اضافی انجام بدم:
تمامی ناظران در اندازه گیری زمان اتفاقِ نظر خواهند داشت، به عبارتی:
t'=t
(یه به طورِ معادل: «انتقال در فضا طولها رو تغییر نمیده (فضا صلبه)» یا «حدِ بالایی برای سرعتِ اجسام وجود نداره» و یا هر فرضِ دیگری که با این ها معادل باشه، دقت کنید تمامِ این فرضها به طرزِ بسیار عجیب و زیبایی با شهودِ ما از فضا یا زمان هماهنگ هستند)
اون وقت هر کدام از این فرضها بلا فاصله تبدیلاتِ بالا رو به شکلِ تبدیلاتِ معروفِ گالیله ای در میاره که همه ی ما باهاش آشناییم اما معنی ِ این اتفاق چیه؟!
معنیش اینه که قوانینِ نیوتون هم نسبیتی بود! اما در حوزه ی مشاهدات و فرضهای اون زمان.
حالا داستانِ هیجان انگیزِ ما از اینجا به بعد تازه شروع میشه، این که چه طور شکلِ یکتای تبدیلاتِ لورنتس رو به دست بیاریم و ثابتِ V رو چه طور تعیین کنیم بحثِ بعدی ماست، میشه خیلی راحت به آزمایشات ارجاع داد و گفت که این ثابت برابر با سرعتِ نور هستش اما من نمیخوام این قدر راحت راجع بهش قضاوت کنم :دی میخوام از یه زاویه دیگه نگاه کنیم و از یه پسکوچه ای بریم تا یه چیزایی جالبی ببینیم با هم :دی :دی
بحثهای بعدیترِ ما مربوط به پدیده های عجیبِ نسبیتی خواهد بود، خبرِ خوب اینه که فعلا خبری از ریاضیات نیست :دی سوالی هست در خدمتم :)